2.3 二次函数与幂函数-5年3年模拟北京高考

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2.3 二次函数与幂函数

五年高考

考点1 二次函数

1．（2013重庆，3，5分）)36()6)(3(aaa的最大值为( )

9.A 29.B 3.C 223.D

2．（2012山东．8，5分）定义在R上的函数)(xf满足)6(xf).(xf当13x时，;)2()(2xxf当31x时，.)(xxf则)2012()3()2()1(ffff( )

335.A 338.B 1678.C 2012.D

3．（2011安徽．3,5分）设)(xf是定义在R上的奇函数，当0x时，,2)(2xxxf则)1(f ( )

3.A 1.B 1.C 3.D

4．（2010安徽．6）设,0abc二次函数cbxaxxf2)(的图象可能是( )

5．（2012江苏．13，5分）已知函数),()(2Rbabaxxxf的值域为),,0[若关于x的不等式

cxf)(的解集为mm、（),6则实数C的值为

6．（2011陕西．12，5分）设*,Nn一元二次方程042nxx有整数根的充要条件是n

7．（2009江苏．20,16分）设a为实数，函数)(2)(2axxxf.||ax

(1)若,1)0(f求a的取值范围；

(2)求)(xf的最小值；

(3)设函数),,(),()(axxfxh直接写出（不需给出演算步骤）不等式1)(xh的解集，

考点2 幂函数

1．（2012山东，3,5分）设a>0且,1a则“函数xaxf)(在R上是减函数”是“函数3)2()(xaxg

在R上是增函数”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2

2．（2011浙江．1,5分）设函数.0,,0,)(2xxxxxf若)(f,4则实数

24.或A 24.或B 42.或C 22.或D

3．（2010全国II．10）若曲线21xy在点),(21aa处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a= ( )

64.A 32.B 16.C 8.D

4．（2011北京．13.5分）已知函数.2,)1(,2,2)(3xxxxxf若关于x的方程kxf)(有两个不同的实根，则实数k的取值范围是

5．（2009陕西．16）设曲线*)(1Nnxyn在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,nx令

nnxalg，则9921aaa的值为

解读探究

智力背景

珠算与算盘（二） 罗马时代的嵌珠算盘外观很像中国算盘，只有手掌大小，用金属（如青铜）制造，

有小珠嵌在上下两排沟槽中，可上下滑动，但不能取走，上排的珠一当五，下排一当一，和中国算盘一样，

不同地方是最右边的沟糟是专门用来表示12进分数的．罗马的嵌珠算盘由于昂贵，没有普及，最有生命

力的是中国的穿珠算盘．它有制作简单、价廉物美的优点．汉文一字一音，运算法则编成歌谣流利顺畅，

配合小九九和十进位制记数法，就能运算如飞．

知识清单

1．二次函数的定义

形如① 的函数叫做二次函数．

2．二次函数的三种表达形式

(1)-般式：);0()(2acbxaxxr

(2)顶点式：);0()()(2akhxaxf

(3)两根式；).0)()(()(21axxxxaxf

3．二次函数的图象和性质

3

(1)图象：二次函数)0(2acbxaxy的图象是以直线xab2为对称轴的抛物线，其开口方向由a的符号决定，顶点坐标为②

(2)性质：二次函数)0(2acbxaxy的单调性以顶点的横坐标abx2为分界，当0a时，

]2,(abx时，)(xf单调递减，),2[abx时，)(xf单调递增；当0a时，x]2,(ab

时，)(xf单调递增，),2[abx时，)(xf单调递减．

4．若二次函数)(xfy恒满足),()(nxfmxf则其对称轴为2nmx

5．幂的有关概念

(1)正整数指数幂：*);(.|Nnaaaaann个

(2)零指数幂：);0(10aa

(3)负整数指数幂：*);,0(1Npaaapp

(4)正分数指数幂：);1*,,,0(nNnmaaanmnm且

(5)负分数指数幂：);1*,,,0(1nNnmaaanmnm且

(6)0的正分数指数幂等于0，O的负分数指数幂没有意义

6．幂的运算性质

);,,0()1(Qsraaaasrsr

);,,0())(2(Qsraaansr

),0,0())(3(Qrbabaabrrr

7．函数③ 叫做幂函数．

8．在幂函数12132xyxyxyxyxy、、、、中，为奇函数的是;,,13xyxyxy为偶函数的是;2xy定义域为R的是;,,32xyxyxy定义域为),0[的是.2lxy在第一象限内是增函数的是,,,,2132xyxyxyxy是减函数的是.1xy

9．幂函数的性质

(1)当0时，幂函数xy有下列性质：

a.图象都通过点④ 、⑤ ．

b．在第一象限内，函数值随x的增大而增大．

c．在第一象限内，1时，图象是向下凸的；10时，图象是向上凸的．

(2)当0时，幂函数xy有下列性质：

4

a.图象都通过点⑥

b．在第—象限内，函数值 随x的增大而减小，图象是向下凸的．

【知识拓展】

对于幂函数),(Rxy当1时，xy的图象是直线；当0时，)0(10xxy的图象是直线(不包括(0，1)点）．其他一般情况的图象如下表：

知识清单答案

突破方法

方法1 次函数在给定区间上的最值问题

二次函数的最值问题，可结合函数图象，分类讨论对称轴的位置以确定函数)(xf在给定区间上的单调情况，最终确定函数)(xf在给定区间上的最值．

例1 （2012山东德州二模．17，12分）已知函数)(xf]1,0[122xaaxx在时有最大值2，求a的值．

解题思路

解析 函数222)(12)(aaxaaxxxf,1a对称轴方程为.ax （2分）

智力背景

破译希特勒密码 二战中，希特勒挖空心思地设计了融数学、物理、语言、历史、国际象棋原理、纵横填字游戏等为一体的依尼格码，还称之为“神都没办法破译的世界第一密码”．1937年，丘吉尔在布菜特彻利公园里秘密地建立“X站”，调集一大批专长于数学、埃及学、英语语言学、德语语言学以及国际象棋冠军、纵横填字游戏能手等科学怪才来此，同希特勒玩起了密码游戏，在X站工作过的人数以万计，但纳粹对此一直蒙在鼓里．

5

(1)当a<0时，,1)0()(maxafxf

.1,21aa （5分）

(2)当10a时，,1)(2maxaaxf

,01,2122aaaa

251a（舍）． （8分）

(3)当a>l时，.2,)1()(maxaafxf （11分）

综上可知，a= -1或a=2． （12分）

【方法点拨】 影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法：

当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论，

方法2利用幂函数性质比较大小

例2 (1)（2012河南郑州二模．13，5分）已知幂函数)(xf,21.x若),210()1(afaf则a的取值范围是

(2)（2012北京怀柔二模．14,5分）设ba,)53(52.,)32(,)52(5253.c则a，b，c的大小关系是

(3)（2012吉林长春一模，14，5分）设,8.1,23121ba则a，b的大小关系是

解析 ),0(1)()1(21.xxxxf易知),0(x时为减函数，又),210()1(afaf

,2101,0210,01aaaa 解得,3,5,1aaa

.53a

)0()2(2xxys为增函数，.ca

6

)()52(Rxyx为减函数，,bc

.bca

,8.18.12)3(312121

.,8.123121ba故

答案 )5,3)(1( bca)2( ba)3(

【方法点拨】 比较幂值的大小，常见以下几种类型：

(1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较；

(2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较；

(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小．

三年模拟

A组2011-2013年模拟探究专项基础测试

时间.20分钟 分值：30分

一、选择题（每题5分，共10分）

1．（2013河北张家口3月．8）已知函数84)(2kxxxh在[5，20]上是单调函数，则k的取值范围是

( )

]40,.(A ),160.[B ),160[]40,.(C .D

2．（2013海南万宁二模，8）设|,2|)(2xxf若ba0且),()(bfaf则ba的取值范围是

( )

)2,0.(A )2,0.(B )4,0.(C )22,0.(D

二、填空题（每题5分，共10分）

3．（2012山西太原4月模拟．13）当10x时，)(,)(2xgxxf,)(,221xxhx则)(),(),(xhxgxf

的大小关系是

4．（2011浙江杭州5月．14）若,)23()1(2121aa则a的取值范围是

三、解答题（共10分）

5．（2012山东德州二模，17）指出函数4454)(22xxxxxf的单调区间，并比较)(f与)22(的大小．

智力背景

电脑游戏解难题(一） 大多数的电脑都装有扫雷游戏，然而这看似简单的游戏却能帮助数学家们破解数学领域的一些有趣的难题，当然，数学家们也希望通过这个电脑游戏解决令人困惑已久的数学难题，英国伯明翰大学的数学教授里查·凯耶对数学有关的游戏十分感兴趣，他认为数学与游戏是一对完美的结合．玩游戏时，他会想是不是有什么有趣的数学问题隐藏其中，所以他一直在思考能否通过玩电脑游戏来