自动控制原理,传递函数

令M c (s) 0 ，得转速对电枢电压的传递函数： Ku ( s) Gu ( s) U a ( s) Tm s 1 令 U a (s) 0 ，得转速对负载力矩的传递函数： Km ( s) Gm ( s) M c ( s) Tm s 1 最后利用叠加原理得转速表示为： (s) Gu (s)U a (s) Gm (s)M c (s)
Y(s)
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传递函数的基本概念
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。 利用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在 输入作用下的动态过程。
了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 --分析
可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求--综合
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m
b0 Q( s ) G( s) K a0 P( s )
( s 1)
i
m
(T s 1)
j j 1
i 1 n
若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若
i ,Tj
分别称为时间常数，K称为放大系数
1 1 2 为共轭复极点，则： ( s p1 )(s p2 ) s 2 n s n 2
0
dt
dt
U U me
.
j 90 0
复数阻抗为：Z
R
U m e j 900 U j 90 0 Le jL j 00 I I me
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补充：
复数的几种表示形式 F a jb 1. 代数形式： 2. 三角形式： F F (cos j sin ) 欧拉公式： e j cos j sin j j 从而有 e 2 j, e 2 j, e j 1, 3. 指数形式： F F e j 4. 极坐标形式： F F
a 式中： i , b j —为实常数，一般n≥m
上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。 表示成零点、极点形式：
Y ( s ) bm Q ( s ) G (s) Kg X ( s ) an P ( s )
式中：
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
输入 输出
d 2 uo duo LC RC u o ui 2 dt dt

F (s) f (t )est dt 两边取拉普拉斯变换： 0
LCs 2U0 (s) RCsU0 (s) U0 (s) Ui (s)
U 0 ( s) 1 U i ( s) LCs 2 RCs 1
(T j s 1) (Tl 2 s 2 2 lTl 1)
j 1 l 1
式中：
m1 2m2 m,
n1 2n2 n
从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些 基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最 基本的一些形式。
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e j 2 1
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传递函数的基本概念 例2
[例2] 求下图的传递函数(复数阻抗法)：
Uo Ui R2 1 R2 1 Cs R1 R2 ( R1Cs 1) R2 ( R1Cs 1) R1 R2 ( R1Cs 1) R2 R1Cs R1 R2 R R2 R2 R1C ( 1 s 1) 1 1 Ts R2 R1 R2 R1 R2 R2 R1C ( )( s 1) 1 Ts R2 R1 R2
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比例环节
四、典型环节及其传递函数
典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等 多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。 时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性 研究系统的零极点分布。 （一）比例环节： 时域方程： y(t ) kx(t ), t
第二节 传递函数
主要内容：
1.传递函数的定义；
2.求法：i）利用微分方程描述，由拉氏变换得到；
ii）复数阻抗法；
3.典型环节的传递函数。
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传递函数的基本概念
一、传递函数的基本概念
复习拉氏变换
F (s) f (t )est dt
0

F (s) L[ f (t )]
传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只
反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。
传递函数是s的有理分式.
对实际系统而言, 分母的阶次n 大于或 等于分子的 阶次m , 此时称为n阶系统。
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传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个
一个函数可以进行拉普拉斯变换的充分条件是：
1. t<0时，f(t)=0(因果系统）；
2. t>=0时，f(t)分段连续； 3.


0
f (t )est dt
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控制系统的微分方程
[例2-1]：RLC串联电路
ui
L R
列出微分方程为：
C
i
uo
ui
uo
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用复数阻抗法求电网络的传递函数
复数阻抗：电气元件两端的电压相量与流 过元件的电流相量之比，称为该元件的复 数阻抗。 （1）电阻的复数阻抗推导： . i(t ) I m sin t 相量形式：I I m e j 0 假设电流为： . 则电压是 u(t ) i(t ) R RIm sin t U m sin t ； U m e j 0 U 则相应的复数阻抗为
或
p1 , p2
其系数 、 由
1 1 2 2 (T1s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
p1、p2
或 T、T2 求得； 1
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传递函数的表现形式
若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：
G( s) Kg s ( s zi ) ( s 2 2 k k s k2 )
i 1 n1 m1 m2 k 1 n2
( s p j ) ( s 2 2 l l l2 )
j 1 l 1 m2 k 1 n2
或： G ( s)
K s
( i s 1) ( k2 s 2 2 k k s 1)
i 1 n1
m1
R1 I1 ( s ) ( R1 R2 ) I 2 ( s ) U i ( s ) R2 I 2 ( s ) U O ( s )
U 0 ( s) 1 1 Ts G( s) U i ( s) 1 Ts
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RRC T 1 2 R1 R2
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传递函数的定义：
系统初始条件为零时，输出变量的拉普拉 斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为 系统的传递函数。 记做：
Y ( s) G ( s) 或 Y ( s) G ( s)U ( s) U (s)
U(s) G(s)
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(an sn an1sn1 a1s a0 )Y (s) (bmsm bm1sm1 b1s b0 ) X (s)
Y ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s) X ( s) an s n an1s n1 a1s a0
R1 R2 R2
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复习拉氏变换
②性质：
L ⑴线性性质： [f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s)
⑵微分定理： [ f (t )] sF (s) f (0) L L[ (t )] s 2 F (s) sf (0) f (0) f L[ f ( n) (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) ... f ( n1) (0) ⑶积分定理：（设初值为零） F (s) L[ f (t )dt ] s ⑷时滞定理：L[ f (t T )] 0 est f (t T )dt esT f (s) ⑸初值定理：lim f (t ) lim sF ( s) t 0 s 9

0
0
ZR
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j 00 U me U R j 00 I I me
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（2）电感负载的复数阻抗 . i(t ) I m sin t ， I I m e j 0 电流： 电压：u(t ) L di(t ) L dIm sin t LI m cost U m sin(t 900 )
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一般的：
an y(n) (t ) an1 y(n1) (t ) a0 y(t ) bm x(m) (t ) bm1x(m1) (t ) b0 x(t )
设系统或元件的微分方程为：
ai , b j (i 0 ~ n, j 0 ~ m) 为常系数
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的 输入量一概视为零。
传递函数忽略了初始条件的影响。
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传递函数的表现形式
[传递函数的几种表达形式]：
Y ( s) bm s m bm1s m1 b0 表示为有理分式形式： ( s) G X (s) an s n an1s n1 a0
m
zi 称为传递函数的零点， p j 称为传递函数的极点。
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bm Kg —传递系数或根轨迹增益 an
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传递函数的表现形式
写成时间常数形式：
1 1 i 1 显然：K K g n ， i , Tj , pj zi pj
zi
j 1
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复习拉氏变换
⑹终值定理： f (t ) lim sF ( s) lim
t s 0
L ⑺卷积定理： [0 f1 (t ) f 2 ( )d ] F1 (s) F2 (s)
t
③常用函数的拉氏变换： 1 f (t ) 1(t ), F ( s ) 单位阶跃函数： s F 单位脉冲函数： (s) L[ (t )] 1 1 f (t ) t , F ( s ) 2 单位斜坡函数： 1 1 s f (t ) t 2 , F ( s) 3 单位抛物线函数： 2 s 正弦函数： (t ) sin t , F ( s) f s2 2 其他函数可以查阅相关表格获得。 10
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传递函数的基本概念 例2
[例2] 求下图的传递函数：
C i1
1 i1dt R1i1 R1i2 0 C
R2
ui
R1 i2
uO
R1i2 R1i1 R2 i2 ui R2 i2 uO
(
1 R1 ) I1 ( s ) R1 I 2 ( s ) 0 Cs
R1 R2 R2
1 Cs
ui
R1
R2
uO
RRC T 1 2 R1 R2
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传递函数的基本概念
三、关于传递函数的几点说明
传递函数的概念适用于线性定常系统.
传递函数中各项系数的值完全取决于系统的结构和参数,并且与
微分方程中各导数项的系数一一对应,是一种动态数学模型。
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称为环节的传递函数
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传递函数的基本概念 例１
[例1]求电枢控制式直流电动机的传递函数。
[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为： d Tm K u ua K m M c dt 方程两边求拉氏变换为：
(Tm s 1)(s) KuU a (s) Km M c (s)