2017-2018学年高中数学北师大版必修4：模块综合检测

模块综合检测

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)

1．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则sin α的值等于( )

A．－35 B.35

C.45 D．－45

2．已知cosπ2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( )

A．－33 B.33

C．－3 D.3

3．已知cos α＝35，0＜α＜π，则tanα＋π4＝( )

A.15 B.17

C．－1 D．－7

4．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像( )

A．向左平移1个单位

B．向右平移1个单位

C．向左平移12个单位

D．向右平移12个单位

5．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则k的取值范围是( )

A．(－2，＋∞) B.－2，12∪12，＋∞

C．(－∞，－2) D．(－2，2)

7．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则(

)

A．ω＝π2，φ＝π4

B．ω＝π3，φ＝π6

C．ω＝π4，φ＝π4

D．ω＝π4，φ＝5π4

8．若α∈π2，π，且sin α＝45，则sinα＋π4－22cos(π－α)等于( )

A.225 B．－25

C.25 D．－225

10．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是( )

A．2

B．1＋2

C．π

D．4

11．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|

A．f(x)在0，π2单调递减

B．f(x)在π4，3π4单调递减 C．f(x)在0，π2单调递增

D．f(x)在π4，3π4单调递增

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)

13．已知cos x＝2a－34－a，x是第二、三象限的角，则a的取值范围为________．

14．已知e1、e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．

15．y＝3－ 2cos3x＋π6的定义域为________．

16．有下列四个命题：

①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β；

②若函数y＝2cosax－π3的最小正周期是4π，则a＝12；

③函数y＝sin2x－sin xsin x－1是奇函数；

④函数y＝sinx－π2在[0，π]上是增函数．

其中正确命题的序号为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)化简：sin（540°－x）tan（900°－x）·

1tan（450°－x）tan（810°－x）·cos（360°－x）sin（－x）.

18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P45，－35.

(1)求sin α的值；

(2)求式子sinπ2－αsin()α＋π·tan（α－π）cos（3π－α）的值．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x.

(1)求f(x)的最小值及最小正周期；

(2)求使f(x)＝3的x的取值集合．

21．(本小题满分12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤π2)的图像与y轴交于点(0，1)．

(1)求φ的值；

(2)求函数y＝2sin(πx＋φ)的单调递增区间；

(3)求使y≥1的x的集合．

22．(本小题满分12分)已知M(1＋cos 2x，1)，N(1，3sin 2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，且y＝ (O为坐标原点)．

(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；

(2)若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图像可由y＝2sinx＋π6的图像经过怎样的变换而得到；

(3)函数y＝g(x)的图像和函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求y＝g(x)的表达式，并比较g(1)和g(2)的大小．

答案

1．解析：选C sin α＝4（－3）2＋42＝45.

2．解析：选D 由cosπ2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan

φ＝3.

3．解析：选D 因为cos α＝35＞0，0＜α＜π，所以0＜α＜π2，sin α＞0，所以sin α＝45，故tan α＝43，所以tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝43＋11－43＝－7.

4．解析：选C y＝cos 2x的图像向左平移12个单位后即变成y＝cos 2x＋12＝cos(2x＋1)的图像．

5．解析：选B 当a，b共线时，2k－1＝0，k＝12，此时a，b方向相同夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0且a，b不共线．由a·b＝2＋k＞0得k＞－2，且k≠12，即实数k的取值范围是－2，12∪12，＋∞，选B.

6.

7．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则(

)

A．ω＝π2，φ＝π4

B．ω＝π3，φ＝π6

C．ω＝π4，φ＝π4

D．ω＝π4，φ＝5π4

解析：选C ∵T＝4×2＝8，∴ω＝π4.

又∵π4×1＋φ＝π2，

∴φ＝π4.

8．解析：选B sinα＋π4－22cos(π－α)

＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.

∵sin α＝45，α∈π2，π，

∴cos α＝－35. ∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.

9.

10．

11．解析：选A y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ＋π4)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|

所以y＝2cos 2x，在0，π2单调递减．

12. .

13．解析：－1＜cos x＜0，－1＜2a－34－a＜0，2a－34－a＜0，2a－34－a＞－1.

∴－1＜a＜32.

答案：－1，32

14．解析：由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke21＋e1e2－2ke1e2－2e22＝0，即k＋cos 2π3－2kcos 2π3－2＝0，化简可求得k＝54.

答案：54

15．解析：∵2cos3x＋π6≥0，

∴2kπ－π2≤3x＋π6≤2kπ＋π2，

∴23kπ－2π9≤x≤23kπ＋π9(k∈Z)，

函数的定义域为{x|23kπ－29π≤x≤23kπ＋π9，k∈Z}．

答案：{x|23kπ－29π≤x≤23kπ＋π9，k∈Z}

16．解析：α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y＝2cosax－π3的最小正周期为T＝2π|a|＝4π，所以|a|＝12，a＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是x|x≠2kπ＋π2，k∈Z，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y＝sinx－π2＝－sin(π2－x)＝－cos x，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．

答案：④

17．解：原式＝sin（180°－x）tan（－x）·1tan（90°－x）tan（90°－x）·cos xsin（－x）＝sin x－tan x·tan x·tan x·－1tan x＝sin x.

18．解：(1)∵|OP|＝452＋－352＝1，

∴点P在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.

(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos

α＝1cos α.

由(1)得sin α＝－35，P在单位圆上，

∴由已知得cos α＝45，∴原式＝54.

19．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x＝sin 2x·cosπ6＋cos 2xsinπ6＋sin

2x·cosπ6－cos 2x·sinπ6＋cos 2x＋1＝3sin 2x＋cos 2x＋1

＝2sin2x＋π6＋1，

∴f(x)min＝2×(－1)＋1＝－1，

最小正周期T＝2π|ω|＝2π2＝π.

(2)∵f(x)＝3，∴2sin2x＋π6＋1＝3，

∴sin2x＋π6＝1，

∴2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，

∴x＝kπ＋π6，k∈Z，

∴使f(x)＝3的x的取值集合为x|x＝kπ＋π6，k∈Z

20.

∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，整理得x＋2y＝0.

∴y＝－12x.