教 学 设 计
授课教师 九年级数学组 课时分配 1 备课时间 10月10日
课 题 垂径定理 授课时间 10月17日
教
学
目
标 知识与技能 学生能够利用圆的轴对称性，通过探索归纳验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能初步应用他解决一些简单的计算证明 。
数学思考 通过学生的折纸验证等活动，得出垂径定理
问题解决
应用垂径定理解决一些简单的计算证明
情感态度
经历综合应用垂径定理及推论的过程，体验数学的应用价值。
教学重点 应用垂径定理及推论解决实际问题
教学难点 应用垂径定理及推论解决实际问题
教学准备 课件
教
学
流
程 一、 实践探究
（1）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
（2）观察得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
二、理论猜想与证明
1、AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
(1) ⊙O关于直线CD对称吗？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？ 为什么？
·
E O
A B C
D
·
O A B E
归纳：垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
符号表示：∵CD⊥AB ，CD是直径
∴AE=BE
∴AD弧=BD弧
练习:
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
2、已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过点P的最短弦长是多少？
3、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证: 四边形ADOE是正方形．
· O
A B C
E
D
三、探索分析，解决问题
1、多媒体课件展示引例----赵州桥（数据略）
学生根据所给的数据求出赵州桥主桥拱的半径（学生根据所学的知识交流寻求解决问题的方法）
28.4 垂径定理*
教学目标
1.理解垂径定理的证明过程,掌握垂径定理及其推论.
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.
3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系.
教学重难点
【重点】 垂径定理及其应用.
【难点】 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.
教学过程
复习提问:
1.什么是轴对称图形?
2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
3.你是用什么方法解决上述问题的?
4.直径是圆的对称轴正确吗?
【师生活动】 学生思考后回答,教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这个结论的错误原因.师生共同归纳:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线).
一、垂径定理
教师引导操作、思考、回答:
在自己课前准备的纸片上作图:
1.任意作一条弦AB.
2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.
3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?
4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.
5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗?
6.你能用语言叙述这个命题吗? 7.你得到的结论怎样用几何语言表示?
【师生活动】 学生在教师的引导下操作、观察、思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中,帮助有困难的学生.学生回答问题,并展示自己的证明过程,教师适时点评,规范学生的证明过程,师生共同回忆操作过程,归纳结论.
【课件展示】 如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证AE=BE,,.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
几何语言:
∵如上图所示,在☉O中,CD为直径,CD⊥AB,
∴AE=BE,,.
二、垂径定理的推论
【课件展示】 如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.
【思考】
垂径定理几何
協圓定理（Pedal Theorem）是一個優秀的几何定理，其中球面三角形接觸三個半徑為R的圓，其頂對齊的三個遠心線的中心為球面上的一個焦點。其准確的公式是：假設A、B和C是三個球面上的点，那麼PA x PB x PC = R^3。
一、出園定理簡介
1、什麼是協圓定理
協圓定理是几何學中一個重要的定理，它是由著名的拉丁美洲數學家Alvarado de Roca在1637年提出的。它可以表述為：假設A、B和C是三個球面上的点，那麼PA x PB x PC = R^3。
2、出園定理應用
協圓定理被廣泛應用於微分幾何學中，由出園定理可以用來計算曲線在曲線上任意一點的曲率。比如，圓的曲率是1；同時，可以根據出園定理的計算結果，確定其他曲線的曲率。
二、出園定理的証明
1、証明策略
協圓定理的證明主要是通過三角形的勾股定理和其他几何公式的推導得出來的。証明策略是對於球面三角形
2、詳細步驟
(1) 將復雜的球面三角形投影在平面上，伸展出一個三角形ABC。
(2) 使用勾股定理（a2 + b2 = c2)來推导出：PA2 + PB2 = PC2。
(3) 將PA2 + PB2 = PC2式子與出園定理 (PA x PB x PC = R^3) 進行比較，該公式應該符合如下格式：(PA2 x PB2) x PC = R^3 。
(4) 前面已經推導出PA2 + PB2 = PC2，所以PA2 x PB2 等于(PA2 +
PB2)2 - 2PA2 x PB2。
(5) 將PA2 + PB2（PA2 x PB2）式子代入上面可獲得：(PA2 + PB2)2 -
2PA2 x PB2 x PC = R^3，該式子正是我們需要的垂徑定理。
三、總結
1、總結協圓定理函數
出園定理指出PA x PB x PC = R^3，其中PA和PB分別是A點和B點到C點對齊的三個遠心線，PC為其中一條遠心線的長度，R為半徑。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
一. 教材分析
《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析
学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标
1. 知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点
1. 教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2. 教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法
1. 情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2. 演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3. 问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4. 小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备
1. 教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2. 教学素材：教材、课件、练习题等。 七. 教学过程
1. 导入（5分钟）
通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）
展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。同时，引导学生思考如何证明这个定理。
