2018学年高中数学A版必修145分钟课时作业与单元测试卷：第二、三章 滚动性检测 含解析

第一章章末检测一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)1．若a、b为异面直线，直线c∥a，c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交答案：D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直答案：A解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.3．如图为一零件的三视图，根据图中所给数据(单位：cm)可知这个零件的体积为() A．(64－π)cm3B．(64－4π)cm3C．(48－π)cm3D．(48－4π)cm3答案：B解析：由三视图，可知这个零件是一个棱长为4的正方体，中间挖去了一个底面半径为1、高为4的圆柱所形成的几何体，其体积为43－π×12×4＝(64－4π)cm3.4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为() A．1：2：3 B．2：3：4C．3：2：4 D．3：1：2答案：D5．已知正方体的棱长为2，则外接球的表面积和体积分别为()A．48π，32 3πB．48π，4 3πC．12π，4 3πD．12π，32 3π答案：C6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案：D7．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是()A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m β，且α⊥β，则m ⊥αD ．若m ⊥β，且α∥β，则m ⊥α 答案：D解析：A 中可能n α；B 中m ，n 还可能相交或异面；C 中m ，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D 正确．8．四面体S －ABC 中，各个面都是边长为2的正三角形，E ，F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 答案：C9．设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 答案：A10．直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是( )A ．[4 2－52，4 2＋52]B ．[2 2－2,2 2＋2]C ．[3－2 22，3＋2 22]D ．[3 2－2,3 2＋2] 答案：B 解析：由题意，直线BC 与动点O 的空间关系： 点O 是以BC 为直径的球面上的点，所以O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离， 最大距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)＋半径＝2 2＋2. 最小距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)－半径＝2 2－2.∴点O 到直线AD 的距离的取值范围是：[2 2－2,2 2＋2]． 二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)11．已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．答案： 212．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B －B 1EF 的体积为________．答案：1313．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为BB 1和CD 的中点，则直线AM 和D 1N 所成的角为________.答案：90° 14．如图，梯形A ′B ′C ′D ′是水平放置的四边形ABCD 的用斜二测画法画出的直观图．若A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝O ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积为________．答案：5 解析：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D ′＝1，OC ＝O ′C ′＝2.过点D 作y 轴的平行线，并在平行线上截取DA ＝2D ′A ′＝2.过点A 作x 轴的平行线，并在平行线上截取AB ＝A ′B ′＝2.连接BC ，即得到了四边形ABCD .可知四边形ABCD 是直角梯形，上、下底边分别为AB ＝2，CD ＝3，高AD ＝2，所以四边形ABCD 的面积S ＝2＋32×2＝5.15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：①直线D 1C ∥平面A 1ABB 1； ②直线A 1D 1与平面BCD 1相交； ③直线AD ⊥平面D 1DB ； ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1.其中正确结论的序号为________． 答案：①④解析：因为平面A 1ABB 1∥平面D 1DCC 1，D 1C平面D 1DCC 1，所以D 1C ∥平面A 1ABB 1，①正确；直线A 1D 1在平面BCD 1内，②不正确；显然AD 不垂直于BD ，所以AD 不垂直于平面D 1DB ，③不正确；因为BC ⊥平面A 1ABB 1，BC 平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1，④正确．三、解答证明题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：x cm,3x cm. 延长AA 1交OO 1的延长线于S ， 在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°， ∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.故圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝ 2O 1O ＝14 2 cm ，两底面半径分别为7 cm,21 cm.17．(12分)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点．(1)求证：SA ∥平面PCD ； (2)求圆锥SO 的表面积． 解：(1)连接PO ，∵P ，O 分别为SB ，AB 的中点，∴PO ∥SA .又PO 平面PCD ，SA 平面PCD ，∴SA ∥平面PCD .(2)设母线长为l ，底面圆半径为r ，则r ＝2，l ＝SB ＝22， ∴S 底＝πr 2＝4π，S 侧＝πrl ＝42π， ∴S 表＝S 底＋S 侧＝4(2＋1)π.18．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分PC ，且分别交AC ，PC 于D ，E 两点，PB ＝BC ，P A ＝AB .(1)求证：PC ⊥平面BDE ；(2)试确定线段P A 上点Q 的位置，使得PC ∥平面BDQ . 解：(1)∵PB ＝BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE . ∵DE 垂直平分PC ，∴PC ⊥DE .又BE 平面BDE ，DE 平面BDE ，且BE ∩DE ＝E ，∴PC ⊥平面BDE .(2)不妨令P A ＝AB ＝1，则有PB ＝BC ＝2，计算得AD ＝33＝13AC . ∴点Q 在线段P A 上靠近点A 的三等分点处，即AQ ＝13AP 时，PC ∥QD ，从而PC ∥平面BDQ .19．(13分)如图，在直三棱柱ADF －BCE 中，AB ＝AD ＝DF ＝a ，AD ⊥DF ，M ，G 分别是AB ，DF 的中点．(1)求该直三棱柱的体积与表面积；(2)在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．解：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为12×a ×a ×a ＝12a 3，表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.(2)当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC . 取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .∵G 是DF 的中点，∴GH 綊12CD .又M 是AB 的中点，AB 綊CD ，∴AM 綊12CD .∴GH ∥AM 且GH ＝AM ，∴四边形GHMA 是平行四边形， ∴GA ∥MH .∵MH 平面FMC ，GA 平面FMC ， ∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .20．(13分)如图①，有一个等腰直角三角板ABC 垂直于平面α，BC α，AB ＝BC ＝5，有一条长为7的细线，其两端分别位于B ，C 处，现用铅笔拉紧细线，在平面α上移动．(1)图②中的PC (PC <PB )的长为多少时，CP ⊥平面ABP ？并说明理由． (2)在(1)的情形下，求三棱锥B －APC 的高． 解：(1)当CP ＝3时，CP ⊥平面ABP .证明如下：若CP ＝3，则BP ＝4，而BC ＝5， 所以三角形BPC 为直角三角形，且CP ⊥PB . 又平面ABC ⊥平面α，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面α，于是CP ⊥AB .又PB 平面ABP ，AB 平面ABP ，PB ∩AB ＝B ， 所以CP ⊥平面ABP .(2)解法一：如图，过点B 作BD ⊥AP 于点D ，由(1)，知CP ⊥平面ABP ，则CP ⊥BD .又AP 平面APC ，CP 平面APC ，AP ∩CP ＝P ， 所以BD ⊥平面APC ，即BD 为三棱锥B －APC 的高． 由于PB ＝4，AB ＝5，AB ⊥平面α，所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，由AP ·BD ＝AB ·PB ，得BD ＝4×541＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.解法二：由(1)，知CP ⊥平面ABP ，所以CP ⊥AP . 又CP ＝3，BP ＝4，AB ＝5，AB ⊥BP ， 所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，所以S △APC ＝12·CP ·AP ＝3412.设三棱锥B －APC 的高为h ，则V B －APC ＝13·S △APC ·h ＝412h .又V A －PBC ＝13·S △PBC ·AB ＝13×12×CP ×BP ×AB ＝10，而V B －APC ＝V A －PBC ，得412h ＝10，所以h ＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.21．(13分)已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且AM ＝FN ＝x ，设AB ＝a(1)求证：MN ∥平面CBE ； (2)求证： MN ⊥AB ；(3)当x 为何值时，MN 取最小值？并求出这个最小值．证明：(1)在平面ABC 中，作MG ∥AB ，在平面BFE 中，作NH ∥EF ，连接GH ，∵AM ＝FN ，∴MC ＝NB ，∵MG AB ＝MC NC ＝NBEF∴MG ∥NH ，∴MNHG 为平行四边形，∴MN ∥GH又∵GH ⊆面BEC ，MN 面BEC ，∴MN ∥面BEC (2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥BE ，∴AB ⊥面BEC ，∵GH ⊆面GEC ，∴AB ⊥GH ，∵MN ∥GH ，∴MN ⊥AB (3)∵面ABCD ⊥面ABEF ，∴BE ⊥面ABCD ，∴BE ⊥BC∵BG ＝x2，BH ＝2a －x 2∴MN ＝GH ＝BG 2＋BH 2＝x 2＋x 2－22ax ＋2a 22＝x 2－2ax ＋a 2(0<a <2a )＝⎝⎛⎭⎫x －22a 2＋a 22≤22a当且仅当x ＝22a 时，等号成立；∴当x ＝22a 时，MN 取最小值22a .。

阶段滚动检测（四)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答,保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(2016·吉林实验中学)已知集合A＝错误!，B＝错误!，则A∪（∁R B）等于(）A．－1,0]B．1，2］C．0,1]D．(－∞，1］∪2，＋∞）2．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是1，＋∞)，命题q：函数y＝x－错误!的单调递增区间是1，＋∞）,则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题3．在平面四边形ABCD中，错误!＋错误!＝0,(错误!－错误!）·错误!＝0，则四边形ABCD是（）A．矩形B．梯形C．正方形D．菱形4．设函数f(x）＝错误!若函数y＝f(x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是(）A．(－∞，1］B．1，4]C．4，＋∞) D．(－∞，1]∪4,＋∞)5．设a＝错误!(sin17°＋cos17°）,b＝2cos213°－1,c＝错误!,则a,b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜b＜a6．(2016·青岛一模)已知数列错误!为等差数列，其前n项和为S n,若a3＝6，S3＝12，则公差d等于() A．1 B．2C．3 D。

错误!7．在锐角三角形ABC中，若a＝7，b＝8，向量m＝(错误!，cos A），n＝(sin A，－错误!),且m⊥n，则△ABC的面积为(）A．3错误! B.错误!C．10错误!D．5错误!8．已知数列错误!满足a1＝1,且a n＝错误!a n－1＋(错误!）n(n≥2且n∈N＊)，则数列错误!的通项公式为(）A．a n＝错误!B．a n＝错误!C．a n＝n＋2 D．a n＝（n＋2)3n9．(2016·天津模拟)若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈（0,＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(）A．(－∞，0) B．(－∞,4］C．（0，＋∞) D．4,＋∞)10.已知函数f（x)＝2sin(ωx＋φ）（ω>0,且｜φ｜〈错误!)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是(）A．－错误!，错误!］B．－错误!,－错误!]C．－错误!，错误!] D．－错误!,错误!］11．对于一切实数x，令x］为不大于x的最大整数,则函数f（x）＝x]称为高斯函数或取整函数．若a n＝f(错误!)，n∈N*，S n为数列错误!的前n项和，则S3n等于（）A.错误!n2－错误!n B。

课时作业(一)集合的含义一、选择题1．①某班视力较好的同学；②方程x2－1＝0的解集；③漂亮的花儿；④空气中密度大的气体．其中能组成集合的是()A. ②B. ①③C. ②④D. ①②④答案：A解析：求解这类题目要从集合元素的确定性、互异性出发．①③④不符合集合元素的确定性，故不能组成集合．2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D解析：△ABC的三边长两两不等，故选D.3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列结论正确的是()A. 0∈M,2∈MB. 0∉M,2∈MC. 0∈M,2∉MD. 0∉M,2∉M答案：B解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是不是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.4．已知2a∈A，a2－a∈A，若集合A中含有2个元素，则下列说法中正确的是()A．a取全体实数B．a取除0以外的所有实数C．a取除3以外的所有实数D ．a 取除0和3以外的所有实数答案：D 解析：根据集合中的元素具有互异性知，2a ≠a 2－a ，∴a ≠0且a ≠3.故选D.5．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A. 1B. －2C. 6D. 2答案：C 解析：由题设知，a2,2－a,4互不相等，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠2－a ，a 2≠4，2－a ≠4，解得a ≠±2且a ≠1.当实数a 的取值是6时，三个数分别为36，－4,4，可以构成集合，故选C.6．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A. 2B. 2或4C. 4D. 0答案：B 解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ； 若a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ； 若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B. 二、填空题7．设集合A 是由1，－2，a 2－1三个元素构成的集合，集合B 是由1，a 2－3a,0三个元素构成的集合，若A ＝B ，则实数a ＝________.答案：1 解析：由集合相等的概念，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.8．已知集合A 由方程(x －a )(x －a ＋1)＝0的根构成，且2∈A ，则实数a ＝________.答案：2或3 解析：由(x －a )(x －a ＋1)＝0得x ＝a 或x ＝a －1.又∵2∈A ，∴当a ＝2时，a －1＝1，集合A 中的元素为1,2，符合题意；当a －1＝2时，a ＝3，集合A 中的元素为2,3，符合题意． 综上可知，a ＝2或a ＝3.9．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠0，1，2，1±52 解析：由元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.10．设a ，b ∈R ，集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有三个元素0，ba ，b ，且A ＝B ，则a ＋b ＝________.答案：0 解析：由于B 中元素是0，ba ，b ，故a ≠0，b ≠0. 又A ＝B ，∴a ＋b ＝0.11．由实数t ，|t |，t 2，－t ，t 3所构成的集合M 中最多含有________个元素．答案：4 解析：由于|t |至少与t 和－t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素，如当t ＝－2时，t ，－t ，t 2，t 3互不相同，集合M 中含有4个元素．三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a 的值．解：由－3∈A ，得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，符合题意． ∴a ＝－32.13．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋ Q 中元素的个数是多少？解：∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 14．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3，x 2－2x ≠x ，x 2－2x ≠3，解得x ≠－1，x ≠0且x ≠3.(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 所以x ＝－2. 尖子生题库15．设S 是由满足下列条件的实数所构成的集合： ①1∉S ；②若a ∈S ，则11－a ∈S .请回答下列问题：(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； (2)求证：若a ∈S ，则1－1a ∈S ；(3)在集合S 中元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由．(1)解：∵2∈S,2≠1，∴11－2＝－1∈S .∵－1∈S ，－1≠1，∴11－(－1)＝12∈S .∵12∈S ，12≠1，11－12＝2∈S .∴集合S 中另外两个数为－1和12. (2)证明：∵a ∈S ，∴11－a ∈S ，∴11－11－a ∈S ， 即11－11－a ＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S (a ≠0)． 若a ＝0，则11－a ＝1∈S ，不合题意．∴a ＝0∉S .∴若a ∈S ，则1－1a ∈S . (3)解：集合S 中的元素不能只有一个．理由：假设集合S中只有一个元素a，则根据题意知a＝11－a，即a2－a＋1＝0，此方程无实数解，所以a≠11－a.因此集合S中不能只有一个元素．。