2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+≤，{}3sin ,0B y y x x ==->，则A B =（ ）A ．[]1,4B ．[]2,4C ．[]4,1--D ．()1,4-【答案】B【解析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可计算出集合A B .【详解】由2540x x -+≤得14x ≤≤，即[]1,4A =，{}[]3sin ,02,4B y y x x ==->=， 所以[]2,4A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足512iz i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】B【解析】利用复数的除法将复数z 表示为一般形式，可得出复数z ，即可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为512i z i -=-，所以()()()()1213122255i i i z i i i i ----===-+-+---+，3155z i ∴=--. 所以复数z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限.故选：B. 【点睛】本题考查复数乘方以及除法的计算，同时也考查了共轭复数以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，则输出的b =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果. 【详解】该程序的运行过程为：1a =，10b =，a b <，继续循环；8b =，2a =，a b <，继续循环；6b =，3a =，a b <，继续循环；4b =，4a =，a b =，继续循环；2b =，5a =，a b >，跳出循环，输出2b =.故选：D. 【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的公差不为0，72a =，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．10 B ．0C ．10-D ．18-【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可知0d ≠，由题意得出()()()2232522d d d -=--，求出d 的值，可求出1a 和10a 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列{}n a 的前10项和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由已知得()()()2232522d d d -=--，解得2d =.所以12610a d =-=-，10238a d =+=，所以{}n a 的前10项和()1010810102S -+⨯==-.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则2021cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．18 B ．18-C D ．【答案】A【解析】利用诱导公式得出20212cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用二倍角的余弦公式可计算出2021cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以20212cos 2cos 673233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222231cos 2cos 22sin 12133348ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=--=--=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．若方程23sin cos 0x x a +-=有实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,12B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】利用参变量分离法得出221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，令()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围即为函数()y f x =的值域，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】方程23sin cos 0x x a +-=即23cos cos 30x x a -+-=，则221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，设()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. []cos 1,1x ∈-Q ，()21373cos 612x x f ⎛⎫=--∴+ ⎪⎝⎭的值域为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 原方程有实根，∴实数a 的取值范围为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D. 【点睛】本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间[]1,1-上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．C ．36D ．48【答案】C【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.【详解】由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥A BCD -，且正方体的棱长为6. 如图，底面三角形BCD 的面积为166182⨯⨯=，高（点A 到平面BCD 的距离）为6，所以该几何体的体积1186363A BCD V -=⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8．已知数列{}n a 是递增的等比数列，6240a a -=，4210a a +=，则1a =（ ） ABC ．53D ．52【答案】A【解析】设等比数列公比为0q >，由题意列出关于1a 和q 的方程组，解出即可. 【详解】设{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得624240410a a a a -==+，所以42141q q -=+，得214q -=，解得q =因为{}n a是递增的等比数列，所以q =.因为2422210a a a q a +=+=，所以253a =，所以213a a q ==. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B．49C．3πD ．9π 【答案】B【解析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7C D r =，所以22tan 30AB AD CD ===.所以2172ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π，所以所求的概率2234949r P π==.故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10．已知三棱锥A BCD -内接于球O ，4AB BC BD ===，60CBD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为（ ） A ．283πB ．254πC ．1123πD ．60π【答案】C【解析】先得出BCD ∆为等边三角形，设其中心为G ，可得知12OG AB =，由正弦定理求出BG ，利用公式R =O 的半径R ，然后利用球体的表面积公式可计算出球O 的表面积. 【详解】如图，因为4BC BD ==，60CBD ∠=，所以BCD ∆是等边三角形，设其中心为G ，则OG ⊥平面BCD ，因为AB ⊥平面BCD ，所以122OG AB ==.由正弦定理得2sin 603BC BG ==，则3BG =，所以外接球O 的半径R ==O 的表面积为211243R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，90ABC BDE ∠=∠=，且OA OB =.若点C 和点E 都在抛物线()220y px p =>上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为（ ）A ．18B．3- C．4D1【答案】B【解析】设AB a =，BD b =，可得,2a C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再将点C 、E 代入抛物线的方程，可得出ab的值，由此可得出ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为2ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】设AB a =，BD b =，则点,2a C a ⎛⎫⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线的方程，得222222a a p a b p b ⎧=⨯⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，整理得2220a ab b +-=，解得1a b =（负值舍去），故23ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x=-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】构造函数()()31F x x f x =-，可得出()()3F x g x x =，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数()()3F x g x x =的零点个数.【详解】设()()31F x x f x =-，则()()()()()32333f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，()()30f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故()()()331F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知向量()3,4a =-，1b =，532a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角θ=______. 【答案】6π 【解析】计算出a r的值，利用平面向量数量积的定义计算出cos θ的值，结合角θ的取值范围可求出θ的值. 【详解】因为()3,4a =-，所以5a =，因为1b =，532a b ⋅=，所以532cos 51a b a bθ⋅===⨯.因为[]0,θπ∈，所以6πθ=. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =±，点()1,2A到右焦点F 的距离为C 的方程为______.【答案】2218y x -=【解析】设双曲线C 的半焦距为c ，由AF =求出c 的值，由双曲线的渐近线方程得出ba=a 、b 的值，从而得出双曲线C 的方程. 【详解】设双曲线C 的半焦距为c ，因为点()1,2A 到右焦点的距离为，所以=3c =或1c =-（舍去）.因为ba=3c ea ==，所以1a =，b =C 的方程为2218y x -=.故答案为：2218y x -=.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求解，同时也涉及了双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中等题.15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足()()0f f π==，且()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的值为______.【答案】2或52【解析】先由()0f =，结合ϕ的范围，求出4πϕ=，再由()fπ=，得出244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，可得出2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈，再由区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭的长度不超过半个周期得出ω的范围，可确定出ω的可能取值，再结合条件“函数()y f x =在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减”进行检验，可得出ω的值. 【详解】因为()0f =，所以sin 2ϕ=，因为2πϕ<，所以4πϕ=.由()fπ=，得sin 4πωπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，所以2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈.因为244πππ-=，所以24T ππω=≥，得4ω≤， 故ω的可能取值为12、2、52和4， 当12ω=时，()12sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当42x ππ<<时，318242x πππ<+<， 此时，函数()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不合乎题意； 同理可知，满足()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的只有2和52.故答案为：2或52. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性求参数，在计算出参数的可能值之后，还应将参数的值代入进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．设函数()321x x f x -=+，()2xg x xe =，若()11,x ∃∈-+∞，使得()21,x ∀∈-+∞，不等式()()2214emg x m f x >恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞【解析】根据题意得出()()2min min 4emg x m f x ⎡⎤>⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求出函数()y f x =在区间()1,-+∞上的值域，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,-+∞上的值域，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】()()2155211x x f x x -++==-+++，当()1,x ∈-+∞时，有()2f x >-. 因为()2xg x xe =，所以()()222212xx x g x exe x e '=+=+，当112x -<<-时，()0g x '<，函数()y g x =在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，当12x >-时，()0g x '>，函数()y g x =在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()1122g x g e ⎛⎫∴≥-=- ⎪⎝⎭，所以当1x >-时，()1,2g x e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.若0m >，则()214422emg x em m e ⎛⎫≥⋅-=- ⎪⎝⎭，()2212m f x m >-. 根据题意可知222m m ->-，解得1m >；若0m ≤，则()(]24,2emg x m ∈-∞-，()2212m f x m >-，不符合条件.综上所述，实数m 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立与能成立的综合问题，解题的关键就是将问题转化为函数最值相关的不等式来求解，同时也涉及了利用导数求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，410S =，()112n n n S a S n +--=≥. （1）求n S ；（2）数列{}n b 满足124n n n b S -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n S n =-；（2）24133n n T n n -=-+. 【解析】（1）由题意得出()112n n n n a S S a n +-=-=≥，可得出当2n ≥时，23n a a ==，再由410S =求出1a 的值，即可求出n S 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出n T . 【详解】（1）由题意得2n ≥时，11n n n n a S S a +-=-=，所以23n a a ==. 又4123413310S a a a a a =+++=+⨯=，得11a =， 所以()1211332n n S a a a n n =+++=+-⨯=-；（2）由（1）知()12324n n b n -=-+，所以()()0111421473244413214nn n T n n n --=⨯+++⋅⋅⋅+-++++=+-+-24133n n n -=-+. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()cos 2cos a B c b A =-，3a =，2c =.（1）求角A ； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）2. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围，可得出角A 的值；（2）由正弦定理可计算出sin C 的值，利用两角和的正弦定理计算出()sin sin B A C =+的值，然后利用三角形的面积公式可计算出ABC ∆的面积.【详解】（1）由正弦定理可得sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=. 因为()C A B π=-+，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，()0,C π∈，则sin 0C >，故1cos 2A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）根据正弦定理有sin sin a c A C =，所以csin sin A C a ==因为a c >，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos C ==所以()sin sin sin cos cos sin 6B AC A C A C =+=+=.所以ABC ∆的面积11sin 32226ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯2=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，1122AB AA ==，E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点.（1）求证：BD CE ⊥；（2）求平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）151. 【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，利用菱形对角线的性质得出BD AC ⊥，由直棱柱的性质得出1AA ⊥平面ABCD ，可得出1BD AA ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证明出BD ⊥平面ACE ，由此可证明出BD CE ⊥；（2）以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，然后利用空间向量法计算出平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥. 因为1AA AC A =，所以BD ⊥平面ACE .因为CE ⊂平面ACE ，所以BD CE ⊥；（2）由（1）知AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -.因为1122AB AA ==，所以14AA =，因为底面四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，所以2AB AD BD ===，AC =又因为E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点，所以()C ，)E，1,,422F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2CE =，31,42CF ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则2320314022n CEz n CF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩. 令x =()3,21,3n =--.易知()0,0,1m =为平面ABCD 的一个法向量. 设平面ABCD 与平面CEF 所成的锐二面角为θ，所以((cos 151m n m nθ⋅====⋅， 所以平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值为151. 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量来计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；（2）现从年龄在[)50,60、[]70,80的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[]70,80的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()0,1,2,,20k P k =⋅⋅⋅，当k P 最大时，求k 的值.【答案】（1）0.02a =，平均年龄54.5；（2）分布列见解析，()34E X =；（3）8k =. 【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，求出a 的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区2019年国庆活动的居民的平均年龄；（2）先根据分层抽样得知，所抽取的8人中，年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人，可得出随机变量X 的可能取值为0、1、2，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量X 分别取0、1、2时的概率，列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望；（3）设年龄在[)30,50的人数为Y ，可知()~20,0.4Y B ，利用独立重复试验的概率公式得出()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk k k P P Y k k -===⋅⋅-=，分析出数列{}()020,k P k k N ≤≤∈的单调性，可求出k P 的最大值及对应的k 的值.【详解】（1）由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄为()0.005350.035450.030550.020650.0107510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯54.5=；（2）年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[]70,80的人数为0.010*******⨯⨯=.根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人.所以X 的可能取值为0，1，2，且()3062385014C C C P X ===，()21623811528C C C P X ===，()1262383228C C C P X ===，所以X 的分布列为所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知年龄在[)30,50内的频率为()0.0050.035100.4+⨯=. 设年龄在[)30,50的人数为Y ，所以()~20,0.4Y B .()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk kk P P Y k k -===⋅⋅-=.设()()202021111200.410.40.410.4kkk k k k k k C C P t P -----⋅⋅-==⋅⋅-()()2211,2,,203k k k-==，由1t >得8.4k <，此时1k k P P -<；由1t <得8.4k >，此时1k k P P ->. 所以当8k =时，k P 最大. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴长与焦距分别为方程2680x x -+=的两个实数根.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点，当ABF ∆面积最大时，求直线l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=；（2）14±. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，解方程2680x x -+=，可求出a 、c 的值，进而求出b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出ABF ∆的面积关于m的表达式，换元)0t t =>，利用基本不等式求出ABF ∆面积的最大值，利用等号成立的条件求出m 的值，即可得出直线l 的斜率. 【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由2680x x -+=可得12x =，24x =，所以24a =，22c =，即2a =，1c =.所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y 、()22,B x y ，与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()223424360m y my +-+=.则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->，所以24m >. 由根与系数的关系知1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1232ABFS y y ∆=-=.①令)0t t =>，则①式可化为21818163163ABF t S t t t ∆==++4≤=. 当且仅当163t t =，即t =时，等号成立.此时3m =±，所以直线l的斜率为14±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求最值时，一般利用基本不等式或函数单调性求解，考查运算求解能力，属于中等题. 22．已知a R ∈，函数()211xe a xf x x =--+.（1）若0a =，证明：当1x <时，()0f x ≤； （2）若0x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，得出()11xxx e f =--，构造函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，利用导数求出函数()y g x =的最大值为()00g =，从而可证明出所证不等式成立；（2）分0a =、0a <和0a >三种情况讨论，分析函数()y f x =的导函数()y f x '=在0x =附近符号的变化，结合条件“0x =是()y f x =的极小值点”，可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）若0a =，()11xxx e f =--. 设函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，则()xg x xe '=-.当0x <时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以，函数()y g x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减. 所以在(),1-∞上，()()00g x g ≤=.又因为当1x <时，10x ->，所以当1x <时，()()01g x f x x=≤-； （2）（i ）若0a =，由（1）可知当1x <时，()()00f x f ≤=，这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（ii ）若0a <，对于方程210ax x -+=，因为140a ∆=->，且10a<， 故方程有两个实根1x 、2x ，且满足120x x <<. 当12x x x <<时，2110x ax x -≥-+>， 结合（1），可得()()2110011xxf e e f a x x x x=-≤-≤=-+-. 这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（iii ）若0a >，设函数()()()()22111xax x f x ax h x x e =-+=-+-.由于当1x <时，210ax x -+>，故()y h x =与()y f x =符号相同.又()()000h f ==，所以0x =是()y f x =的极小值点等价于0x =是()y h x =的极小值点.()()21221x x a ax a x e a a h x x x e '-⎛⎫⎡⎤=+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭. 由()0h x '=得，0x =或12ax a-=. 如果120a a ->，则当0x <时，()0h x '>，当120ax a-<<且1x <时，()0h x '<，第 21 页 共 21 页 所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a-=，则当1x <时，()0h x '≥，所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a -<，则当120a x a-<<时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>，所以0x =是()y h x =的极小值点，从而0x =是()y f x =的极小值点，此时12a >. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.。
