专题：数列前n项和的求法

数列专题

1、数列的通项公式与前n项的和的关系

11,1,2nnnsnassn( 数列{}na的前n项的和为12nnsaaaL).

2、等差数列的通项公式

*11(1)()naanddnadnN；

3、等差数列其前n项和公式为

1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn.

4、等比数列的通项公式

1*11()nnnaaaqqnNq；

5、等比数列前n项的和公式为

11(1),11,1nnaqqsqnaq 或 11,11,1nnaaqqqsnaq.

常用数列不等式证明中的裂项形式:

（1）(1111nnn(n+1)1111()1knkn(n+k); (2) 211111()1211kkk2k

(3)211111111(1)(1)1kkkkkkkkk

(4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn;

(5)111!!1!nnnn

(6)212212(1)11nnnnnnnnn11(1)2nnn)

一.数列的通项公式的求法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式.

解：设数列na公差为)0(dd

∵931,,aaa成等比数列，∴9123aaa，

即)8()2(1121daadadad12

∵0d， ∴da1………………………………① ∵255aS ∴211)4(2455dada…………②

由①②得：531a，53d

∴nnan5353)1(53

数学

篇思路探寻

求数列的前n项和问题比较常见，通常需先根据已有的递推关系式求得数列的通项公式，再观察数列的特点和规律，寻找适合的求和方法，比如：公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法等来求得数列的前n项和.若选用的方法恰当，就能起到事半功倍的效果.下面结合实例谈一谈求数列前n项和的三种常用思路.一、借助公式公式法是求数列前n项和的重要方法.运用公式法求数列的前n项和，主要是根据等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)2=na1+n(n+1)2d、等比数列的前n项和公式Sn=ìíîïïna1，q=1,a1(1-qn)1-q，q≠1.在解题时，需仔细观察数列的特征，根据等差、等比数列的定义判断数列的类型，再选用相应的求和公式进行求和.例1.在等差数列{an}中，S10=100,S100=10,求S110.解：∵该数列为{an}为等差数列，∴S10,S20-S10,S30-S20,⋯，S110-S100也为等差数列，设其公差为d，∴S10+(S20-S10)+(S30-S20)+⋯+(S100-S90)=S100,由等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n+1)2d可得S100=10S10+10×92×d=10，又S10=100,将其代入上式得d=-22，∴S110-S100=S10+(11-1)d=100+10×(-22)=-120，∴S110=S100+(-120)=-110.由题意可知这个数列是等差数列，利用等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n+1)2d求解，即可求出此数列的前n项和.例2.已知log3x=-1log2x,求x+x2+x3+⋯+xn的前n项和.解：由log3x=-1log2x可得x=12，由等比数列的前n项和公式Sn=a1(1-qn)1-q可得，x+x2+x3+⋯+xn=x(1-xn)1-x=12(1-12n)1-12=1-12n.观察该数列，可发现数列的后一项与前一项之比为x，由等比数列的定义可知该数列为等比数列，利用等比数列的前n项和公式Sn=a1(1-qn)1-q，即可求出此数列前n项和.二、分组求和有些数列可被拆开或重组成几个等差、等比或者常见数列，此时可采用分组求和法，将各项重新组合，再分别运用等差、等比数列的前n项和公式进行求和，最后综合所得结果，即可得出原数列的前n项和.例3.求数列{}n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k，可得Sn=∑k=1nk(k+1)(2k+1)=∑k=1n(2k3+3k2+k)=2∑k=1nk3+3∑k=1nk2+∑k=1nk=2(13+23+⋯+n3)+3(12+22+⋯+n2)+(1+2+⋯+n)=n2(n+1)22+n(n+1)(2n+1)2+n(n+1)2=n(n+1)2(n+2)2.仔细研究这个数列可发现，它由三个数列{}2n3、{}3n2、{}n的和构成，于是将数列的每一项拆开，再重新组合Sn=2∑k=1nk3+3∑k=1nk2+∑k=1nk，最后分组求和，即可得例谈求数列前n项和的三种思路黄增勇胡国生

数列前n项和的求法总结

核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

一． 公式法

（1） 等差数列前n项和：

（2） 等比数列前n项和：；

（3） 其他公式：

例题1：求数列的前n项和Sn

解：

点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

练习：

二.倒序相加法

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2

解：Sn=a1+a2+a3+...+an ①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②

①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2

点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

练习：

（1）

三.裂项相消法

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

例题3：求数列(n∈N*)的和

解：

点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。

求数列前N项和的方法

1. 公式法

等差数列前n项和：

11()(1)22nnnaannSnad

特别的，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSkag，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=1时，1nSna

1111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

1、)1(211nnkSnkn 2、)12)(1(6112nnnkSnkn

3、213)]1(21[nnkSnkn

[例1] 已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.

解：由212loglog3log1log3323xxx

由等比数列求和公式得 nnxxxxS32 （利用常用公式）

＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21nnSn， )2)(1(211nnSn （利用常用公式）

∴

1)32()(nnSnSnf＝64342nnn

＝nn64341＝50)8(12nn501

∴ 当 88n，即n＝8时，501)(maxnf

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①