第六章 第一节 不等关系与不等式.doc
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第一节 不等关系与不等式
题组一 应用不等式表示不等关系
1.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k(k∈N＋)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件实事中提炼出一个不等式组是________．
答案： 47＋47k<147＋47k＋47k2≥1k∈N＋
2．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
40x＋90y≤1 000，x≥5，y≥6，x，y∈N＋，即 4x＋9y≤100，x≥5，y≥6，x，y∈N＋.
题组二 比 较 大 小
3.如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系为 ( )
A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2
解析：因为a2＋a＜0，即a(a＋1)＜0，所以－1＜a＜0，因此－a＞a2＞0，则0＞－a2＞a，有－a＞a2＞－a2＞a.
答案：B
4．设a，b为非零实数，若a A．a2 解析：当a<0 而1ab2－1a2b＝a－ba2b2<0总成立，C正确． 答案：C 5．已知a＞b＞0，c＜d＜0，则ba－c与ab－d的大小关系为________． 解析：ba－c－ab－d＝b2－bd－a2＋ac(a－c)(b－d) ＝(b＋a)(b－a)－(bd－ac)(a－c)(b－d). 因为a＞b＞0，c＜d＜0， 所以a－c＞0，b－d＞0，b－a＜0， 又－c＞－d＞0，则有－ac＞－bd， 即ac＜bd，则bd－ac＞0， 所以(b＋a)(b－a)－(bd－ac)＜0， 所以ba－c－ab－d＝(b＋a)(b－a)－(bd－ac)(a－c)(b－d)＜0， 即ba－c＜ab－d. 答案：ba－c＜ab－d 题组三 利用不等式的性质求范围 6.设[x]表示不超过x的最大整数，又设x，y满足方程组 y＝3[x]＋13，y＝4[x－3]＋5，如果x不是整数，那么x＋y的取值范围是 ( ) A．(35,39) B．(49,51) C．(71,75) D．(93,94) 解析：∵[x－3]＝[x]－3，解 y＝3[x]＋13，y＝4[x－3]＋5，得[x]＝20， y＝73，∵x不是整数，∴20 答案：D 7．在R上定义运算：xy＝x2－y，若关于x的不等式x(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是 ( ) A．[－1,3] B．[－3,1] C．[－3，－1]∪(－1,1] D．[－1,1)∪(1,3] 解析：由x(x＋1－a)＝x2－(x＋1－a)＝x－x＋1＋a>0得xx－(1＋a)<0， 故－2≤1＋a≤2，－3≤a≤1. 答案：B 8．已知0＜α－β＜π2，π2＜α＋2β＜3π2，求α＋β的取值范围． 解：设α＋β＝A(α－β)＋B(α＋2β) ＝(A＋B)α＋(2B－A)β. ∴ A＋B＝1，2B－A＝1. ∴ B＝23，A＝13. ∴α＋β＝13(α－β)＋23(α＋2β)． ∵α－β∈(0，π2)，∴13(α－β)∈(0，π6)． ∵α＋2β∈(π2，3π2)，∴23(α＋2β)∈(π3，π)． ∴α＋β∈(π3，7π6)． ∴α＋β的取值范围是(π3，7π6)． 题组四 不等式性质的综合应用 9.已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是 ( ) A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y| 解析：由已知3x>x＋y＋z＝0,3z ∴x>0，z<0. 由 x>0，y>z，得：xy>xz. 答案：C 10．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，ca－db＞0(其中a、b、c、d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由ab＞0，bc－ad＞0. 两端同除以ab，得ca－db＞0. 同样由ca－db＞0，ab＞0可得bc－ad＞0. bc－ad＞0ca－db＞0⇒ bc－ad＞0bc－adab＞0⇒ab＞0. 答案：D 11．给出下列命题： ①若a＞b，则1a＜1b； ②若a＞b，且k∈N＋，则ak＞bk； ③若ac2＞bc2，则a＞b； ④若c＞a＞b＞0，则ac－a＞bc－a. 其中假命题是________(只需填序号)． 解析：当a＞0＞b时，1a＞1b，故命题①错误； 当a，b不都是正数时，命题②是不正确的； 当ac2＞bc2时，可知c2＞0，∴a＞b，即命题③正确； 对于命题④，∵c＞a， ∴c－a＞0，从而1c－a＞0，又a＞b＞0， ∴ac－a＞bc－a，故命题④也是正确的． 答案：①② 12．2009年第十一届全国运动会在美丽的泉城济南胜利召开，下表为济南全运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12 000元预订15张下表中球类比赛的门票： 比赛项目 票价(元/场) 男篮 1 000 足球 800 乒乓球 500 若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数． 解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n(n∈N＋)张， 则男篮比赛门票预订(15－2n)张， 得 800n＋500n＋1 000(15－2n)≤12 000，800n≤1 000(15－2n)， 解得427≤n≤5514.由n∈N＋，可得n＝5， ∴15－2n＝5. 答：可以预订男篮比赛门票5张．
