2015龙岩质检 福建省龙岩市2015届高三3月质量检查数学(文)试卷 扫描版含答案

龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查

数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1-5 CABCC 6-10 BCDBD 11-12 AD

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．2 14．12 15．14 16．33

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17．【命题意图】本题主要考查等差数列和等比数列的基本性质、数列求和等知识；考查学生的运算求解能力及化归与转化思想．

解：（Ⅰ）依题意得

1121114(4)()(13)aadadadad ……………………………………2分

解得112ad ……………………………………………………………………4分

1(1)1(1)221naandnn

即21nan …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得：1222121nnnnba ……………………………………8分

23112(21)(21)(21)nnnTbbb

231(222)nn ………………10分

4(12)12nn

224nn ……………………………………12分 18．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．

证明：（Ⅰ）AB为O的直径，点C为O上的任意一点

BCAC ……………………………………………………………2分

又圆柱1OO中，1AA底面O

1AABC,即1BCAA ………………………………………………4分

而1AAACA

BC平面1AAC ………………………………………………6分

（Ⅱ）（法一）取BC中点E，连结DE、1OE,

D为AC的中点

ABC中，//DEAB,且12DEAB ……………………………8分

又圆柱1OO中，11//AOAB,且1112AOAB

11//DEAO,11DEAO

11ADEO为平行四边形 ………………………………………………10分 11//ADEO ……………………………………………………11分

而1AD平面1OBC，1EO平面1OBC

1//AD平面1OBC ……………………………………………12分

（法一图） （法二图）

（Ⅱ）证明：（法二）连结DO、1AO,

D为AC的中点，O为AB的中点

ABC中，//DOBC

而DO平面1OBC，BC平面1OBC

//DO平面1OBC ………………………………………………………8分

又圆柱1OO中，11//AOOB,且11AOOB

11AOBO为平行四边形

11//AOBO

而1AO平面1OBC，1BO平面1OBC

1//AO平面1OBC ……………………………………………………10分

1DOAOO

平面1//ADO平面1OBC

1AD平面1ADO

1//AD平面1OBC …………………………………………………12分

19．【命题意图】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想.

解：（Ⅰ）解法一：

依题意有8287868090855x甲

7590917495855x乙 ……………………………………………2分

22222216482-8587-8586-8580-8590-8555s甲（）（）（）（）（）……3分

222222138275-8590-8591-8574-8595-8555s乙（）（）（）（）（） …4分

答案一：2285xxss乙乙甲甲， 从稳定性角度选甲合适. …………6分

（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适. …………6分）

答案二：2285xxss乙乙甲甲，乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适.…6分

解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率A1A1O1BBCODEA1A1O1BBCOD为15； ………………………………………………………………………………2分

乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为35． ………………………………………………………………………………5分

所以选乙合适． …………………………………………………6分

（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为,,ABC.“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为,ab.

从这5次摸底考试中任意选取2次有,,,,,,,,,abaAaBaCbAbBbCABACBC共10种情况． ……………………………9分

恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共,,,,,aAaBaCbAbBbC共6种情况． ……………………………10分

5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率63()105PA． ……………12分

20．【命题意图】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想．

解：（Ⅰ）23()sincos3sin2fxxxx

=133sin2(1cos2)222xx

=13sin2cos222xx

=sin(2)3x …………………………………… 3分

依题意得函数()fx的周期为且0，222

1，1m ……………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin(2)03x2()3xkkZ 26kx…………8分

又0,2x x275,,,6363 ………………………10分

(),0,2yfxx所有零点的和为2751163633 …………12分

21．【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．

解：（Ⅰ）抛物线yx42的焦点为)1,0(1F，

1c，又21,2ba

椭圆方程为1222xy． ………………………………………………………4分

（Ⅱ）（法一）设),(00yxA，00x，00y ,412xy 1',2yx ,2101xkl

直线1l的方程为)(21410020xxxxy即，2004121xxxy且过点2(0,1)F

2001124xx，，,12101xkl

切线1l方程为1xy …………………………6分

因为1//ll，所以设直线l的方程为mxy，

由1222xymxy，消y整理得,022322mmxx…………………………7分

22412(2)0mm，解得203m ①

设11(,)Bxy，22(,)Cxy，则

2121222,,33mmxxxx

∴222121244(2)||11()4293mmBCxxxx

222263229)2(1242mmm …………………………8分

直线l的方程为0myx，

点O到直线l的距离为2md ………………………………………9分

21122||||622232OBCmSBCdm

2222(62)2(3)33mmmm， ………………………………10分

由①203m， 230m

222239(3)24mmmm（当且仅当232m即62m时，取等号）

OBCS最大22

所以，所求直线l的方程为：62yx． ……………………………………12分

（法二）2(0,1)F，由已知可知直线1l的斜率必存在，

设直线1:1lykx

由214ykxxy 消去y并化简得2440xkx

∵直线1l与抛物线2C相切于点A.

∴2(4)440k，得1k. ………………………………5分

∵切点A在第一象限. ∴1k ………………………………6分

∵l∥1l

∴设直线l的方程为yxm

由2212yxmyx，消去y整理得223220xmxm， …………………7分

22(2)12(2)0mm，解得33m.

设11(,)Bxy，22(,)Cxy，则

1223mxx，21223mxx

22221212122222||()4()43333mmxxxxxxm. ……8分

又直线l交y轴于(0,)Dm

2221211222||||||3(3)2233OBCSODxxmmmm…10分

22239()324m

当232m，即6(3,3)2m时，max2()2OBCS. …………11分

所以，所求直线l的方程为62yx. ………………………………12分

22．【命题意图】本题为导数、与不等式的综合,主要考查导数的应用.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．

解：（Ⅰ）2()fxxa，7(1)3fa，(1)1fa

…………………………3分

切线方程为7()(1)(1)3yaax， …………………………4分