2019届高三数学文一轮复习：第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练34含解析

2019届高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明课时跟踪训练36 二元一次不等式(组)与简单的线性规划文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明课时跟踪训练36 二元一次不等式(组)与简单的线性规划文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时跟踪训练(三十六）二元一次不等式(组）与简单的线性规划［基础巩固］一、选择题1．(2017·山西临汾一中)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示）是( )［解析］由y·(x＋y－2）≥0,得错误!或错误!所以不等式y·(x＋y－2）≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项,故选C。

［答案］C2．（2017·河北卓越联盟联考）已知点(－3,－1）和（4，－6）在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为（)A．（－7,24)B．(－∞，－7)∪(24,＋∞）C．（－24,7)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)[解析］由题意可知(－9＋2－a）（12＋12－a）〈0，所以（a＋7）·（a －24）〈0,所以－7〈a<24.［答案］A3．(2017·山东卷）已知x，y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的最大值是( )A．0 B．2 C．5 D．6［解析] 本题考查简单的线性规划．由约束条件画出可行域，如图．由z＝x＋2y得y＝－错误!＋错误!,当直线y＝－错误!＋错误!经过点A时，z取得最大值，由错误!得A点的坐标为（－3，4)．故z＝－3＋2×4＝5.故max选C。

课时跟踪训练(三十六)[基础巩固]一、选择题1．(2017·山西临汾一中)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )[解析]由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎨⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.[答案] C2．(2017·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)[解析] 由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)·(a －24)<0，所以－7<a <24.[答案] A3．(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6[解析] 本题考查简单的线性规划．由约束条件画出可行域，如图．由z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z 2，当直线y ＝－x 2＋z2经过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0得A 点的坐标为(－3,4)．故z max ＝－3＋2×4＝5.故选C.[答案] C4．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)[解析] 本题考查线性规划中可行域的判断，最优解的求法． 不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－12x ，当直线过点A (2,1)时，z 有最小值4.显然z 没有最大值．故选D.[答案] D5．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，当直线y ＝ax 与直线2x －y ＋2＝0或直线x ＋y －2＝0平行时，符合题意，则a ＝2或－1.[答案] D6．(2018·浙江重点中学联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,10]D ．[3,11][解析] 根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3.故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z＝3x －4y 的最小值为________．[解析] 本题考查简单的线性规划．画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)．可得目标函数z ＝3x －4y 在点A (1,1)处取得最小值，z min ＝3×1－4×1＝－1.[答案] －18．(2017·吉林省吉林市普通高中调研)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM→的取值范围是________．[解析] 由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)．由z ＝OA →·OM →＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以OA →·OM →的取值范围为[0,2]．[答案] [0,2]9．(2018·辽宁抚顺模拟)已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则实数k ＝________.[解析] 依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k 3.目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大值．所以z max ＝－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝－4k3＝8，解得k ＝－6.[答案] －6 三、解答题10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解] (1)作出可行域如图阴影部分所示，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，当其过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)z ＝ax ＋2y 仅在点C (1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．[能力提升]11．(2018·安徽皖南八校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5]C ．[0,5)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5[解析] 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，作出可行域如图所示阴影部分．联立⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)．联立⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23， 令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当直线y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为2×13－2×23－1＝－53.∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)． [答案] C12．当x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －ay ≤2，x －y ≥－1，2x ＋y ≥4，时，z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．－12<a <1 C ．0≤a <1 D ．a <0[解析]先作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≥0表示的可行域(图略)，再作x －ay －2≤0，因为x －ay －2＝0过定点(2,0)，且x －ay －2≤0与前面可行域围成的区域是封闭区域，故实数a 的取值范围是－12<a <1.[答案] B13．(2017·湖北荆襄七校联考)某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6，则该学校今年计划招聘教师最多________人．[解析] 根据线性约束条件画出可行域，如图所示．易知目标函数是z ＝x ＋y ，注意到可行域的一条边界x ＝6是虚线，可知可行域内使得z 取得最大值的正整数解为(5,5)，所以z max ＝5＋5＝10，即学校今年计划招聘教师最多10人．[答案] 1014．(2017·江西上饶期末)若Ω为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的那部分区域的面积为________．[解析] 根据线性约束条件作出可行域，如图所示．可见当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的区域为三角形OAB .显然AC ⊥OB ，|OA |＝|OC |，所以S △OAB ＝12S △OAC ＝12×12×2×2＝1.[答案] 115．(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解](1)由题意，得x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋13z ，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线．z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值 最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.所以生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[延伸拓展](2017·江西高安中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3，2x －y ＋λ－2≥0表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．[1,2]C ．[2,4]D ．(2，＋∞)[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3表示的是直线x ＝1和y ＝3分平面所得四个区域中的左下角那个区域．而不等式2x －y ＋λ－2≥0表示直线2x －y ＋λ－2＝0的右下方，由图可知，要使不等式组表示的平面区域经过四个象限，则应有λ－2>0⇒λ>2，故选D.[答案] D。

课时跟踪训练(三十八)
[基础巩固]
一、选择题
1．观察下面关于循环小数化分数的等式：
0.3·＝39＝13，0.1·8·＝1899＝211，0.3·5·2·＝352999，0.0005·9·＝11000×5999＝5999000
，据此推测循环小数0.23·
可化成分数(
) A.2390
B.9923
C.815
D.730[解析]
0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730
. 选D.
[答案] D 2．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14
，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为(
) A.3724
B.76
C.1115
D.715[解析]由给出的数列{a n }的前10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列到104项，所以a 99
与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78，69，∴。

名师对话2019届高考高三数学（文）一轮复习课时跟踪训练(三十七)[基础巩固]一、选择题1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.[答案] D2．(2017·福建福州外国语学校期中)在下列各函数中，最小值为2的函数是( )A ．y ＝x ＋1x (x ≠0) B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2(x ∈R )D ．y ＝e x＋4e x －2(x ∈R )[解析] 对于A 项，当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；对于B项，因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；对于C 项，因为x 2＋2≥2，所以y ＝(x 2＋2)＋1x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也不能取到，故C 错；对于D 项，因为e x >0，所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x·4ex －2＝2，当且仅当e x ＝2，即x ＝ln2时等号成立．故选D.[答案] D3．(2017·陕西咸阳质检)已知x ＋y ＝3，则2x ＋2y 的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．3 2 D ．4 2[解析] 因为2x >0,2y >0，x ＋y ＝3，所以由基本不等式得2x ＋2y≥22x·2y＝22x ＋y ＝42，当且仅当2x＝2y，即x ＝y ＝32时等号成立，故选D.[答案] D4．(2017·湖南衡阳四校联考)设x ，y 为正实数，且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．2＋2 2B ．3＋2 2C ．2D ．3[解析] 因为x ，y 为正实数，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22y x ·xy ＝3＋22，当且仅当x ＝2y ＝2－1时取等号．所以1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.故选B.[答案] B5．(2017·江西九江一中期中)已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，那么m 的最大值等于( ) A ．10 B ．7 C ．8 D ．9[解析] 不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，即不等式m ≤(2a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2ba ≥5＋2 2ab ·2ba ＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以m ≤9，m 的最大值等于9，故选D.[答案] D6．(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q[解析] ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.[答案] B二、填空题7．(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．[解析] ∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，∴1a ＋2b ＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b a ＋2＋4a b ≥4＋2b a ·4ab＝8(当且仅当b ＝2a ，即a ＝2，b ＝4时取等号)．[答案] 88．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则12，2ab ，a 2＋b 2，b 四个数中最大的是________．[解析] 根据基本不等式知a 2＋b 2>2ab (b >a >0)，因为b >a >0，且a ＋b ＝1，所以b >12>a .因为b －a 2－b 2＝b (a ＋b )－a 2－b 2＝a (b －a )>0，所以12，2ab ，a 2＋b 2，b 四个数中最大的是b .[答案] b9．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．[解析] 本题考查基本不等式及其应用． 设总费用为y 万元，则y ＝600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥240.当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时，等号成立． [答案] 30 三、解答题10．(1)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.(2)设a 、b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2. [证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． (2)∵1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．又2ab ＋ab ≥22，当且仅当ab ＝2时取等号，∴1a 2＋1b 2＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ，ab ＝2，即a ＝b ＝42时取等号．[能力提升]11．(2017·河北保定一模)司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A ．甲合适B ．乙合适C ．油价先高后低甲合适D ．油价先低后高甲合适[解析] 设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y 元/升．甲的平均单价为mx ＋my 2m ＝x ＋y2，乙的平均单价为2n n x ＋n y ＝2xyx ＋y ，因为x ≠y ，所以x ＋y22xy x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy 4xy >4xy 4xy ＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适，故选B.[答案] B12．(2018·贵州铜仁一中月考)若两个正实数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，且不等式x ＋y 2<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－4,1)C ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)[解析] x ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝2＋y 2x ＋2xy ≥2＋2y 2x ·2xy ＝4.当且仅当y 2x ＝2x y ，即y ＝2x 时等号成立，所以x ＋y 2最小值为4.因为x ＋y 2<m 2－3m 有解，所以m 2－3m >4.解得m <－1或m >4.故选C.[答案] C13．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．[解析] 因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0, 则0<y <4，所以x ＋y ＝4－yy ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．[答案] 26－314．(2017·四川资阳期末)已知函数f (x )＝x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝x 3＋3x (x ∈R )，满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数且f (x )在R 上单调递增．因为不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则2m ＋mt 2<－4t 在t ≥1时恒成立，分离参数得m <－4t t 2＋2＝－4t ＋2t .因为t ＋2t ≥2t ·2t ＝22(当且仅当t ＝2时取等号)，所以m <－ 2.[答案] (－∞，－2)15．(2017·河北唐山一模)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y 的最小值．(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．[解] (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5. 16．某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x 台(x 为正整数)，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7800元．(1)求全年所付运费和保管费之和y 关于x 的函数关系式； (2)若全年只有8000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？[解] (1)设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为k ，则y ＝360x ×300＋k (3000×x )＝108000x ＋3000kx .又当x ＝20时，y ＝7800，代入可得k ＝0.04.故所求y 关于x 的函数关系式为y ＝108000x ＋120x (x ∈N *)．(2)由(1)知，y ＝108000x ＋120x (x ∈N *)．根据基本不等式可得，y ＝108000x ＋120x ≥2108000x ×120x ＝2×3600＝7200，当且仅当108000x ＝120x ，即x ＝30时，等号成立．故当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7200元，此时资金够用．[延伸拓展](2017·内蒙古包头二模)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256[解析] 解法一(常数代换法)：设数列{a n }的公比为q (q >0)，由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，所以q ＝2.因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝32，当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立．所以1m ＋4n 的最小值为32，故选A.解法二(拼凑法)：由解法一可得m ＋n ＝6，所以n ＝6－m ， 又m ，n ≥1，所以1≤m ≤5.故1m ＋4n ＝1m ＋46－m ＝6－m ＋4m m (6－m )＝3(m ＋2)m (6－m )＝3m (6－m )m ＋2＝－3[(m ＋2)－2][(m ＋2)－8]m ＋2＝－3(m ＋2)＋16m ＋2－10. 由基本不等式可得(m ＋2)＋16m ＋2－10≥2(m ＋2)×16m ＋2－10＝－2(当且仅当m ＋2＝16m ＋2，即m ＝2时等号成立)，易知(m ＋2)＋16m ＋2－10<0， 所以1m ＋4n ≥－3－2＝32.故选A.[答案] A。