基本初等函数在复函范围的特殊性质

第３Ｏ卷第２期　
２０１０年４月　

辽宁工业大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　
Ｖｏ１．３０，Ｎｏ．２　

Ａｐｒ．２０１０　

基本初等函数在复函范围的特殊性质　
王金英，　
（辽宁工业大学理学院，　
李静　

辽宁锦州１２１００１）　

摘要：通过对实变量和复变量的基本初等函数进行比较，指出了复变量基本初等函数的特殊性质，并对给　
出的性质加以证明。　
关键词：基本初等函数；实变函数；复变函数；性质　
中图分类号：Ｏ１７４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４—３２６１（２０１０）０２—０１３３—０３　

Ｓｐｅｃｉａｌ　Ｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　Ｂａｓｉｃ　Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ　Ｃｏｍｐｌｅｘ　Ｆｉｅｌｄ　
ＷＡＮＧ　Ｊｉｎ—ｙｉｎｇ，ＬＩ　Ｊｉｎｇ　
（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉｎｚｈｏｕ　１２１００１，Ｃｈｉｎａ）　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｂａｓｉｃ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒｅａｌ　ｖａｒｉａｂｌｅ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｖａｒｉａｂｌｅ；　
ｑｕａｌｉｔｙ　
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｃｏｍｐａｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｂｏｔｈ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　
ｖａｒｉａｂｌｅ，ｔｈｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｂａｓｉｃ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｗｅｒｅ　ｐｏｉｎｔｅｄ　ｏｕｔ，ｗｉｔｈ　
ｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｈｅｒｅｏｎ　ｐｒｏｖｅｄ．　

复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相　
似之处，但是，复变函数与实变函数又有很多不同之处，在学习中一定要善于比较，既要注意共同点，更　
要弄清不同点。本文研究了基本初等函数中的指数函数、对数函数、幂函数和三角函数在实函范围和复函　
范围的性质和结论，并做了比较，着重指出了复变量基本初等函数具有的一些特殊性质。　

１　指数函数　
性质１．１在实变函数中，ｌｉｍ　ｅ　＝０．１ｉｍ　ｅ　＝佃成立，但在复变函数中，ｌｉｍｅｚ不存在。　
证明　令Ｚ：　＋／ｙ，根据复变函数中极限的定义，知道Ｚ　ｏｏ的方式是任意的。当ｚ－－－－＞ｃ—ｏ的方式选　
择了沿　轴正半轴趋向于。０时，有　
ｌｉｍ　ｅ　ｚ＝ｌｉｍ　ｅ　ｙ＝ｌｉｍ　ｅ　＝＋ｏｏ　
。—’∞　：　∞　：　∞　

当Ｚ　ｃ－。的方式选择了沿　轴负半轴趋向于ｏ。时，有　
ｌｉｍ　ｅ　＝ｌｉｍ　ｅ”　＝ｌｉｍ　ｅ　＝０　
ｚ　

所以ｌｉｍｉ（ｚ）不存在。　
‘　Ｚ　∞　
性质１．２在实变函数中，ｅｘ：ｅ　＝＝＞　：Ｙ，但在复变函数中，　＝　＝＝＞Ｚ　＝Ｚ　不成立，正确的式子应　

该是ｅ　＝ｅ　＝＝＞Ｚ１一ｚ２＝２｜《：　（良为整数）。　
证明　令Ｚ１＝Ｘ１＋　ｌ，Ｚ２＝Ｘ２＋　２，从而　

收稿日期：２００９—１２—１５　
作者简介：王金英（１９８１－），女，辽宁黑山人，助教，硕士。　
１３４　辽宁工业大学学报（自然科学版）　第３Ｏ卷　
＝ｅ。　＝＝＞Ｐ　：　魄＝＝＞Ｐ　・　砒：已　・Ｐ锄＝＝＞Ｐ　（ｃｏｓ　Ｙ１＋ｉｓｉｎ　Ｙ１）＝ｅ恐（ｃｏｓ　Ｙ２＋／ｓｉｎ　Ｙ２）＝＝＞　
ｅ　：ｅ　，ｃｏｓ　Ｙｌ＝ＣＯＳ　Ｙ２，ｓｉｎ　Ｙｌ＝ｓｉｎ　Ｙ２＝＞　＝Ｘ２，Ｙｌ—Ｙ２＝２七　＝＝＞Ｚ１一Ｚ２＝（　一Ｘ２）＋ｆ（），ｌ—Ｙ２）＝２七　

（ｋ为整数）　

２对数函数　
性质２．１在实变函数中，负数无对数，但在复变函数中，负数存在对数。　
证明根据复变函数中对数函数的定义，有　
Ｌｎｚ＝Ｉｎ『ｚＩ＋ｉＡｒｇｚ　
所以，在复变函数中，负数也存在对数。如：Ｌｎ（－１）＝１ｎ１＋　Ａｒｇ（＿１）＝（２足＋１　．　
性质２．２在实变函数中，ｌｎｘ　＝ａＩｎ　＞０，ａ∈Ｒ成立，但在复变函数中，Ｌｎｚ“＝ａＬｎｚ未必成立，　

只有当　＝÷（，ｚ为大于１的正整数）时，Ｌｎｚ　＝ａＬｎｚ才成立，当ａ≠二时，Ｌｎｚ　≠ａＬｎｚ．　
‘　ｎ　
证明参见文献【ｌ】【２】．　

一　
１　
［注】根据性质２．２，可知文献【３】中的记法“Ｌｎ　ｚ　＝ｎＬｎ　ｚ，Ｌｎ√ｚ：　Ｌｎ　ｚ不再成立，其中ｎ为大于１　

ｎ　

的正整数”是不妥当的，因为Ｌｎ　ｚ　＝ｎＬｎ　ｚ确实不成立，但Ｌｎ√ｚ＝　Ｌｎ　Ｚ成立，其中ｎ为大于１的正　
ｎ　
整数。　

性质２．３　在实变函数中，ｌｎ　＋Ｉｎ　＝２１ｎ　Ｘ．Ｘ＞０成立，但在复变函数中，Ｌｎｚ＋Ｌｎｚ≠２Ｌｎｚ．　

证明　根据复变函数中对数函数的基本性质与乘幂的概念，有　
Ｌｎｚ＋Ｌｎｚ＝Ｌｎｚ・Ｚ＝Ｌｎｚ　
１　
根据本文性质２．２的结论：“当ａ≠二时，Ｌｎｚ“≠ａＬｎｚ”，可得　

，２　
Ｌｎｚ　≠２Ｌｎｚ　
从而　

Ｌｎｚ＋Ｌｎｚ≠２Ｌｎｚ　
【注】根据性质２．３，可知文献【３】中的记法“ａ　＝ｅ乩　＝ｅＬｎａ＋Ｌｎａ＋＾　Ｌ加（指数ｎ项）”是不妥当的，因为　
ｎＬｎ　ａ≠Ｌｎ　ａ十Ｌｎ　ａ＋人＋Ｌｎ　ａ（　项）。　

３幂函数　

性质３．１　在实变函数中，　“　与　曲不～一定相等，在复变函数中，结论也一样，即（ｚｎ　与ｚ曲不一　
定相等，只有当　为整数时，（ｚ“　与ｚ曲才相等。　
证明　根据复变函数中幂函数的定义，可得　
（Ｚ。）　＝＝ｅｘｐ｛ｂＬｎｚ　）＝＝ｅｘｐ｛ｂＬｎ　ｎ　）＝＝ｅｘｐ｛ｂＬｎ　。‘口　ｎ：’　“ｍ　ｎ：’】＝＝　
ｅｘＰ｛ｂ　ｌｌｎ　ｅＲｅ（ａＬｎｚ）＋ｉ（Ｉｍ　ａＬｎｚ）＋２　万）］｝＝　
ｅｘｐ｛ｂ［Ｒｅ（ａＬｎｚ）＋ｉ　Ｉｍ（ａＬｎｚ）＋２　万　］）＝　
ｅｘｐ｛ｂａＬｎｚ＋２ｋｂ￣ｉ｝：Ｐ。　。Ｐ　：Ｚ“　‘　拍　（ｋ＝０，±１，±２，Ｌ）　

由此易知，在复变函数中，（ｚ　与ｚ曲不一定相等，只有当　：１时，ｆｚａ　与ｚ曲才相等，即只有当　为　
整数时，（Ｚａ　与ｚ曲才相等。　

４　三角函数　
性质４．１　在实变函数中，Ｉｓｉｎ　ｘｆ≤１，ＩｃｏｓｘＩ≤１，　∈Ｒ成立，但在复变函数中，Ｉｓｉｎ　ｚｌ≤ｌ，ｌＣＯＳ　ＺＩ≤１　
不再成立，当Ｙ　ｏ。时，Ｊｓｉｎ　Ｚｌ和Ｉｃｏｓ　ｚＩ都趋于无穷大。　
第２期　王金英等：基本初等函数在复函范围的特殊性质　１３５　
证明　根据复变函数中三角函数的定义，可知　

ｓｉｎ　
兰ｌ：　≥　坐　ｌ二　！　

Ｉ　２　２　２　
・　
Ｊ—ｌ　），・Ｐ一　Ｉ—Ｉ　一）’Ｉ・ＩＰ　ｌ—ｌ　ｙＩ・ｌＰ一　Ｉｌ—ｌＰ一）’ｌ・　一Ｉ　ｙｌ・　

止　二　

２　２　
当Ｙ　一ｏｏ时，ｅ－ｙ　＋０ｏ，　，＿÷０，于是　二二　：　－÷枷．从而，有Ｉｓｉｎ　ｚｌ＿÷＋ｏｏ．　

当－－．＞＋ｏｏ时，ｅｙＹ　ｅ　＋ｏｏ，ｅ＿。－－）０，于是　：ｓｉｎ　Ｉ－－－）＋ｏｏ．所以，当　时，　，＿。　，于是　—－．二ｊ：　佃．仍然可以得到Ｉ　ｚ１　．所以，　
在复变函数中，ｌｓｉｎ　Ｚｌ≤ｌ不再成立，并且当Ｙ　ｃ一。时，Ｉｓｉｎ　ＺＩ趋于无穷大。　
同理可证，在复变函数中，　ｌＣＯＳ　Ｚｆ≤１不再成立，并且当Ｙ　。一。时，ｌｃｏｓ　ｚｌ趋于无穷大。　
性质４．２在实变函数中，半角公式成立，即　
ｏｃ　ｔ１÷ＣＯＳ。ｃ　．　ｏ【　ｌ１一ＣＯＳ　ｏｃ　
∞　±、／—　一　ｍ　、／—　一　

但在复变函数中，半角公式不成立，即　’　
ｚ　ｆ１＋ＣＯＳ　Ｚ　．　ｚ．　ｆ１一ＣＯＳ　Ｚ　
∞　≠、／—　一　ｍ　≠、／—　一　

证明　根据复变函数中余弦函数的定义，可知ＣＯＳ　ｚ：　，于是，有　

＋ｃｏｓ　ｚ：：厍：　２＋ｅｉｚ＋ｅ－ｉｚ：　

又因为ｃ。ｓ　Ｚ＝（ｃ。ｓ詈］ｈ。ｊ，根据本文前面的结论：“在复变函数中，Ｚａ　与Ｚａｂ不一定相等，只有当　
为整数时，Ｚａ　与Ｚ曲才相等。”，可以得到　
［（ｃ。ｓ詈）　］ｉ１≠（ｃ。ｓ　）　

即ｃ。ｓ吾≠１＋ｃｏｓ　ｚ一，同理可得ｓｉｎ詈≠－－ＣＯＳ　Ｚ一．　
５　小　结　
基本初等函数在实函范围内具有的许多性质，在复函范围内却是不成立的，复变函数中的基本初等函　
数具有许多独特的性质。在学习复变函数的过程中，对每一结论要注意与实变函数中的结论作对比，注意　
它们的联系与区别，这样才能抓住本质，融会贯通。　

参考文献：　
【ｌ】李孟芹．关于复变函数多值性的两点注记【Ｊ１．天津工业大学学报，２００２，２ｌ（４）：８１—８２．　
【２】张永明，王丹．复变函数教材中一个结论的商榷【ＪＪ．高等数学研究，２００７，１０（４）：５４—５５．　
【３】西安交通大学高等数学教研室．复变函数【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９９６．　
责任编校：刘亚兵