第三章 三角函数、解三角形
第5讲 三角函数的图象与性质
教材回顾▼夯实基础
知识梳理A
课本温故追根求源
函数 y=sinx
定 义 域 R
值域 [T，1]
周期性 2n
奇偶性 奇函数
J = COSX j=tanx
R {xlx^ R 且 xAk
兀 +
n
[T，1] R
2n n
偶函数 奇函数
j=sinx
J = COSX
j=tanx
JT 2k盘 ---- 2 J JI 2k Jt H—, L 2
3 Ji" 2— H—— 2」
仇wz)为减
[2 吃 7T, 2航 +
兀]仗WZ)为减;
\2kn—n9
2kn\(k^Z)为（一-于,
仇GZ）为增
函数 y=sm x J = COSX j = tanx
对称 (kn, 0) &+ , o) D
中心 （氐丘Z） （A：ez） (^ez)
对称轴 兀 x=kn H— 2
仇EZ) x=kn
仇WZ) 无
2.学会求三角函数值域(最值)的两种方法 (1)将所给函数化为j=Asin(ft>x+ (p)的形式，通过分析亦+
卩的范围，结合图象写出函数的值域;
(2)换元法：把sin x(cos劝看作一个整体，化为二次函数来解
决.
双基自测
1. （2015•高考四川卷）下列函数中，最小正周期为兀的奇函
数是（
A. j=sin(2x+— B. j=cos^2r+~
C. y= sin 2x+ cos 2x D. y= sin x+ cos x
C 项，y=sin 2x+cos 2x=\/2sin^2x+—
为非奇非偶函数，不符合题意；
ink+于)最小正周期为2兀， 为非奇非偶函数，不符合题意. ( JI j=sin|2x+-
为偶函数，不符合题意； 解析：A项, = cos 2x,最小正周期为n ,且
y= cos^2r+_j= —sin 2x,最小正周期为 函数，符合题意； B项, 1=/ 兀，且为奇
1 数学高考复习名师精品教案
第35课时：
第四章 三角函数——三角函数的最值
一．课题：三角函数的最值
二．教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题．
三．教学重点：求三角函数的最值．
四．教学过程：
（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：
①sinyaxb，设sintx化为一次函数yatb在闭区间[1,1]t上的最值求之；
②sincosyaxbxc，引入辅助角2222(cos,sin)ababab，化为22sin()yabxc求解方法同类型①；
③2sinsinyaxbxc，设sintx，化为二次函数2yatbtc在[1,1]t上的最值求之；
④sincos(sincos)yaxxbxxc，设sincostxx化为二次函数2(1)2atybtc在闭区间[2,2]t上的最值求之；
2 ⑤tancotyaxbx，设tantx化为2atbyt用法求值；当0ab时，还可用平均值定理求最值；
⑥sinsinaxbycxd根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．
（二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．
（三）例题分析：
例1．求函数sincos()6yxx的最大值和最小值．
解：33sincoscossinsinsincos3sin()66226yxxxxxx．
当23xk，max3y，当223xk，min3y()kZ．
例2．求函数(sin2)(cos2)yxx的最大、最小值．
解：原函数可化为：sincos2(sincos)4yxxxx，
令sincos(||2)xxtt，
高中数学：三角函数
一、概述
三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。
二、三角函数的定义
三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。这些函数的定义如下：
1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）
2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r
3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长
三、三角函数的基本性质 1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。正切函数的周期性稍有不同，为 π。
2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。
3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位 π/2。
4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。
四、三角函数的实际应用
三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：
1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。
2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。 3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。
4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。
第三章 三角函数、解三角形
同角三角函数的基本关系与诱导公式
教材回顾▼夯实基础
Ml谋梳理严
1. 同角三角函数的基本关系式
(1) 平方关系：sin2 a +cos2 a =1(«GR)；
(2) 商数关系：tan a =订—A：eZ 课本温故追根求源
2.六组诱导公式
函IK 2眛+
a(k G Z) 7t+a —a it—a 兀
2 2 +a
正弦 sin a —sin a —sin a sin a cos a cos a
余弦 cos a —cos a cos a —cos a sin a —sin a
正切 tan a tan a —tan a —tan a X X
k兀
“亍土 a仗已Z)"的三角函数记忆口诀“奇变偶不
变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,
正弦变余弦,余弦变正弦;当吃为偶数时，函数名不变”.“符 号看象限”是指“在久的三角函数值前面加上当。为锐角时 原函数值的符号”.对于角
匿0【做二微〕
,贝0 sin x = 2 .
、 JI
解得sin x= -1±^5
2
因为一lWsinxWl, 所以 smx=―— 1.已知 tanx=smx+y^|
解析：因为 tanx=sin x+~ ,所以 tanx=cosx, \ /丿
所以 sinx=cos2x,所以 sinL+sin x—1=0,
2. tan 690° 的值为—3 解析：tan 690° =tan(—30'
=tan(—30° )=—tan 30°3 •
3 +2X360° )
3.已知cos
12
=T
解析：因为cos 13’ 角a是第二象限角、则tan(2 —a)
角a是第二象限角，故sin a =
12 0
所以tan 12 故 tan（2 兀—a）=—tan 12
要會厂
1.必明辨的2个易错点
(1) 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意
