2020年上海市高考数学模拟试卷(3)

2020年上海市高考数学模拟试卷（3）

一．填空题（共12小题，满分54分）

1．（4分）已知集合M ＝{1+a ，a 2+a ，3}，N ＝{a 2﹣3a +8，b ﹣3，0}，且M ∩N ＝{2}，则a +b 的值为 ． 2．（4分）已知函数f （x ）=√x +

k

√x

在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k ＝ ． 3．（4分）计算tan54°﹣tan36°﹣2tan18°＝ ．

4．（4分）已知定义在R 上的单调函数f （x ）的图象经过点A （﹣3，2）、B （2，﹣2），若函数f （x ）的反函数为f ﹣

1（x ），则不等式|2f ﹣

1（x ﹣2）+1|＜5的解集为 ．

5．（4分）（理） 已知函数f （x ）＝x 3+x ，关于x 的不等式f （mx ﹣2）+f （x ）＜0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为 ．

6．（4分）函数y ＝2sin （2x +π

6）+1的最小正周期是 ，最小值是 ． 7．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数），P 为曲

线C 上的动点，直线的方程：x +y ＝4，则点P 到直线的距离d 的最小值为 8．（5分）从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 ．（用数值表示结果）

9．（5分）函数y =(2x+1)2

(x+1)(4x+1)（x ≥0）的最小值为 ．

10．（5分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，AC ＝2，BE ＝2EA ，AD 与CE 的交点为O ．若AO →

•BC →

=−2，则AB 的长为 ．

11．（5分）log 2

12

x −1

4

≤0，则x ∈ ．

12．（5分）甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 ①三个题都有人做对； ②至少有一个题三个人都做对；

③至少有两个题有两个人都做对．

二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）由两个1

4圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．π

3

B ．π

2

C ．π

D ．2π

14．（5分）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |﹣|FB ||的值等于（ ） A ．8√2

B ．8

C ．4√2

D ．4

15．（5分）已知x ∈R ，则条件“|x ﹣1|＜1”是条件“x 2＜4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

16．（5分）设集合A ＝{x |1≤x ≤6，x ∈N }，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1，2，5}的“交替和”是5﹣2+1＝4，{6，3}的“交替和”就是6﹣3＝3，{3}的“交替和”就是3）．则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（ ） A ．128

B ．192

C ．224

D ．256

三．解答题（共5小题，满分76分）

17．（14分）已知向量m →

=(√3cosx ，−1)，n →

=(sinx ，cos 2x)． （1）当x =π

3时，求m →⋅n →

的值；

（2）若x ∈[0，π

4]，且m →⋅n →

=√33−1

2，求cos2x 的值．

18．（14分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝90°，平面P AB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点． （1）求证：AB ⊥PE ；

（2）求三棱锥P ﹣BEC 的体积．

19．（14分）某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60＜m ＜150，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．

（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益＝在职人员创利总额﹣被裁员工生活费）；

（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 20．（16分）已知椭圆

x 2a +

y 2b =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与

x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点． （1）求椭圆的离心率；

（2）过点T 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，M ，N 都在x 轴上方，并且M 在N ，T 之间，且NF ＝2MF ．

①记△NFM ，△NF A 的面积分别为S 1，S 2，求S 1

S 2；

②若原点O 到直线TMN 的距离为

20√4141

，求椭圆方程．