5-1.3 谓词逻辑-2

§3.1.1 谓词和量词
于是，用谓词的概念可将三段论做如下 的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。
则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(张三) R： M(张三)
§3.1.1 谓词和量词
例如我们想得到 “命题”P的否定 “命 题”，应该就是“命题”P。但是，
TI(H) = TI(P(2)Q(2，2)P(3)Q(3，2)) =0110 =0
定义3.2.5 公式G称为可满足的，如果存 在解释I，使G在I下取1值，简称I满足G。 若I不满足G，则简称I弄假G。
定义3.2.6 公式G称为是恒假的(或不可满 足的)，如果不存在解释I满足G；公式G称 为恒真的，如果G的所有解释I都满足G。
是项，则f(t1, …, tn)是项； 4) 所有项都是有限次使用1)，2)，3)生成
的符号串。
定义3.2.2
若P(x1,…,xn)是n元谓词符号，t1,…,tn是 项，则P(t1,…,tn)是原子。
定义3.2.3 公式
谓词逻辑中的公式，被递归定义如下：
1) 原子是公式； 2) 若G，H是公式，则(G)，(GH)，(GH)，
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
定义3.3.2 设G，H是公式，称G蕴涵H， 或H是G的逻辑结果，如果公式GH是恒 真的，并记以GH。
显然，对任意两个公式G，H，G蕴涵H 的充要条件是：对任意解释I，若I满足G， 则I必满足H。
同样，命题逻辑中的基本蕴涵式仍成立。
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
证令明G：1 =H是x(GH1(x)G2M的(逻x))辑，结G2果=H。(a)，H=M(a) 张因三为)，，且设II满是足GG1 ，1GG22，，H即的I满一足个解释(I指定a为

谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。

即，能找出一个就表示存在。

公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。

规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。

2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。

公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。

3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。

4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。

5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。

按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。

以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。

这是命题，作为谓词逻辑的对象， 张明” 个体， 这是命题，作为谓词逻辑的对象，“张明”是个体，“是位大 学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。 学生” 谓词，它刻划了“张明”的性质。 设 P：是位大学生 a：张明 则“张明是位大学生”可表示为P(a)， 张明是位大学生”可表示为P(a)， P(a) 或者写成P(a)：张明是位大学生。 或者写成P(a)：张明是位大学生。 P(a)
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一、谓词的概念及表示法
将下列命题用0元谓词符号化，并讨论它们的真值。 将下列命题用 元谓词符号化，并讨论它们的真值。 元谓词符号化 (1) 2是素数且是偶数 是素数且是偶数 (2) 如果 大于 ，则2大于 如果2大于 大于3， 大于4 大于 解：(1)设一元谓词F(x)：x是素数；一元谓词G(x)：x (1) F(x) x G(x) x 是偶数；a：2。 则(1)中命题符号化为0元谓词的合取式： F(a) ∧G(a)。 (2) 设二元谓词L(x, y)：x大于y；a：2；b：3；c：4. 命题符号化为L(a,b) → L(a,c)
一阶逻辑(谓词逻辑）
1
内容要点： 谓词和个体 CH4 量词 CH4
一阶逻辑公式 CH4 一阶逻辑等值式 CH5 置换规则 CH5 一阶逻辑前束范式CH5
推理理论
CH5
2
引 言
整除， 例：凡偶数都能被2整除， 凡偶数都能被 整除 6是偶数。 是偶数。 是偶数 所以， 能被 能被2整除 所以，6能被 整除 将它们命题符号化： 将它们命题符号化： p：凡偶数都能被2整除 ：凡偶数都能被 整除 q： 6是偶数 ： 是偶数 r： 6能被 整除 ： 能被 能被2整除 则推理的形式结构符号化为： 则推理的形式结构符号化为： (p∧ q) → r ∧
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5 谓词逻辑(1) 命题逻辑:是研究以原子命题为基本单位的复合命题的逻辑关系和推理,由于没有揭示原子命题内部成分或原子命题之间内部成分的联系,在推理中必会遇到一定的困难. 例1用形式推理证明 “凡人都是要死的.苏格拉底是人 ,所以苏格拉底是要死的. ” 解1若用 :P 人都是要死的.:Q 苏格拉底是人.:R 苏格拉底是要死的.在命题逻辑中可用 公式()P Q R ∧→表示.2但上述命题公式并非永真(,P Q 赋值,T R 赋值F 时,公式真值是F )即R 不是有效结论,但按常理推论又是正确的,3但按常理推理又是正确的,问题出在,P Q 中的人和苏格拉底的的逻辑关系在表达上没有体现.解决思路 语法指出一个陈述句是由主语和谓语组成,为揭示命题内部结构以及命题之间的内部结构关系,按照上述两个成分对命题进行分解,将主语称为个体,谓语称为谓词,即将原子命题再精细化.例2 张华是大学生. ()P a 其中,()P x :x 是大学生.a :张华.5大于3. (5,3)A 其中:(,)A x y :x 大于y .定义1 原子命题中表示思维对象的词称为个体词,具体个体称为个体常元,用,a b 表示.抽象个体称为个体变元,用,x y 表示.原子命题中表示个体的性质或之间关系的词,称为谓词.一元谓词用(),(),,P x Q x 二元谓词用(,),(,),,P x y M t s 表示.个体变元的论述范围称为个体域,用D 表示.注 1 一元谓词()P x 表示个体的性质,多元谓词(,,)Q x y z 表示个体之间的关系.2 谓词(),(,)P x Q x y 仅当个体变元,x y 由个体常元,a b 替换后,才表示一个命题, 其真值依个体变元在论域中取不同值而可能改变..即在谓词逻辑层面上对命题作了精细的描述.3 当0,n =称为零元谓词,即命题逻辑中的命题,这样命题与谓词就得到了统一. 例3 用个体词,谓词,逻辑联结词表达下列命题(a) 2即是偶数又是素数.(b) 如果你不出去,我就不进去.(c) 当李明比王伟年龄大时, 周老师才会唱歌,解(a) ()P x :x 是偶数,()Q y :y 是素数.D :自然数集合.2, 2.x y ==则有命题在谓词逻辑中的表示: (2)(2).p Q ∧(b) ()A x :x 出去,()B y y 进去.D :全总个体域.:a 我.:b 你.则有命题在谓词逻辑中的表示: ()().B b A a ⌝→⌝(c) (,)M x y :x 比y 年龄大.()N z :z 唱歌.:a 李明,:b 王伟,:c 周老师.则有命题在谓词逻辑中的表示: (,)().M a b N c →(2) 命题中的个体可能是讨论对象的全体,也可能是其中的一个,为完整表述命题.引入定义2 称符号∀为全称量词.()xP x ∀:一切的x 具有性质().p x称符号∃为存在量词.()Q y ∃:有某个y 具有性质().Q y例4 在谓词逻辑中符号化下列命题(a) 所有的人都是脊椎动物.(b) 有人活到一百岁.解 D :全总个体域()M x :x 是人,()Q x :x 是脊椎动物,():R x x 活一百岁.则有 (a) (()()).x M x Q x ∀→(b) (()()).x M x R x ∃∧例5 1 f (x ,y )：x +y ，N (x )：x 是自然数，那么N (f (2,3))：5是自然数。