2020年新疆乌鲁木齐高二(下)期中数学试卷(理科)
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期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z＝（a+i）2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a的值是（）A. ﹣1B. 1C.D. ﹣2.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）A. B. C. D.3.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A. 100B. 200C. 300D. 4004.4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为（）A. B. C. D.5.把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是（）A. 10B. 20C. 40D. 606.已知a∈（0，+∞），不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，可推广为x+≥n+1，则a的值为（）A. 2nB. n2C. 22（n-1）D. n n7.如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（）A. 相关系数r变大B. 残差平方和变大C. 相关指数R2变大D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强8.（x+）（2x-）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A. -40B. -20C. 20D. 409.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（）A.B.C.D.10.若函数f（x）=（a＞0）在[1，+∞）上的最大值为，则a的值为（）A. B. C. +1 D. -111.设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A. P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B. P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C. 对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D. 对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）12.若不等式2x ln x≥-x2+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （-∞，4]D. [4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=e-x+ln（-x），则f'（-1）=______．14.=______．15.设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.16.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的安排方法有________种．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．18.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（1）求证：AA1⊥平面ABC，并证明AB⊥AC．（2）求二面角A1-BC1-C的余弦值．19.一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能一只昆虫飞出（假设任意一只昆虫等可能地飞出）已知若有2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是（1）求盒子中蜜蜂的数量（2）从盒子中先后任意飞出3只昆虫，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．20.北京时间2017年5月27日，谷歌围棋人工智能AlphaGo与中国棋手柯洁进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在0：3．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．附：K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.01k0 3.841 6.63521.（1）已知，a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞ab2+ba2．（2）已知已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求证：．22.设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x，（x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g（x）=（a2+）e x，若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算变形，再由实部为0且虚部小于0求解．【解答】解：z=（a+i）2=（a2-1）+2ai，据条件有，解得a=-1．故选A．2.【答案】A【解析】解：观察已知的三个图象，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，根据些规律观察四个答案，发现A符合要求．故选：A．本题考查的归纳推理，要根据前3个图形的变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中三个图形中，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，所以不难根据些规律选择正确的答案．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．3.【答案】B【解析】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B （1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选：B．首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．4.【答案】B【解析】解法一：记事件A={第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B={第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得P（A∩B）==，P（A）==，所以P（B|A）===．解法二：记事件A={第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B={第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n（A∩B）=3×2=6，事件A发生所包含的基本事件数n（A）=3×3=9，所以P（B|A）===．故选：B．解法一：利用条件概率的公式求解，根据P（B|A）=分别求出P（A∩B）和P（A）即可，解法二：利用计数原理分别求出出A∩B和A包含的基本事件的个数，本题考查了条件概率的求法，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意知本题需要分类来解，首先选出两位运动员使得这两位运动员的编号与跑道编号相同，有C52种结果，剩下的三位运动员先让一名运动员选跑道，有两种选法，余下的两个人只有一种结果，共有C25C12=20．故选：B．本题需要分类来解，选出两位运动员使得这两位运动员的编号与跑道编号相同，有C52种结果，剩下的三位运动员先让一名运动员选跑道，有两种选法，余下的两个人只有一种结果，根据分步计数原理得到结果．本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．6.【答案】D【解析】解：第一个不等式的a=1，第二个不等式的a=4=22，第三个不等式的a=27=32，则由归纳推理可知，第n个不等式的a=n n．故选：D．分别分析各个不等式的特点，归纳出a的值．本题考查了归纳推理、分析能力，认真观察各式，根据所给式子的结构特点的变化情况总结规律是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．故选：B．由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数R2及残差平方和与相关性的关系得出选项．本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r，相关指数R2及残差平方和，属于一道基础题．8.【答案】D【解析】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x-）5故其常数项为-22×C53+23C52=40．故选：D．由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．9.【答案】B【解析】解：开关C断开的概率为，开关D断开的概率为，开关A、B至少一个断开的概率为1-=，开关E、F至少一个断开的概率为1-=，故灯不亮的概率为=，故灯亮的概率为1-=，故选：B．先由条件求得灯不亮的概率，再用1减去此概率，即得所求．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，等可能事件的概率，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：f（x）的导数为f′（x）=，当a＞1时，x＞时，f′（x）＜0，f（x）单调减，当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调增，当x=时，f（x）取得最大值=，解得a=＜1，不合题意；当a=1时，f（x）在[1，+∞）递减，f（1）最大，且为，不成立；当0＜a＜1时，f（x）在[1，+∞）递减，f（1）最大，即f（1）==，解得a=-1，故选：D．对函数f（x）=（a＞0）进行求导，讨论a研究函数在[1，+∞）上的单调性，而求出最大值，即可得到a的值．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，注意运用分类讨论的思想方法，属于研究最值问题的中档题．11.【答案】C【解析】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．12.【答案】C【解析】解：∵2x lnx≥-x2+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤x+2ln x+，x＞0，令y=x+2ln x+，则=，由y′=0，得x1=-3，x2=1，x∈（0，1）时，y′＜0；x∈（1，+∞）时，y′＞0．∴x=1时，y min=1+0+3=4．∴a≤4．∴实数a的取值范围是（-∞，4]．故选：C．由已知条件推导出a≤x+2ln x+，x＞0，令y=x+2ln x+，利用导数性质求出x=1时，y取最小值4，由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．13.【答案】-1-e【解析】解：因为f（x）=e-x+ln（-x），所以f′（x）=-e-x+，所以f′（-1）=-e-1，故答案为：-e-1．由导函数的求法得：f′（x）=-e-x+，所以f′（-1）=-e-1，得解．本题考查了导函数的求法，属基础题．14.【答案】8π【解析】解：（+x）dx=，又的几何意义为x2+y2=16（y≥0）的面积，所以=8π，又==0，即（+x）dx==8π+0=8π，故答案为：8π．由定积分的运算及几何意义得：的几何意义为x2+y2=16（y≥0）的面积，所以=8π，又==0，即（+x）dx==8π+0=8π，得解．本题考查了定积分的运算及几何意义，属中档题．15.【答案】0【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．根据题意，可得（x-1）21展开式的通项公式，结合题意，可得a10=-，a11=，进而相加可得答案．【解答】解：根据题意，（x-1）21的通项公式为T r+1=x21-r•（-1）r，则有T11=x11•（-1）10，T12=x10•（-1）11，则a10=，a11=，故a10+a11=-=0．故答案为：0．16.【答案】432【解析】【分析】由排列组合问题得：第一类，文化课之间没有艺术课，有=144种；第二类，文化课之间有一节艺术课，有=216种；第三类，文化课之间有两节艺术课，有=72种．得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．【解答】解：由题意知，可分为三类：第一类，文化课之间没有艺术课，有=144种；第二类，文化课之间有一节艺术课，有=216种；第三类，文化课之间有两节艺术课，有=72种．故共有144+216+72=432种安排方法，故答案为：432．17.【答案】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2-x-y=0直线，即ρsinθ-ρcosθ=1则直线l的直角坐标方程为：y-x=1，即x-y+1=0（2）由得…8'故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．【解析】（1）利用ρsinθ=y；ρcosθ=x；x2+y2=ρ2，利用两角差公式求解即可．（2）联立直线l与圆的方程，求出交点，转化为极坐标即可．本题是基础题，考查简单曲线的极坐标方程，考查化简计算能力．18.【答案】证明：（1）∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，∴AA1⊥AC，∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC，∵AC=4，AB=3，BC=5．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．解：（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，4），B（0，3，0），C1（4，0，4），C（4，0，0），=（4，-3，4），=（0，-3，4），=（4，-3，0），设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），则，取y=4，得=（0，4，3），设平面BC1C的法向量=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，4，0），设二面角A1-BC1-C的平面角为θ，由图形得θ为钝角，∴cosθ=-=-=-，∴二面角A1-BC1-C的余弦值为-．【解析】（1）推导出AA1⊥AC，从而AA1⊥平面ABC，再由色股定理能证明AB⊥AC．（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1-BC1-C的余弦值．本题考查线面垂直、线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】解：（1）设有蜜蜂x只，则其他昆虫为11-x，飞出的昆虫是蝴蝶或蜻蜓的概率：，解得：x=4；（2）X的取值为：0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==．随机变量X的分布列：因此X的分布列为：X0 12 3P∴EX==．【解析】（1）设有蜜蜂x只，则其他昆虫为11-x，然后利用古典概型概率计算公式列式求得x；（2）写出X的取值，利用古典概型概率计算公式求出相应的概率，列出分布列，由期望公式求得期望．本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了离散型随机变量的分布列与期望，属中档题．20.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而得出2×2列联表如下；非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2===≈3.030；因为3.030＜3.841，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名“围棋迷”的概率为；由题意知，X～B（3，），所以X的分布列为：X0123P数学期望为E（X）=3×=，方差为D（X）=3××=．【解析】（1）由频率分布直方图，结合题意填写列联表，计算K2，对照数表得出结论；（2）由题意知X～B（3，），写出X的分布列，计算数学期望E（X）和方差D（X）．本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．21.【答案】证明：（1）a3+b3-ab2-ba2=a（a2-b2）+b（b2-a2）=（a-b）（a2-b2）=（a+b）（a-b）2，∵a，b都是正数，∴a+b＞0，又∵a≠b，∴（a-b）2＞0，∴（a+b）（a-b）2＞0，∴a3+b3＞ab2+ba2；（2）∵a+b+c=1，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，可得ab+bc+ac≤a2+b2+c2，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥（当且仅当a=b=c取得等号）．【解析】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查不等式的性质，考查推理能力，属于基础题．（1）运用作差法和因式分解，即可得证；（2）运用基本不等式和不等式的性质，即可得证．22.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2+ax+b）e3-x∴f′（x）=（2x+a）e3-x-（x2+ax+b）e3-x=-[x2+（a-2）x+b-a]e3-x，由题意得：f′（3）=0，即32+3（a-2）+b-a=0，b=-2a-3，∴f（x）=（x2+ax-2a-3）e3-x且f′（x）=-（x-3）（x+a+1）e3-x令f′（x）=0得x1=3，x2=-a-1．∵x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x，（x∈R）的一个极值点∴x1≠x2，即a≠-4故a与b的关系式b=-2a-3，（a≠-4）．（1）当a＜-4时，x2=-a-1＞3，由f′（x）＞0得单增区间为：（3，-a-1）；由f′（x）＜0得单减区间为：（-∞，3），（-a-1，+∞）；（2）当a＞-4时，x2=-a-1＜3，由f′（x）＞0得单增区间为：（-a-1，3）；由f′（x）＜0得单减区间为：（-∞，-a-1），（3，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当a＞0时，x2=-a-1＜0，f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，∴，f（x）max=f（3）=a+6．∴f（x）在[0，4]上的值域为[-2（a+3）e3，a+6]．又g（x）=（a2+）e x，在x∈[0，4]上单调递增，∴g（x）在x∈[0，4]上的值域为．由于≥0，∴若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，必需，解得0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．【解析】（I）利用函数导数与极值的关系即可得出a与b的关系，对a分类讨论即可得出函数f（x）的单调性；（II）利用单调性分别求出函数f（x），g（x）的值域，f（x）在[0，4]上的值域为[-2（a+3）e3，a+6]．g（x）在x∈[0，4]上的值域为．由于≥0，可知：若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，必需，解得即可．本题考查了利用函数导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，属于难题．。
