知识点透视·备战高考
提升突破·战胜高考
专题25.1 空间向量方法--空间的角（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 异面直线所成的角
1.两条异面直线所成的角
①定义：设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．
②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2．
③向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos|cos|||||||ababrrrr.
【典例1】（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCDABCD中,1ABBC,13AA,则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为( )
A．15 B．56 C．55 D．22
【典例2】（2019·广西高考模拟（理））在直三棱柱111ABCABC中,3,3,32ACBCAB,14AA,则异面直线1AC与1BC所成角的余弦值为__________．
【总结提升】
向量法求两异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系；
(2)求出两直线的方向向量v1,v2； 知识点透视·备战高考
提升突破·战胜高考 (3)代入公式|cos〈v1,v2〉|＝|v1·v2||v1||v2|求解．
提醒：两异面直线所成角θ的范围是0，π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是两异面直线所成的角．
热门考点02 直线与平面所成角
1．直线和平面所成角的求法：如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n||e||n|.
【典例3】（2018·江苏高考真题）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点．
⼈教版⾼⼆数学下册知识点归纳，⼈教版⾼⼆数学下册知识点归纳
⾼中必修⼆的数学学习相对来说还是⽐较简单，只要掌握好基本的知识框架按部就班学习就⾏，⼩编在这整理了相关资料，希望能帮助到您。
⼈教版⾼⼆数学下册知识点归纳
1.不等式的定义：a-b>;0a>;b， a-b=0a=b， a-b<;0a
① 其实质是运⽤实数运算来定义两个实数的⼤⼩关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法⽐⼤⼩的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使⽤实数运算的符号法则。
2.不等式的性质：
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1) a>;bb
(2) a>;b， b>;ca>;c (传递性)
(3) a>;ba+c>;b+c (c∈R)
(4) c>;0时，a>;bac>;bc
c<;0时，a>;bac
运算性质有：
(1) a>;b， c>;da+c>;b+d.
(2) a>;b>;0， c>;d>;0ac>;bd.
(3) a>;b>;0an>;bn (n∈N， n>;1)。
(4) a>;b>;0>;(n∈N， n>;1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。⼀般地，证明不等式就是从条件出发施⾏⼀系列的推出变换。解不等式就是施⾏⼀系列的等价变换。因此，要正确理解和应⽤不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利⽤不等式的性质，判断不等式能否成⽴。
(2)利⽤不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的⼤⼩。
(3)利⽤不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
⼈教版⾼⼆数学下册知识结构：
1.两⾓和与差的正弦、余弦和正切公式
重点：通过探索和讨论交流，导出两⾓差与和的三⾓函数的⼗⼀个公式，并了解它们的内在联系。
第 1 页 共 7 页 高二数学选择性必修二知识点总结
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JIHGFEDCBA高二数学练习
一、选择题
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ）
（A）不平行的直线 （B）不相交的直线
（C）相交直线或平行直线 （D）既不相交又不平行直线
2．已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为 （ ）
（A）0 （B）1 （C）0或1 （D）0，1或2
3．两条异面直线的距离是 （ ）
（A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的直线
（C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D）两条直线上任意两点间的距离
4．设a, b, c是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b是异面直线，b, c是异面直线，则a, c是异面直线；② 如果a, b相交，b, c也相交，则a, c相交；③ 如果a, b共面，b, c也共面，则a, c共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ）
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个
5．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）
（A）[30°，90°] （B）[60°，90°]
（C）[30°，60°] （D）[60°，120°]
6．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）
（A）90°（B）45°（C）60°（D）30°
