不等式的证明-高考理科数学试题

高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解； 当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1， 这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。

考点60 不等式的证明、柯西不等式1．已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为c，实数a，b满足，求证：．【答案】（1）；（2）见解析2．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.3．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设，证明: .【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）当时，恒成立，所以；当时，，所以，综合可知，不等式的解集为.4．设函数，（实数）（1）当，求不等式的解集；（2）求证：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原不等式等价于，当时，可得，得；当时，可得，得不成立；当时，可得，得；综上所述，原不等式的解集为5．已知函数，关于的不等式的解集记为. （1）求；（2）已知，，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由，得，即或或解得或，所以，集合.（2）证明：∵，，∴，∴，，，∵，∴.6．已知，且，证明：（1）；（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析7．关于的不等式的解集为.（1）某某数的值；（2）若，且，求证：. 【答案】（1）1（2）见解析【解析】8．已知函数，.（1）解不等式；（2）设，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得原不等式为，等价于或或，解得或或，综上可得．∴原不等式的解集为．（2），当且仅当时等号成立．9．已知实数x, y满足.（1）解关于x的不等式；（2）若，证明：【答案】（1）；（2）9（2）且，.当且仅当时，取“=”.10．已知，且.（1）若恒成立，求的取值X围；（2）证明：.【答案】(1);(2)见解析.当时，，解得，故；综上，.（2），，.11．已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意恒成立，求证：. 【答案】(1) ；(2)证明见解析.因为对任意恒成立，所以，又，所以．12．已知，不等式的解集是.（1）求集合；（2）设，证明：.【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析.13．已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为k ，证明：对任意的正数a ，b ，c ，当a b c k ++=a b c k ≤成立.【答案】(1) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;(2)见解析.14．已知实数,,a b c 满足()4a b c +=，证明： （1）()2228a b c +≥； （2）22228a b c ++≥. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）由()4a b c +=，得()2216a b c +=， 所以()222216a b bc c ++=， 即222162b bc c a ++=. 因为()222222b bc c b c ++≤+，当且仅当b c =时，取等号， 所以()222162b c a≤+， 所以()2228a b c ≤+，15．已知，．（1）求的最小值（2）证明：． 【答案】（1）3；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．（2）．16．已知函数()2F x x m x =-++的图象的对称轴为1x =.（1）求不等式()2F x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求证：12924a b +≥. 【答案】(1) ][(),04,-∞⋃+∞ (2)见解析17．已知函数()23f x x x m =---R ；（1）某某数m 的取值X 围；（2）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.【答案】（1）3m ≤-；（2）3518．已知函数()31f x x x =++-的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，a b m +=，求证1494a b +≥． 【答案】（1）4m =（2）见解析【解析】（1）()31314f x x x x x =++-≥++-=，取等号时，()()310x x +-≥，即31x -≤≤，故m=4．（2）由（1）a+b=4，所以14145444a b a b a b a b b a +⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 因为2144a b a b b a b a +≥⋅=，取等号时，4a b b a =，因为a+b=4，所以a=43，83b =．故1494a b +≥． 19．（1）已知函数()3,f x x a x a R =--+∈.若[]0,3x ∈时，()4f x ≤，某某数a 的取值X 围； （2）已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥. 【答案】(1）[－7，7]（2）见解析【解析】、（1）当[]0,3x ∈时，()4f x ≤即7x a x -≤+，由此77x x a x -≤-≤+在[]0,3上恒成立，故得7a ≥-且27a x ≤+．当[]0,3x ∈时，27x +的最小值为7，所以a 的取值X 围是[]7,7-． （2）因为()()()2220a b a c b c -+-+-≥，所以222a b c ab bc ac ++≥++，所以()2223a b c ∴++≥()21a b c ++=，故22213a b c ++≥.20．已知函数f(x)=x+2,g(x)=2-2x, （Ⅰ）若，且恒成立，某某数的取值X 围； （Ⅱ）若，求的最大值．【答案】(1);(2).21．已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.【答案】(1)（2）22．选修4-5：不等式选讲（1）已知，都是正实数，且，求的最小值；（2），，求.【答案】(1);(2)见解析.【解析】（1）由柯西不等式得，当且仅当时取等号；∴，∴的最小值为.（2）. 23．已知函数．（Ⅰ）若，且恒成立，某某数的取值X围；（Ⅱ）若，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.24．已知函数的最小值为（，，为正数）.（1）求的最小值；（2）求证：.【答案】（1）36；（2）见解析.【解析】（1）∵（当且仅当时取等号），由题意，得.根据柯西不等式，可知，∴.∴的最小值为36.（2）∵，，，∴，∴.25．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，则的最大值为________．【答案】。

高考数学三年真题专题演练—不等式、推理与证明
1．【2021·浙江高考真题】若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出满足条件的可行域，目标函数化为 ，求出过可行域点，且斜率为 的直线在 轴上截距的最大值即可.
【详解】
画出满足约束条件 的可行域，
如下图所示：
故选：B
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A． B．
C． D．
下面来说明选项A的正确性：
设集合 ，且 ， ，
则 ，且 ，则 ，
同理 ， ， ， ， ，
若 ，则 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 ，故 ，矛盾，舍.
若 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 .
若 ，则 ，故 ，故 ，
即 ，故 ，
此时 即 中有7个元素.
故A正确.
故选：A．
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

专题六 不等式，推理与证明1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列解析：选B.在△A 1B 1C 1中，b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1， ∴b 1>a 1>c 1.在△A 2B 2C 2中，a 2＝a 1，b 2＝c 1＋a 12，c 2＝b 1＋a 12，b 2＋c 2＝2a 1，∴c 1<b 2<a 1<c 2<b 1.在△A 3B 3C 3中，a 3＝a 2＝a 1，b 3＝c 2＋a 22＝c 2＋a 12，c 3＝b 2＋a 22＝b 2＋a 12，b 3＋c 3＝2a 1，∴a 1<b 3<c 2，b 2<c 3<a 1， ∴c 1<b 2<c 3<a 1<b 3<c 2<b 1.由归纳知，n 越大，两边c n ，b n 越靠近a 1且c n ＋b n ＝2a 1，此时面积S n 越来越大，当且仅当c n ＝b n ＝a 1时△A n B n C n 面积最大．2．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B. 4．(2013·高考大纲全国卷)不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选D.由|x 2－2|<2，得－2<x 2－2<2，即0<x 2<4，所以－2<x <0或0<x <2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1－22，12)C ．(1－22，13]D ．[13，12)解析：选B.由题意画出图形，如图(1)． 由图可知，直线BC 的方程为x ＋y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b ，解得M (1－b a ＋1，a ＋b a ＋1)．可求N (0，b )，D(－ba，0)．∵直线y ＝ax ＋b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，∴S △B D M ＝12S △ABC .又S △BOC ＝12S △ABC ，∴S △CMN ＝S △O D N ，即12×|－b a |×b ＝12(1－b )×(1－b a ＋1)． 整理得b 2a ＝(1－b )2a ＋1.∴(1－b )2b 2＝1＋a a，∴1b －1＝ 1＋1a ， ∴1b ＝ 1＋1a＋1， 即b ＝11＋1a＋1，可以看出，当a 增大时，b 也增大．当a →＋∞时，b →12，即b <12.当a →0时，直线y ＝ax ＋b 接近于y ＝b .当y ＝b 时，如图(2)，S △CDM S △ABC ＝CN 2CO2＝(1－b )212＝12.∴1－b ＝22，∴b ＝1－22.∴b >1－22.由上分析可知1－22<b <12，故选B.6．(2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.94解析：选C.z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2.7．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：选C.如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)． 当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13.8．(2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x＋1y －2z的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94D ．3 解析：选B.z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0，y >0，z >0)， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴2x＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－(1y －1)2＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1. 9．(2013·高考北京卷)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：选D.A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确；B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1b，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2>b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·[(a ＋b 2)2＋34b 2]，因为(a ＋b 2)2＋34b 2 >0，所以可由a >b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3，故正确．10．(2013·高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg2 }D ．{x |x <－lg 2}解析：选D.由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}．而f (10x )>0，∴－1<10x <12，解得x <lg 12，即x <－lg 2.11．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0，表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)解析：选C.当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此，m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.12．(2013·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A.画出可行域(如图)，由z ＝y －2x 得y ＝2x ＋z ，由图形可知，当直线y ＝2x ＋z 经过点A (5,3)时，z 取得最小值，最小值为z min ＝3－10＝－7.13．(2013·高考福建卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0解析：选B.作出可行域如图阴影部分．作直线2x ＋y ＝0，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得A (1,0)，B (2,0)，∴z min ＝2，z max ＝4.14．(2013·高考福建卷)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1，∴22x ＋y ≤1，∴2x ＋y ≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，即(x ＋y )∈(－∞，－2]． 15.(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝ |x |与y ＝ 2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值是( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2 解析：选A.曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y )的值在逐渐变小，当l 通过点A (－2,2)时，(2x －y )min ＝－6.16．(2013·高考陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数， 则对任意实数x ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[x ＋12]＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ]解析：选D.选项A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1，显然[－x ]≠－[x ]．选项B ，取x ＝1.5，则[x ＋12]＝[2]＝2≠[1.5]＝1.选项C ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，显然[2x ]≠2[x ]． 17．(2013·高考天津卷)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 解析：选A.∵⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，∴f (a )<f (0)，∴a (1＋a |a |)<0，解得－1<a <0，可排除C. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－12＋a <f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎝⎛⎭⎫1＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－12⎝⎛⎭⎫1＋a 2， ∴a ⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－54a .∵－1<a <0，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a >－54， ∴－⎝⎛⎭⎫－12＋a 2>－54，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a 2<54， ∴1－52<a <0.排除B ，D.故选A.18．(2013·高考湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53D.52解析：选C.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y ＝－12x ＋12z ，可知该直线经过y ＝2x 与x ＋y ＝1的交点A (13，23)时，z 有最大值为13＋43＝53.19．(2013·高考江西卷)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：选A.由x <1x <x 2可得⎩⎨⎧x <1x，1x<x 2，即⎩⎨⎧x 2－1x<0，1－x3x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或0<x <1，x <0或x >1，综合知x <－1.20．(2013·高考湖北卷)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元 解析：选C.设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．21．(2013·高考重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92C ．3 D.322解析：选B.(3－a )(a ＋6)＝ －a 2－3a ＋18＝ －⎝⎛⎭⎫a 2＋3a ＋94＋814 ＝ －⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 由于－6≤a ≤3，∴当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)有最大值92.22．(2013·高考四川卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：选C.先将不等式2y －x ≤4转化为x －2y ≥－4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数y ＝x 5＋z5的最优解，进而求得a ，b 的值．∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，x －2y ≥－4，x ≥0，y ≥0，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z ＝5y －x ，得y ＝x 5＋z5.由图知目标函数y ＝x 5＋z5，过点A (8,0)时，z min ＝5y －x ＝5×0－8＝－8，即b ＝－8.目标函数y ＝x 5＋z5过点B (4,4)时，z max ＝5y －x ＝5×4－4＝16，即a ＝16.∴a －b ＝16－(－8)＝24，故选C. 23．(2013·高考重庆卷)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152解析：选A.由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)得(x ＋2a )(x －4a )<0(a >0)，即－2a <x <4a ，故原不等式的解集为(－2a,4a )．由x 2－x 1＝15得4a －(－2a )＝15，即6a ＝15，所以a ＝52，故选A.24．(2013·高考大纲全国卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．解析：由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1,1)时，z min ＝－1＋1＝0.答案：025．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0，所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：如图所示，M 为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以|OM |的最小值＝22＝ 2.答案： 2 26．(2013·高考江苏卷)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．解析：由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A (12，0)，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是[－2，12]．答案：[－2，12]27．(2013·高考大纲全国卷)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域为D ，若直线y＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．解析：不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C (0，43)．直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a .由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4.若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，数形结合可得12≤a ≤4.答案：[12，4]28．(2013·高考山东卷)定义“正对数”：ln ＋x ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1.现有四个命题： ①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a >0，b >0，则ln ＋(a b )≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)解析：①当a >1时，∵b >0，∴a b >1，∴ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a .当0<a <1时，∵b >0，∴a b <1，∴ln ＋(a b )＝0.又ln ＋a ＝0，∴b ln ＋a ＝0，∴ln ＋(a b )＝b ln ＋a . 故①正确．②当a ＝2，b ＝14时，ln ＋(ab )＝ln ＋12＝0，而ln ＋a ＝ln 2，ln ＋b ＝0，从而ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln 2.故②不成立．③a.当0<a ≤1,0<b ≤1时，ln ＋a －ln ＋b ＝0－0＝0，而ln ＋(a b )≥0，∴ln ＋(a b)≥ln ＋a －ln ＋b .b ．当0<a ≤1，b >1时，ln ＋a －ln ＋b ＝－ln ＋b <0.而ln ＋(a b )＝0，∴ln ＋(a b)≥ln ＋a －ln ＋b .c ．当a >1,0<b ≤1时，a b ≥a >1，∴ln ＋(a b )＝ln(a b)≥ln a ＝ln ＋a ＝ln ＋a －ln ＋b .∴ln ＋(a b)≥ln ＋a －ln ＋b .d ．当a >1，b >1，且a <b 时，ln ＋(a b )＝0，ln ＋a －ln ＋b <0，∴ln ＋(a b )≥ln ＋a －ln ＋b .e ．当a >1，b >1，且a >b 时，a b >1，∴ln ＋(a b )＝ln(a b)＝ln a －ln b ＝ln ＋a －ln ＋b .综上：ln ＋(a b)≥ln ＋a －ln ＋b ，故③正确．④a.当0<a ＋b ≤1时，0<a ≤1,0<b ≤1，∴ln ＋(a ＋b )＝0，ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝0＋0＋ln 2>0.∴ln ＋(a ＋b )<ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.b ．当a ＋b >1时，分以下三种情况：(ⅰ)当0<a ≤1，b ≥1时，∵a ＋b ≤1＋b ≤b ＋b ＝2b ，∴ln ＋(a ＋b )＝ln(a ＋b )≤ln 2b ＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. (ⅱ)当a ≥1,0<b ≤1时，∵a ＋b ≤1＋a ≤a ＋a ＝2a ，∴ln ＋(a ＋b )＝ln(a ＋b )≤ln 2a ＝ln a ＋ln 2＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.(ⅲ)当0<a ≤1,0<b ≤1时，∴a ＋b ≤2，且ln ＋a ＝0，ln ＋b ＝0.∴ln ＋(a ＋b )＝ln(a ＋b )≤ln 2＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.综上：ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2，故④正确． 答案：①③④29．(2013·高考浙江卷)设z ＝kx ＋y ，其中实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0. 若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点N (2,3)时z 最大，所以2k ＋3＝12，解得k ＝92(舍去)；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知，k ＝2.答案：230．(2013·高考天津卷)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．解析：由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.答案：－231．(2013·高考浙江卷)设z ＝kx ＋y ，其中实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0. 若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点N (2,3)时z 最大，所以2k ＋3＝12，解得k ＝92(舍去)；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知，k ＝2.答案：2 32．(2013·高考浙江卷)设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab ＝________.解析：因为x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2， 当x ＝0时，可得0≤b ≤1； 当x ＝1时，可得a ＋b ＝0， 所以a ＝－b ，所以－1≤a ≤0.由x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2， 得ax ＋b ≤x 3－2x 2＋1，所以ax －a ≤(x 3－x 2)－(x 2－1)， 所以a (x －1)≤(x 2－x －1)(x －1)，所以当x >1时，有a ≤x 2－x －1恒成立，所以a ≤－1. 综上可知，a ＝－1，所以ab ＝－a 2＝－1. 答案：－133．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，表示的区域D 如图阴影部分所示．由图知点P (1,0)与平面区域D 上的点的最短距离为点P (1,0)到直线y ＝2x 的距离d ＝|2×1－0×1|12＋22＝255.答案：25534．(2013·高考天津卷)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________．解析：当a >0时，12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋⎝⎛⎭⎫b 4a ＋a b ≥54；当a <0时，12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －4a ＋－a b ≥－14＋1＝34. 综上所述，12|a |＋|a |b 的最小值是34.答案：3435．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析：如图，阴影部分为封闭区域．作直线2x －y ＝0，并向左上平移，过点A 时，2x －y 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝|x －1|(x <1)，得A (－1,2)，∴(2x －y )min ＝2×(－1)－2＝－4. 答案：－436．(2013·高考陕西卷)观察下列等式： 12＝1，12－22＝－3， 12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10， …，照此规律，第n 个等式可为________． 解析：12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)237．(2013·高考湖南卷)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0； ②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0.解析：(1)∵c >a >0，c >b >0，a ＝b 且a ，b ，c 不能构成三角形的三边，∴0<2a ≤c ，∴ca≥2.令f (x )＝0得2a x ＝c x ，即(ca)x ＝2.∴x ＝log c a 2.∴1x ＝log 2ca≥1.∴0<x ≤1.(2)①∵a ，b ，c 是三角形的三条边长， ∴a ＋b >c .∵c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<bc<1.∴当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝a x ＋b x －c x ＝c x [(a c )x ＋(bc )x －1]>c x (a c ＋bc －1)＝c x ·a ＋b －c c>0.∴∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0.故①正确．②令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a ，b ，c 可以构成三角形． 但a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16却不能构成三角形，故②正确． ③∵c >a ，c >b ，且△ABC 为钝角三角形， ∴a 2＋b 2－c 2<0.又f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0， ∴函数f (x )在(1,2)上存在零点．故③正确． 答案：(1){x |0<x ≤1} (2)①②③ 38．(2013·高考陕西卷)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律， 第n 个等式可为________.解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．答案：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1) 39．(2013·高考湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．解析：如图，作出不等式组表示的平面区域，平行移动z ＝x ＋y ，易知当直线z ＝x ＋y 经过点A (4,2)时，z 取最大值6.答案：6 40．(2013·高考湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DE FG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数. 若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解：(1)由图可知四边形DE FG 是直角梯形，高为2，下底为22，上底为2，所以梯形面积S ＝(2＋22)×22＝3.由图知N ＝1，L ＝6.(2)取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S ＝4，N ＝1，L ＝8，结合△ABC ，四边形DE FG 可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋c ＝1，a ＋6b ＋c ＝3，a ＋8b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，c ＝－1，S ＝1×71＋12×18－1＝79.答案：(1)3,1,6 (2)79 41．(2013·高考湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， …可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝⎛⎭⎫k 2－1n 2－⎝⎛⎭⎫k2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 答案：1 000 42．(2013·高考四川卷)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：∵|CA |＋|CB |≥|AB |，当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，即三个点A ，B ，C 共线，∴点C 在线段AB 上，∴点C 是A ，B ，C 的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 的中点，CH ⊥AB ，点P ，H 不重合，则|PC |>|HC |. 又|HA |＋|HB |＝|P A |＋|PB |＝|AB |，∴|HA |＋|HB |＋|HC |<|P A |＋|PB |＋|PC |，∴点P 不是点A ，B ，C 的中位点，故②是假命题． 如图(2)，A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，若P 点在线段BC 上，则|P A |＋|PB |＋|PC |＋|P D|＝|A D|＋，由中位点的定义及①可知，点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点，显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P 是点A ，C 的中位点，则点P 在线段AC 上，若点P 是点B ，D 的中位点，则点P 在线段B D 上，∴若点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，B D 的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．答案：①④43．(2013·高考四川卷)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36. 答案：36 44．(2013·高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8s in α)x ＋co s 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ________.解析：由题意，要使8x 2－(8s in α)x ＋co s 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64s in 2α－32co s2α≤0，化简得co s 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 45．(2013·高考广东卷)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析：因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.答案：1246．(2013·高考安徽卷)若非负变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析：根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x ，y 非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线y ＝－x ，并向上平移，数形结合可知，当直线过点A (4,0)时，x ＋y 取得最大值，最大值为4.答案：4 47．(2013·高考广东卷)不等式x 2＋x －2<0的解集为________．解析：方程x 2＋x －2＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1，故不等式x 2＋x －2<0的解集为(－2,1)． 答案：(－2,1)48．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D(图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0,1)，取得最大值时的最优整数解为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)．点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：649．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．解析：作出可行域如图阴影部分．作直线2x －y ＝0，并向右平移，当平移至直线过点B 时，z ＝2x －y 取最大值．而由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＝0，可得B (3,3)．∴z max ＝2×3－3＝3. 答案：3 50．(2013·高考江苏卷) 设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k ，…，即当(k －1)k 2<n ≤k (k ＋1)2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立； ②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)·(2m ＋3)．综合①②可得，S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)．由上可知S i (2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i (2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1,2，…，2i ＋1)，所以S i (2i ＋1)＋j＝S i (2i ＋1)＋j (2i ＋1)是a i (2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋1)的倍数．又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1,2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j (2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j (2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i (2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i (2i ＋1)＋j (1≤j ≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j .又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008. 51．(2013·高考湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．解：设点P的坐标为(x，y)．(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x－3|＋|y－20|，x∈R，y∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值．①当y≥1时，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|.因为d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|，(*)当且仅当x＝3时，不等式(*)中的等号成立．又因为|x＋10|＋|x－14|≥24，(**)当且仅当x∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立，所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．d2(y)＝2|y|＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|，此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．52．(2013·高考广东卷)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E 分别是AC，AB上的点，C D＝B E＝2，O为BC的中点．将△A DE沿DE折起，得到如图②所示的四棱椎A′-BC DE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BC DE；(2)求二面角A′-C D-B的平面角的余弦值．解：(1)证明：法一：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC中，因为BC＝6，O为BC的中点，所以AC＝AB＝32，OC＝OB＝3.又因为C D＝B E＝2，所以A D＝A E＝2 2.如图①，连接O D，在△OC D中，由余弦定理可得O D＝OC2＋CD2－2OC·CD cos 45°＝ 5.在折叠后的图形中，因为A′D＝22，所以A′O2＋O D2＝A′D2，所以A′O⊥O D.同理可证A′O⊥O E.又O D∩O E＝O，所以A′O⊥平面BC DE.法二：如图①，在折叠前的图形中，连接AO，交DE于点F，则F为DE的中点．在等腰Rt△ABC中，因为BC＝6，O为BC的中点，所以AC＝AB＝32，OA＝3.因为C D＝B E＝2，所以D和E分别是AC，AB的三等分点，则AF＝2，OF＝1.如图②，在折叠后的图形中，连接OF 和A ′F .因为A ′O ＝3，所以A ′F 2＝OF 2＋A ′O 2，所以A ′O ⊥OF . 在折叠前的图形中，DE ⊥OF ，所以在折叠后的图形中，DE ⊥A ′F ，DE ⊥OF . 又OF ∩A ′F ＝F ，OF ，A ′F ⊂平面OA ′F ， 所以DE ⊥平面OA ′F .因为OA ′⊂平面OA ′F ，所以DE ⊥OA ′. 因为OF ∩DE ＝F ，OF ，DE ⊂平面BC DE ， 所以A ′O ⊥平面BC DE.(2)法一：如图②，过O 作OM 垂直于C D 的延长线于点M ，连接A ′M .因为A ′O ⊥平面BC DE ，CM ⊂平面BC DE ，OM ⊂平面BC DE ，所以A ′O ⊥CM ，A ′O ⊥OM .因为A ′O ∩OM ＝O ，所以CM ⊥平面A ′OM . 因为A ′M ⊂平面A ′OM ，所以CM ⊥A ′M ， 故∠A ′MO 就是所求二面角的平面角．在Rt △OMC 中，OC ＝3，∠OCM ＝45°，所以OM ＝322.在R t △A ′OM 中，因为A ′O ＝3，OM ＝322，所以A ′M ＝A ′O 2＋OM 2＝ 3＋92＝302，所以co s ∠A ′MO ＝OM A ′M ＝322302＝155，所以二面角A ′-C D-B 的平面角的余弦值为155.法二：以点O 为原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图③所示(F 为DE 的中点)，则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D(1，－2,0)，所以OA ′→＝(0,0，3)，CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′C D 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA ′→＝3y ＋3z ＝0，n ·DA ′→＝－x ＋2y ＋3z ＝0.令z ＝3，得n ＝(1，－1，3)，|n |＝1＋1＋3＝ 5.由(1)知，OA ′→＝(0,0，3)为平面C D B 的一个法向量．又|OA ′→|＝3，OA ′→·n ＝0×1＋0×(－1)＋3×3＝3，所以co s ＜n ，OA ′→＞＝n ·OA ′→|n ||OA ′→|＝33×5＝155， 即二面角A ′-C D-B 的平面角的余弦值为155.。