2016版高考数学考前三个月复习冲刺第三篇回扣专项练5不等式与线性规划理

回扣练3 三角函数、平面向量1。

若f （x )＝cos 错误!，则f （0)，f （1）,f （－1)的大小关系为______________.2。

设函数f (x ）（x ∈R ）满足f （x ＋π)＝f （x )＋sin x 。

当0≤x 〈π时,f （x ）＝0，则f 错误!＝________。

3。

已知函数f （x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是________. ①y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称;②y ＝f （x )的图象关于x ＝π2对称； ③f (x ）的最大值为错误!;④f （x )既是奇函数，又是周期函数。

4.在△ABC 中，内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ,c 。

若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝错误!b ，且a 〉b ,则B ＝______.5。

已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0。

若向量c 满足|c －a －b |＝1，则｜c ｜的最大值为________.6.函数f （x ）＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|〈错误!)的图象如图所示，为了得到g （x )＝cos 2x 的图象，则只要将f (x )的图象________。

①向右平移错误!个单位长度；②向右平移错误!个单位长度;③向左平移错误!个单位长度；④向左平移错误!个单位长度.7.若cos x cos y ＋sin x sin y ＝错误!,sin 2x ＋sin 2y ＝错误!，则sin（x＋y）＝________。

8。

已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c＝t a＋(1－t)b,若b·c＝0,则t＝________。

9.（2015·苏州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B,C的对边，若a2＋b2＝2 017c2，则2tan A tan Btan C tan A＋tan B的值为________.10。

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 压轴大题突破练3 函数与导数（一 ）理1.已知函数f (x )＝(x －a )e x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)求f (x )在区间[1,2]上的最小值.2.(2015·大庆实验中学冲刺模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝ln x －a (x －1).(1)若a ＝1e －1，求函数y ＝|f (x )|的极值点； (2)若不等式f (x )≤－ax 2e 2＋＋2a －e a x e恒成立，求a 的取值范围.(e 为自然对数的底数)3.已知函数f (x )＝x e -x .(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当0<x <1时，f (x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k x ，求实数k 的取值范围.4.已知函数f (x )＝(1＋x )e -2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x .当x ∈[0,1]时，(1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x ；(2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.答案精析压轴大题突破练31.解 (1)设切线的斜率为k .因为a ＝2，所以f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x (x －1).所以f (0)＝－2，k ＝f ′(0)＝e 0(0－1)＝－1.所以所求的切线方程为y ＝－x －2，即x ＋y ＋2＝0.(2)由题意得f ′(x )＝e x (x －a ＋1)，令f ′(x )＝0，可得x ＝a －1.①若a －1≤1，则a ≤2，当x ∈[1,2]时，f ′(x )≥0，则f (x )在[1,2]上单调递增.所以f (x )min ＝f (1)＝(1－a )e.②若a －1≥2，则a ≥3，当x ∈[1,2]时，f ′(x )≤0，则f (x )在[1,2]上单调递减.所以f (x )min ＝f (2)＝(2－a )e 2.③若1<a －1<2，则2<a <3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表： x 1 (1，a －1) a －1 (a －1,2) 2f ′(x ) － 0 ＋f (x ) ↘ 极小值 ↗所以f (x )的单调递减区间为[1，a －1]，单调递增区间为[a －1,2].所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (a －1)＝－e a －1.综上所述：当a ≤2时，f (x )min ＝f (1)＝(1－a )e ；当a ≥3时，f (x )min ＝f (2)＝(2－a )e 2；当2<a <3时，f (x )min ＝f (a －1)＝－e a －1.2.解 (1)若a ＝1e －1，则f (x )＝ln x －x －1e －1，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1e －1.当x ∈(0，e －1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e－1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.又因为f (1)＝0，f (e)＝0，所以当x ∈(0,1)时，f (x )<0；当x ∈(1，e －1)时，f (x )>0；当x ∈(e－1，e)时，f (x )>0；当x ∈(e，＋∞)时，f (x )<0.故y ＝|f (x )|的极小值点为1和e ，极大值点为e －1.(2)不等式f (x )≤－ax 2e 2＋＋2a －e a x e ，整理为ln x ＋ax 2e 2－＋2a x e ＋a ≤0.设g (x )＝ln x ＋ax 2e 2－＋2a x e ＋a ，则g ′(x )＝1x ＋2ax e 2－1＋2a e ＝2ax 2－＋2a x ＋e 2e 2x ＝x －ax －e 2x .①当a ≤0时，2ax －e<0，又x >0，所以当x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，g (x )递增；当x ∈(e，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )递减.从而g (x )max ＝g (e)＝0.故g (x )≤0恒成立.②当a >0时，g ′(x )＝x －ax －e 2x ＝2a x －⎝⎛⎭⎪⎫x －e 2a e 2x .当a ＝12时，g ′(x )＝x －2e 2x ≥0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，显然不成立.当a >12时，e2a <e ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e2a ，(e ，＋∞)上g ′(x )>0，函数g (x )单调递增.在⎝ ⎛⎭⎪⎫e2a ，e 上g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.又g (e)＝0，因此存在x 0>e 使g (x 0)>0，故不满足题意.当0<a <12时，e a >e2a >e ，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e a ＝ln e a ＋ae 2⎝ ⎛⎭⎪⎫e a 2－1＋2a e ·e a ＋a＝－ln a －1＋a ＝ln e aa e . 而a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h (a )＝e a －a e ， h ′(a )＝e a －e<0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－12e>0， 故ln e a a e >0，即g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e a >0，故不满足条件. 综上所述，a ≤0.3.解 (1)由题意知f ′(x )＝(1－x )e －x (x ∈R ).当f ′(x )>0时，x <1；当f ′(x )<0时，x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞).又f ′(x )＝0时，x ＝1，所以函数f (x )的极大值为f (1)＝1e，无极小值. (2)当k ≤0时，因为0<x <1，所以k x ≤0<x <1，由(1)知函数f (x )在区间(－∞，1)上单调递增，所以f (x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k x，符合题意. 当0<k <1时，取x ＝k ，可得f (k )>f (1)，这与函数f (x )在区间(－∞，1)上单调递增矛盾，不符合题意. 当k ≥1时，因为0<x <1，所以k x ≥1x>1， 由(1)知函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k x ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，要使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k x <f (x )， 只需令f (x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，即x e －x >1x e －1x， 即ln x －x >－ln x －1x，即2ln x －x ＋1x >0. 令h (x )＝2ln x －x ＋1x (0<x <1)，则h ′(x )＝－x 2＋2x －1x 2＝－x －2x 2<0，所以h (x )在区间(0,1)上为减函数，所以h (x )>h (1)＝0，所以f (x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k x ，符合题意.综上可知k ∈(－∞，0]∪[1，＋∞).4.(1)证明 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )e －x ≥(1－x )e x .记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x ).当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0，所以f (x )≥1－x ，x ∈[0,1].要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≤11＋x ，只需证明e x ≥x ＋1.记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0.所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1].综上，1－x ≤f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1].(2)解 f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －(ax ＋x 32＋1＋2x cos x )≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x＝－x (a ＋1＋x 22＋2cos x ).(由(1)知)故G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x .记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x )<0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数.从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )<G ′(0)＝0.故G (x )在[0,1]上是减函数.于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3.所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立.下面证明，当a >－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立.f (x )－g (x )≤11＋x －1－ax －x32－2x cos x＝－x1＋x －ax －x32－2x cos x＝－x (11＋x ＋a ＋x22＋2cos x ).(由(1)知)记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x ＋a ＋G (x )，则I ′(x )＝－1＋x 2＋G ′(x )，当x ∈(0,1)时，I ′(x )<0，故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]. 因为当a >－3时，a ＋3>0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)>0，此时f (x 0)<g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3].。

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 第三篇 回扣专项练2 函数与导数 理1.函数f (x )＝ln(x 2＋2)的图象大致是()2.(2015·长沙模拟)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)等于( ) A.－2 B.－1 C.0D.13.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝e x －1，则f (2 015)＋f (－2 016)等于( )A.1－eB.e －1C.－1－eD.e ＋14.已知a ＝123，b ＝131log 2，c ＝2log log 213，则( )A.a >b >cB.b >c >aC.c >b >aD.b >a >c5.(2015·南昌模拟)设函数F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2是函数F (x )的一个单调递增区间.将函数F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π6.函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数.例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数.给出下列结论：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中正确结论的个数是( )A.3B.2C.1D.07.(2015·北京昌平模拟)若偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.8.已知函数f (x )＝ax －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，∀x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，x 1≠x 2，f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围是____________.9.ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.10.已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________.11.(2015·天津模拟)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围.12.已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a <0，求f (x )的单调区间；(3)若a ＝－1，函数f (x )的图象与函数g (x )＝13x 3＋12x 2＋m 的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围.答案精析回扣专项练2 函数与导数1.D [由f (－x )＝f (x )可得函数f (x )为偶函数， 又ln(x 2＋2)≥ln 2，故选D.]2.D [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0.因为f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，所以f (x ＋4)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋8)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，故f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝1.]3.B [由f (x ＋2)＝f (x )知f (x )是周期为2的周期函数，∴f (2 015)＝f (1)＝e －1，又∵f (x )为奇函数，∴f (－2 016)＝－f (2 016)＝－f (0)＝－(e 0－1)＝0. ∴f (2 015)＋f (－2 016)＝e －1.] 4.A [∵a ＝312>1，b ＝log 1312＝log 32，则0<b <1，c ＝log 213<0，∴a >b >c .]5.D [∵F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，∴F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )，∴F (x )为偶函数， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π为函数F (x )的一个单调递减区间.将F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π.]6.A [由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同.依题意可得①不正确，②正确，③正确，④正确.]7.3解析 因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.8.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 解析 由f x 2－f x 1x 2－x 1<0知，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上是减函数.又f ′(x )＝a ＋sinx ，所以f ′(x )≤0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上恒成立，即a ≤－sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上恒成立.当π4≤x ≤π3时，22≤sin x ≤32，所以－32≤－sin x ≤－22，即－sin x 的最小值为－32，所以a ≤－32. 9.12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 30＝13×33＋3＝12. 10.[e ，＋∞)解析 f ′(x )＝1x·x －a ＋ln x x2＝1－a ＋ln xx 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立.设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e. 11.解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝5，f ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故a ＝1或a ＝－1，b ＝0或b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0， 即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m＋22≥4，∴2m ≤2或2m≥6，即m ≤1或m ≥log 26. 故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞). 12.解 (1)∵f (x )＝(x 2＋x －1)e x，∴f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x.∴曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e. 又∵f (1)＝e ，∴所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)， 即4e x －y －3e ＝0.(2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x＋(ax 2＋x －1)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x.①若－12<a <0，当x <0或x >－2a ＋1a 时，f ′(x )<0.当0<x <－2a ＋1a时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎪⎫－2a ＋1a，＋∞；单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a ＋1a . ②若a ＝－12，则f ′(x )＝－12x 2e x≤0，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞). ③若a <－12，当x <－2a ＋1a 或x >0时，f ′(x )<0；当－2a ＋1a<x <0时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a ＋1a ，(0，＋∞)；单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－2a ＋1a，0. (3)由(2)知，f (x )＝(－x 2＋x －1)e x在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.∴f (x )在x ＝－1处取得极小值f (－1)＝－3e ，在x ＝0处取得极大值f (0)＝－1.由g (x )＝13x 3＋12x 2＋m ，得g ′(x )＝x 2＋x .当x <－1或x >0时，g ′(x )>0； 当－1<x <0时，g ′(x )<0.∴g (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. ∴g (x )在x ＝－1处取得极大值g (－1)＝16＋m ，在x ＝0处取得极小值g (0)＝m .∵函数f (x )与函数g (x )的图象有3个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －g －，f g，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e <16＋m ，－1>m .∴－3e －16<m <－1.。

②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内， f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则 在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减
判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性.
(3)函数的周期性 ①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x) (a≠0)，则其一个周期 为T＝|a|.
(2)函数的单调性
函数的单调性是函数在定义域上的局部性质.
①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]， 那上么是增(x1函－数x2)；[f(x1)－f(x2)]>0⇔fxx11－ －fx2x2 >0⇔f(x)在[a，b]
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔fxx11－ －fx2x2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数.
7.导数的几何意义 (1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 的斜率，该切线的方程为y－f)上；②在切线上.
8.利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义 域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的 单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间.
4.熟记指数式与对数式的七个运算公式
am·an＝am＋n；(am)n＝amn；loga(MN)＝logaM＋logaN； llooggaaNMN＝＝lloloogggbbaNaM(－a>l0o且gaNa≠；1lo，gabM>n0＝且nbl≠og1aM，；Ma>l0o，gaNN＝>N0)；.
5.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y＝ax (a>0，且a≠1)恒过(0,1)点； y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点. (2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0， ＋∞)上单调递增； 当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞) 上单调递减.