奇妙的幻方

奇数阶幻方 教授 （带图）

（1） 五阶幻方

11 18 25 2 9

10 12 19 21 3

4 6 13 20 22

23 5 7 14 16

17 24 1 8 15

（2）七阶幻方

（1） 幻方简介：

幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。幻方也是一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。 22 31 40 49 2 11 20

21 23 32 41 43 3 12

13 15 24 33 42 44 4

5 14 16 25 34 36 45

46 6 8 17 26 35 37

38 47 7 9 18 27 29

30 39 48 1 10 19 28 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。幻方也称纵横图、魔方、魔阵，发源于中国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。

幻方构造原理

最近在研究幻方构造原理，发现了一些有趣的东西，今天来和大家聊聊。

你们有没有玩过那种九宫格的数字游戏呀？就像在一个小表格里填数字，横竖斜三个方向上的数字加起来都相等呢。这其实就是幻方的一种简单体现啦。幻方这个东西啊，说起来就像是编了一个特别巧妙的数字阵法。

我一开始接触幻方的时候，真的是一头雾水。感觉这些数字就像是被施了魔法一样，怎么就能整整齐齐地达到横竖斜相加都相等这个要求呢？后来呀，我在学习过程中发现了一种方法，打个比方吧，这就像是盖房子一样，得有个框架。对于一些简单的幻方，比如三阶幻方，中间这个数字其实就像房子的支柱一样重要。一般来说，中间数字就像是整个幻方的平衡点。你看啊，就拿1 - 9这九个数字组成的三阶幻方来说，最中间的数字是5呢。围绕这个5来分配其他数字，就是建立幻方的关键。

这是为什么呢？我琢磨着这种对称和平衡就像吃饭时候餐桌上的摆盘似的，讲究一个均匀分布。从专业角度来说呢，在构造幻方时，要根据一些数学规律来放置数字。对于奇数阶幻方，有个口诀叫“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样”。

说到这里，你可能会问，那偶数阶幻方又是怎么一回事呢？这个呀，偶数阶幻方就稍微复杂一点了。像是四阶幻方，就不能简单地用奇数阶幻方的方法了。我发现有一些方法是基于矩阵变换的原理。老实说，我一开始也不明白这个矩阵变换是啥意思，就好像突然进入了一个新的数学迷宫。后来我一点点地看书、查资料才明白，这个矩阵变换可以理解成像是整理一个堆放杂乱货物的仓库，通过一定的规则调整货物（数字）的位置，最后让仓库（幻方）看起来井然有序。

在实际生活中，幻方可不光是数字游戏这么简单。比如说在一些密码学或者程序设计当中，幻方原理就可以应用到数据加密或者优化算法上。又像是在建筑设计里，幻方所体现的平衡点和对称原理也能有所体现呢，如果一个建筑的受力（就像幻方里数字相加的平衡一样）分布合理，那这个建筑就会更稳固。

第十四讲 幻方

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【知识点解析】

一、幻方的概念：

所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。

二、幻方问题主要方法

1、累加法

利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

3、比较法

利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。

4、掌握好3阶幻方中的规律。

关于幻方的公式

幻方这玩意儿，听起来好像挺神秘莫测的，但其实只要咱好好琢磨，也能把它弄得明明白白。

先来说说啥是幻方。幻方就是一个正方形的表格，里面填了数字，而且每行、每列和对角线上的数字之和都相等。就像一个神奇的魔法盒子，怎么加都能得到相同的结果。

咱来看看幻方的公式。一般来说，对于一个 n 阶幻方，幻和的值可以通过这个公式算出来：幻和 = n×(n² + 1)÷ 2 。比如说一个 3 阶幻方，那幻和就是 3×(3² + 1)÷ 2 = 15 。

给您讲讲我以前教学生幻方的时候遇到的一件有趣的事儿。有个小家伙，怎么都搞不明白幻方的公式，愁得小脸都皱起来了。我就跟他说：“你就把这个幻方想象成一个装满宝贝的宝箱，每行每列和对角线都是通往宝箱的不同通道，而这个幻和就是宝箱里宝贝的总数。不管你从哪个通道进去，拿到的宝贝都一样多。”这小家伙眼睛一下子亮了，开始认真琢磨起来。

那怎么用这个公式来构造幻方呢？有很多方法。比如罗伯法，它就有一套特定的规则。先把 1 放在第一行的中间，然后依次往右上方填数字。如果碰到边界了，就转到另一边。

再比如杨辉法。它是把数字从小到大按顺序斜着填，出了幻方再调整位置。 幻方在数学里的应用可多啦。像在密码学里，就可以用幻方来加密信息，让别人摸不着头脑。还有在数学游戏里，幻方能让咱们玩得不亦乐乎。

学习幻方的过程，就像是一场有趣的冒险。有时候会遇到难题，就像在森林里迷路了一样，但只要不放弃，找到那个公式的线索，就能走出困境，看到美丽的风景。

不管是简单的三阶幻方，还是复杂的高阶幻方，只要掌握了公式和方法，都能轻松应对。所以啊，别被幻方一开始的神秘样子吓到，跟着公式一步步来，就能揭开它的面纱，发现其中的乐趣和奇妙。

希望您也能在幻方的世界里畅游，感受数学的魅力！