第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

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3．“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的充分不必要条件是 q”表达 的意义相同吗？
提示：不相同，“p 是 q 的充分不必要条件”即“p⇒q 且 q⇒/ p”， 而“p 的充分不必要条件是 q”即为“q⇒p，且 p⇒/ q”．
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第二页，共三十六页。
【教材导读】 1．在四种命题中，会有 1 个或 3 个命题为真命题吗？ 提示：不会，由原命题与逆否命题，逆命题与否命题是两对互为逆 否的命题、真假性相同，则四种命题为真命题的可能个数为 0,2,4. 2．写一个命题的其他三种命题时需要注意什么？ 提示：(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写． (2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)已知命题 p，q，那么“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的
()
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(D)既不充分也不必要条件
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第二十三页，共三十六页。
(1)B 解析：条件 p：(x－m)(x－m－3)＞0；解得：m＋3＜x，或 x ＜m.
条件 q：x2＋3x－4＜0.解得－4＜x＜1， ∵p 是 q 的必要不充分条件，∴1≤m，或 m＋3≤－4，解得 m≥1 或 m≤－7. 则实数 m 的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)． 故选 B.
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第二十四页，共三十六页。
(2)A 解析：p∧q 为真命题，命题 p、q 均为真命题；p∨q 为真命 题，命题 p、q 至少有一个为真命题．所以“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的充分不必要条件．故选 A.

p 是 q 的_充__分__不__必__要___条件
p⇒q 且 q⇒/ p
p 是 q 的_必__要__不__充__分___条件
p⇒/ q 且 q⇒p
p 是 q 的__充__要__条件
p⇔q
p 是 q 的_既__不__充___分__也__不__必__要__条件
p⇒/ q 且 q⇒/ p
常用结论 集合与充要条件的关系
已知条件 p：|x－4|≤6，条件 q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围为______． 【解析】 条件 p：－2≤x≤10，条件 q：1－m≤x≤1＋m，又﹁p 是﹁q
m>0，
的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件．故有1－m≥－2 ，所以 1＋m≤10，
[诊断自测] 1．命题“若 a2＋b2＝0，a，b∈R，则 a＝b＝0”的逆否命题是________． 答案：若 a≠0 或 b≠0，a，b∈R，则 a2＋b2≠0
2．已知命题“对任意 a，b∈R，若 ab>0，则 a>0”，则它的否命题是________． 答案：对任意 a，b∈R，若 ab≤0，则 a≤0
设 p，q 成立的对象构成的集合分别为 A，B， (1)p 是 q 的充分不必要条件⇔A B；
(2)p 是 q 的必要不充分条件⇔A B； (3)p 是 q 的充要条件⇔A＝B.
[思考辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( √ ) (2)q 不是 p 的必要条件时，“p⇒/ q”成立．( √ )
1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， 所以 0≤m≤3.
1＋m≤10， 所以当 0≤m≤3 时，p 是 q 的必要条件， 即所求 m 1．(变问法)本例条件不变，若 x∈P 的必要条件是 x∈S，求 m 的取值范围． 解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}，若 x∈P 的必要条件是 x∈S，即 x∈S 是

解析 由 A B· A >0可知角A为锐角,但不能确保△ABC为锐角三角形,故
C


C
充分性不成立;反之,若△ABC为锐角三角形,则角A为锐角,故 A B· A >0,
必要性成立.故选B.
例4 (2016浙江模拟训练卷(一),1)已知p:-2≤x≤6;q:-1+m≤x≤3+m,若p
是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 (
1.“若p,则q”是真命题,即p⇒q;“若p,则q”为假命题,即p⇒∕ q.
2.(1)若p⇒q,则p是q的充分条件;
(2)若q⇒p,则p是q的必要条件;
(3)若⑥ p⇒q,但p⇐∕ q ,则p是q的充分不必要条件;
(4)若p⇒∕ q,但p⇐q,则p是q的⑦ 必要不充分条件 ;
(5)若⑧ p⇒q,且p⇐q ,则p是q的充要条件;
题时,有m=-4x+2x+1≤1.从而当命题p是假命题时,实数m的取值范围为m>
1.
答案 m>1
方法 3 充要条件的解题策略
1.判断命题的充要关系有三种方法:
(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.
(2)等价法:利用A⇒B与¬B⇒¬A,B⇒A与¬A⇒¬B,A⇔B与¬B⇔¬A的等价
命题p是假命题,则实数m的取值范围为
.
解题导引
当命题p是真命题时,求出实数m的取值范围→当命题p是假命题时得结论
解析 设t=2x,则t>0,所以f(t)=-4x+2x+1=-t2+2t在区间(0,1]上为增函数,在区
间[1,+∞)上为减函数,则对于任意的实数x,有-4x+2x+1≤1,当命题p是真命

的必要不充分条件，故选 A.
3．已知 p：x＋y≠－2，q：x，y 不都是－1，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.因为 p：x＋y≠－2，q：x≠－1 或 y≠－1， 所以﹁p：x＋y＝－2，﹁q：x＝－1 且 y＝－1， 因为﹁q⇒﹁p 但﹁p⇒/ ﹁q，所以﹁q 是﹁p 的充分不必要条件， 即 p 是 q 的充分不必要条件．故选 A.
p⇔q
p 是 q 的__既__不___充__分__也__不__必__要____条件
p⇒/ q 且 q⇒/ p
[注意] 不能将“若 p，则 q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若 p，则 q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若 p，则 q”为真命题．
常用知识拓展
1．充分条件与必要条件的两个特征
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：选 C.因为 P＝x|x＝k＋12，k∈Z＝ x|x＝2k＋ 2 1，k∈Z，Q＝x|x＝k2，k∈Z， 所以 P Q，
所以原命题“若 x∈P，则 x∈Q”为真命题， 则原命题的逆否命题为真命题． 原命题的逆命题“若 x∈Q，则 x∈P”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为 2.
充分条件、必要条件的应用(典例迁移) 已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1 ＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求 m 的取值范围． 【解】 由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 所以 P＝{x|－2≤x≤10}， 由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知 S⊆P. 1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， 所以 0≤m≤3. 1＋m≤10， 所以当 0≤m≤3 时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件， 即所求 m 的取值范围是[0，3]．