24.1.2垂径定理-课件(新人教版九年级上)

推论的符号语言表述
由 ①CD是直径 ③AE = BE
可推得
②CD⊥AB
⑤④AA⌒⌒CD
= =
⌒ ⌒BBCD
用∵ ∴的格式写出来。 还有其它推导吗？
二、新知探究与学习
4、推论探究
重点讨论：假命题“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧”。
①为什么是假命题？（举反例如图） ②如何补充条件使其成为真命题？
5、定理及推论的理解
⑶ 下列说法正确的个数是（
）个
①平分弧的直径必平分弧所对的弦。
②平分弦的直线必垂直弦。
③垂直于弦的直径平分这条弦。
④平分弦的直径垂直于这条弦。
⑤弦的垂直平分线是圆的直径。
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，那么这条 直线必平分此弦所对的弧。
A、2
B、3
C、4
D、5
6、图形的识别与探究
（1）弦心距d、弓形高h的概念 （2）构建Rt△模型 （3）a、d、r、h 具有什么样的数量关系？
7、垂径定理及推论应用
例2、赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥， 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度 （弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.23米，求赵州桥主桥拱的半径 （结果保留小数点后一位）
C
F
拱高7.23米
A
跨度D37米
B
变式训练
练习1、往直径为650mm的圆柱体油槽内装 入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。
O
A
B
提升训练
练习2、某菜农在生态园蔬菜基地搭建一个截面为弓形的 蔬菜大棚（如图），大棚的跨度为30m，大棚的顶点C离 地面高度为2.3m。 ① 求该圆弧所在圆的半径。 ② 若菜农身高1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动范 围有几米?

垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径，CD⊥AB
O · A
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
C
a 2
h d
d+h=r
B
A
r
D O
a r d 2
D
A
F
E O C
B
4.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm， OC=8cm，则AB= ；
4
┌
O
5
D
8
30°
A
B
C
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
D
A B
O A
E
D
B
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8,求这两条平行 弦间的距离.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
练习
C
1.如图所示:
A
└ M
●
B O
(1)若CD⊥AB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD 、AC=BC . 则 AM=BM 、 (2)若AM=MB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD ⊥ AB AC=BC 则 、 AD=BD 、
D
.
(3)若CD⊥AB, AM=MB, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD 是直径 AC=BC 则 、 AD=BD 、 . ⌒ ⌒ (4)若AC=BC ，CD是直径, ⌒ ⌒ CD ⊥ AB AM=BM 则 、 、 AD=BD .

1 在图中, AB 37.4, CD 7.2, AD AB 18.7, 2 OD OC CD r 7.2
在Rt OAD中,由勾股定理, 得OA2 AD 2 OD 2 ,
即r 2 18.7 2 (r 7.2) 2 , 解得r 27.9(m)
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
A
E D C
O
B
垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦 所对的两条弧。
(3)平分弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (2)垂直于弦 (5)平分弦所对的另一条弧
E
A D
B
（不是直径） 推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
O
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是 圆弧形，它的跨度（弧 所对的弦的长）为37.4 米，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.2米，你 能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？
C A r

D O
B
应用：
A
C
D r

B O
如图用
表示主桥拱，设
所在圆的圆心为O，半径为r.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点C, 根据前面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
A C
E D
B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
A
O B D
应用：
O
已知如图，在 O 中，弦AB 的长为8cm，若圆心O到AB 的距离为3 cm，则 O的半 径为 5 cm. B

A．4 2 B．8 2
C．2 5
D．4 5
练习巩固，综合应用
2．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好 经过圆心O，则折痕AB的长为 __2__3__cm．
3．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB 上的一个动点，则OP长的取值范围为 3≤OP≤5．
练习巩固，综合应用
4．已知⊙O中，若弦AB的长为
8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm， A 求⊙O的半径．
解：连结OA，过O作OE⊥AB，
E
B
．
O
垂足为E，则OE=3 cm，AE=BE．
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm．
在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA=5 cm．
∴⊙O的半径为5 cm．
练习巩固，综合应用
5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分 线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径．
再见
2
∴r=2 3．
故⊙O的半径长是2 3 ．
练习巩固，综合应用
6．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修 理人员准备更换一段新管道．如下图所示，污水水 面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问 修理人员应准备内径多大的管道?
练习巩固，综合应用
解：如图所示，连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
D
A
B
R
O
练习巩固，综合应用