历年高考理科数学真题汇编+答案解析
专题3 三角函数与解三角形
（2020年版）
考查频率：一般为3个小题（或1个小题＋1个大题） 考试分值：15分~17分 知识点分布：必修4、必修5
一、选择题和填空题（每题5分）
1．（2019全国I 卷理11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数
①f (x )在区间2
(,)π
π单调递增
①f (x )在[,]-ππ有4个零点 ①f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①①①
B ．①①
C ．①①
D ．①①
【解析】∵()sin |||sin()|sin |||sin |sin |||sin |()f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，①f (x )是偶函数，①
正确. 当2
(,)x π
∈π时，sin ||sin x x =，|sin |sin x x =，则()2sin f x x =为减函数，故f (x )在区
间2
(,)π
π单调递减，①错误. 当(0,]x ∈π时，()sin |||sin |sin sin 2sin f x x x x x x =+=+=，所
以f (x )在(0,]π内有1个零点x =π；由于f (x )是偶函数，所以在[,0)-π内有1个零点x =-π；①
(0)0f =，①0x =由也是f (x )的1个零点；因此f (x )在[,]-ππ有3个零点，①错误. 当sin ||1x =、|sin |1x =时，f (x )取得最大值2，①正确.
【答案】C
【考点】必修4 三角函数的性质
2．（2019全国II 卷理9）下列函数中，以2π为周期且在区间)2
,4(π
π单调递增的是（ ） A ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x |
D ．f (x )=sin|x |
【解析】答案A ：函数f (x )=|cos2x |的图像如图1所示，其周期是函数f (x )=cos2x 的一半，即2
1π
=
T ，且在区
间)2
,4(
π
π为单调递增的. 答案B ：与答案A 类似，函数f (x )=|sin2x |的周期是函数f (x )=sin2x 的一半，即2
2π
=
T ，且在区间)2
,4(
π
π为单调递减的；答案C ：函数f (x )=cos|x |为偶函数，其图像如图2所示.由函数f (x )=cos|x |的图像可知，其周期π23=T ；答案D ：与答案C 类似，由函数f (x )=sin|x |的图像可知，其不是周期函数. 【答案】A
图1 图2
【考点】必修4 三角函数的图象和性质 3．（2019全国II 卷理10）已知α∈(0，
2
π
)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）
A ．
15
B ．
5
C 3
D 5
【解析】利用三角公式12cos 2sin 2+=αα化简得
ααα2cos 2cos sin 4=
ααcos sin 2=
所以2cot =α，设α所对得边为1，则临边为2，斜边为5，所以5
5sin =
α. 【答案】B
【考点】必修4 三角恒等变换
4.（三角函数）（2019全国II 卷理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3
b a
c B ===
，则ABC △的面积为__________． 【解析】由余弦定理有
2
1
3cos 43652cos 22222==-=-+=πc c ac b c a B
122=c
△ABC 的面积362
3
12sin sin 212=⨯===
B c B ac S . 【考点】必修5 解三角形
5．（2019全国III 卷理12）设函数()sin()(0)5
f x x ωωπ
=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，
下述结论：
①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点
③()f x 在(0,
)10
π
单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是
A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④ 【解析】当[]
0,2x ∈π，
[,2π]555
x ωωπ
ππ+∈+.
∵()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，∴2π[5π,6π)5ωπ+∈，∴1229
[,)510
ω∈. 故④正确. ∴()f x 在(0,2)π内，极大值点为59=5222
x ωππππ
+
、、三个. 故①正确，②错误. 当(0,)10x π∈时，(,+)55105x ωωππππ+∈.∵1229[,)510ω∈，∴+[,)10525100ωππ11π49π∈，即0<+<1052
ωπππ
，
∴()f x 在(0,)10
π
单调递增. 故③正确.
【答案】D
【考点】必修4 三角函数的图象
6. （2018全国I 卷理16）已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是_____________． 【解析】因为函数()f x 的周期为2π，所以只需在[0, 2]内讨论()f x 的最小值即可.
()2cos 2cos 2'=+f x x x ，令()0'=f x ，化简为1
(cos 1)(cos )02
+-=x x ，解得cos 1=-x 或
1cos 2=x ，即π=x 或π3或5π3
.
函数()f x 的最小值只能在点π=x ，π3，5π
3
和边界点0=x ，2π取到.
