贵州省最新高级中学2020-2021学年高二数学下学期第一次(3月)月考试题 文(含解析)

高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题π:,tan 03p x x x ∃>->，则命题p 的否定是（）A.π,tan 03x x x ∀≤-> B.π,tan 03x x x ∀>-≤C.π,tan 03x x x ∃≤-> D.π,tan 03x x x ∃>-≤2.曲线sin cos y x x =+在π2x =处切线的倾斜角为（）A.0B.π4 C.π2D.3π43.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（）A .57斗 B.56斗 C.107斗 D.53斗4.()6(2)x y x y +-的展开式中52x y 的系数是（）A .48B.-48C.72D.-725.小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（）种.A.48B.72C.216D.4326.已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .内角,,A B C 为等差数列，若AC且ABC b 的值为（）A.2B.3C.4D.57.已知点P 在函数()2ln 2f x x x =-+的图象上，点Q 在直线:30l x y -+=上，记2||M PQ =，则（）A.当M 取最小值时，点Q 的横坐标为1-B.当M 取最小时，点Q 的横坐标为1C.当M 取最小值时，点Q 的横坐标为12D.当M 取最小时，点Q 的横坐标为12-8.已知()232ln3ln41,,e 4ea b c -===，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c<< D.b c a<<二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.设已知随机变量,X Y 满足()31,5Y X E Y =-=，则()2E X =B.若110,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()2D X =C.若()22,X N σ，设()10.6P X ≥=，则()30.4P X ≥=D.若事件,A B 相互独立且()01P B <<，则()()()P A B P A B P A ==∣∣10.已知函数()e ln xf x a x =+，下列说法中正确的是（）A.对于任意0a >，函数()f x 在定义域上是单调递减函数B.对于任意0a <，函数()f x 存在最小值C.存在0a >，使得对于任意()0,x ∈+∞都有()0f x >恒成立D.存在0a <，使得()f x 在定义域上有两个零点11.已知,A B 为两个随机事件，A B 分别为其对立事件，则下列说法正确的是（）A.若()()11,34P A P B ==，则()712P A B ⋃=B.若()()()121,,|552P A P B P B A ===，则()3|8P B A =C.若()()()137,|,|3416P A P A B P B A ===，则()14P B =D.若()()()133,|,|248P A P A B P A B ===，则()13P B =第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用X 表示选到男生的人数，则1X ≥的概率是__________.13.若10121001210(1)(1)(1)xa a x a x a x =+++++++ ，则13579a a a a a ++++=______.（用数字作答）14.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()6235e ,22e xf f x f x =--'<，则不等式()22ln 2ln f x x x x ≤-的解集为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，O 是ABC 的重心，1111,60,C CA C CB C CO AA ∠∠∠=== .（1）证明：1C O ⊥平面ABC ；（2）求二面角1A CC B --的正弦值.17.中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布()277,N σ，且()77800.3P ξ≤≤=.（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.18.已知圆：22430x y x +-+=的圆心为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F ，且椭圆C 的离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 为坐标原点，分别过,A B 作椭圆C 的切线，两切线相交于点M .（i ）求证：,,O M N 三点共线；（ii ）当l 不与x 轴垂直时，求AB FM FN⋅的最小值.19.设()f x '是函数()f x 的导函数，若()f x '可导，则称函数()f x '的导函数为()f x 的二阶导函数，记为()f x ''.若()f x ''有变号零点0x x =，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的“拐点”.（1）研究发现，任意三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，曲线()y f x =都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()y f x =的图象的对称中心.已知函数()3224f x x bx x d =+-+的图象的对称中心为()1,3，求函数()f x 的解析式，并讨论()f x 的单调性；（2）已知函数()132221112e 1(0)623mx g x mx x x m m m m-=+-+-->.（i ）求曲线()y g x =的“拐点”；（ii ）若()()()12122g x g x x x +=-≠，求证：122x x m+<.高二数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题π:,tan 03p x x x ∃>->，则命题p 的否定是（）A.π,tan 03x x x ∀≤-> B.π,tan 03x x x ∀>-≤C.π,tan 03x x x ∃≤-> D.π,tan 03x x x ∃>-≤【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题π:,tan 03p x x x ∃>->的否定是π,tan 03x x x ∀>-≤.故选：B.2.曲线sin cos y x x =+在π2x =处切线的倾斜角为（）A.0 B.π4 C.π2D.3π4【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求解.【详解】解：因为cos sin y x x -'=，所以曲线在π2x =处的切线的斜率为1k =-，结合直线倾斜角范围及斜率与倾斜角关系知：切线倾斜角为3π4，故选：D.3.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（）A.57斗 B.56斗 C.107斗 D.53斗【答案】C 【解析】【分析】设羊主人应赔偿1a 斗，则马主人应赔偿12a 斗，牛主人应赔偿14a 斗，根据题意，列出方程，即可求解.【详解】设羊主人应赔偿1a 斗，则马主人应赔偿12a 斗，牛主人应赔偿14a 斗，由题意得11112475a a a a ++==，所以157a =，所以马主人应赔偿11027a =斗.故选：C.4.()6(2)x y x y +-的展开式中52x y 的系数是（）A.48 B.-48C.72D.-72【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用二项式定理得展开式，结合多项式展开式的形式，即可求解.【详解】由题意，多项式()6(2)x y x y +-的展开式中，52x y 的系数等于221166C (2)C (2)48-+-=.故选：A.5.小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（）种.A.48 B.72C.216D.432【答案】D 【解析】【分析】利用相邻问题中的捆绑法可求出结果.【详解】先将3个将军俑捆在一起当一个元素使用，有33A 6=种捆法，将3个骑兵俑捆在一起当一个元素使用，有33A 6=种捆法，将2个跪射俑捆在一起当一个元素使用，有22A 2=种捆法，再将所得3个元素作全排，有33A 6=种排法，所以不同的排法共有33233323A A A A 432=种.故选：D.6.已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .内角,,A B C 为等差数列，若AC且ABC b 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】首先求出B ，根据平行四边形法则得2BM BA BC =+，两边平方得到一个关于a ，c 的方程，再根据面积公式得到a ，c 的另一个方程，最后由余弦定理计算出b .【详解】因为内角,,A B C 成等差数列，所以3πA B C B ++==,即π3B =，设AC 中点为M ，所以2BM BA BC =+，由题意，BM =，所以22()4||12BA BC BM +== ，即2212a c ac ++=，又因为13sin 24ABC S ac B ac ===△4ac =，228a c +=，由余弦定理，2222cos 4b a c ac B =+-=，所以2b =.故选：A.7.已知点P 在函数()2ln 2f x x x =-+的图象上，点Q 在直线:30l x y -+=上，记2||M PQ =，则（）A.当M 取最小值时，点Q 的横坐标为1-B.当M 取最小时，点Q 的横坐标为1C.当M 取最小值时，点Q 的横坐标为12D.当M 取最小时，点Q 的横坐标为12-【答案】D【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性，作出函数的图象，然后利用数形结合知函数()2ln 2f x x x =-+在P 点处的切线平行于直线l ，然后利用导数的几何意义求得切点坐标，再利用垂直关系求得直线PQ 方程，与直线:30l x y -+=联立求解交点即可.【详解】()2ln 2f x x x =-+，则()221xf x x x-=-='，令()0f x '>得02x <<，令()0f x '<得2x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,∞+上单调递减，作出函数函数()2ln 2f x x x =-+的图象，如图：由题意，当M 最小时，函数()2ln 2f x x x =-+在P 点处的切线平行于直线l ，过P 点作直线l 的垂线，垂足即为点Q .设P 的坐标为()000,2ln 2x x x -+，因为()21f x x '=-，所以()0211f x x -'==，解得01x =，即P 点的坐标为()1,1，所以过P 点，且与直线l 垂直的直线方程为20x y +-=，联立方程20,30,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得Q 的坐标为15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.8.已知()232ln3ln41,,e4ea b c -===，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】令函数()ln xf x x=，利用导数求得函数()f x 在()0,e 上单调递增，结合对数的运算性质和函数的单调性，即可求解.【详解】令函数()ln x f x x =，可得()21ln (0)xf x x x-=>'，所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，又因为()()222e ln e ln4ln21lne 3,2,e e 342e e 3a f b f c f ⎛⎫======== ⎪⎝⎭，因为2e 2e 3<<，所以()()2e 2(e 3f f f <<，即b a c <<.故选：C.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.设已知随机变量,X Y 满足()31,5Y X E Y =-=，则()2E X =B.若110,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()2D X =C.若()22,X N σ，设()10.6P X ≥=，则()30.4P X ≥=D.若事件,A B 相互独立且()01P B <<，则()()()P A B P A B P A ==∣∣【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望的性质，可判定A 正确；结合二项分布方差的公式，可判定B 错误；根据正态分布曲线的对称性，可得判定C 正确；根据条件概率的计算公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由()()31E Y E X =-，所以()()123E Y E X +==，所以A 正确；对于B 中，由110,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()14810555D X =⨯⨯=，所以B 错误；对于C 中，由()22,X N σ，所以()()()31110.4P X P X P X ≥=≤=-≥=，所以C 正确；对于D 中，因为,A B 相互独立，所以()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，且()()()()()()(|()()()1()P AB P A P AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====-，所以D 正确.故选：ACD.10.已知函数()e ln xf x a x =+，下列说法中正确的是（）A.对于任意0a >，函数()f x 在定义域上是单调递减函数B.对于任意0a <，函数()f x 存在最小值C.存在0a >，使得对于任意()0,x ∈+∞都有()0f x >恒成立D.存在0a <，使得()f x 在定义域上有两个零点【答案】BD 【解析】【分析】A.利用导数法判断；C.由0,0a x >→时，()f x ∞→-判断；B.利用导数法判断；D.利用导数法判断.【详解】因为()e ln x f x a x =+，所以()e (0)xaf x x x+'=>.当0a >时，()e 0xaf x x='+>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，A 错误；又因为当0,0a x >→时，()f x ∞→-，C 错误；当0a <时，显然()e xaf x x='+在()0,∞+上单调递增，且当0x →时，()f x ∞'→-，当x →+∞时，()f x ∞'→+，所以存在()00,x ∞∈+，使得函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，所以函数()f x 有最小值，B 正确；又因为当0a <时，当0x →时，()f x ∞→+，当x →+∞时，()f x ∞→+，所以只需函数()f x 的最小值小于0，函数()f x 就有两个零点，D 正确，故选：BD.11.已知,A B 为两个随机事件，A B 分别为其对立事件，则下列说法正确的是（）A.若()()11,34P A P B ==，则()712P A B ⋃=B.若()()()121,,|552P A P B P B A ===，则()3|8P B A =C.若()()()137,|,|3416P A P A B P B A ===，则()14P B =D.若()()()133,|,|248P A P A B P A B ===，则()13P B =【答案】BCD 【解析】【分析】根据事件和概率加法公式，全概率，条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行逐一的分析判断即可．【详解】对于A ，()()()()P A B P A P B P AB =+- ，故A 错误；对于B ，因为()()11,|52P A P B A ==，所以()()()1|10P AB P A P B A =⋅=，所以()()()()()()213510|11815P AB P B P AB P B A P A P A --====--，故B 正确；对于C ，因为()()()137,|,|3416P A P A B P B A ===，所以()()()()()()()37|,|448P AB P B P A B P B P AB P A P B ====，所以()()()P AB P AB P A +=，解得()14P B =，故C 正确；对于D ，因为()12P A =，所以()12P A =，又因为()()()()()()()()()333|,|1488P AB P B P A B P B P AB P B P A B P B P B =====-⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()()333314888P AB P AB P B P B P B P A +=+-=+=⎡⎤⎣⎦，解得()13P B =，故D 正确.故选：BCD.第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用X 表示选到男生的人数，则1X ≥的概率是__________.【答案】3435【解析】【分析】根据题意，得到随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，结合()()110P X P X ≥=-=，即可求解.【详解】由题意，某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，随机变量男生人数X 的可能取值为0,1,2,3，则()()3337C 341101C 35P X P X ≥=-==-=.故答案为：3435.13.若10121001210(1)(1)(1)xa a x a x a x =+++++++ ，则13579a a a a a ++++=______.（用数字作答）【答案】512-【解析】【分析】利用赋值法，分别令0x =，令2x =-，代入求解即可.【详解】令0x =，可得012100a a a a ++++= ；令2x =-，可得01239101024a a a a a a -+--+= ；两式相减除以2，得13579512a a a a a ++++=-.故答案为：512-14.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()6235e ,22e xf f x f x =--'<，则不等式()22ln 2ln f x x x x ≤-的解集为__________.【答案】(30,e ⎤⎦【解析】【分析】令()()22exf xg x x =+，利用导数求得()g x 为增函数，把不等式转化为()ln ln 2ln 1exf x x +≤，得到()()ln 3g x g ≤，列出不等式组，即可求解.【详解】令()()22e xf xg x x =+，则()()()2222e 0exxf x f xg x -+'=>'，所以()g x 是增函数，不等式()22ln 2ln f x x x x ≤-可变形为()2ln ln 2ln 1exf x x +≤，因为()()6336561ef g =+=-+=，所以不等式()2ln ln 2ln 1e x f x x +≤等价于()()ln 3g x g ≤，所以ln3xx≤⎧⎨>⎩，解得30ex<≤，所以不等式()22ln2lnf x x x x≤-的解集为(30,e⎤⎦.故答案为：(30,e⎤⎦.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.【答案】（1）2 7（2）3 7（3）2 3【解析】【分析】（1）法一：结合排列组合数运算利用古典概型概率公式求解即可；法二：利用条件概率公式求解即可.（2）利用全概率概率公式求解即可.（3）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记“选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题”为事件A，“选手甲第2次抽到“函数与导数”试题”为事件B，法一：()114327C C432 A767P AB⨯===⨯.法二：由概率乘法公式可得()()()432 767P AB P A P B A==⨯=.【小问2详解】由全概率公式可得()()()()()43323 76767P B P A P B A P A P B A=+=⨯+⨯=∣∣.【小问3详解】由条件概率公式可得()()()227337P ABP A BP B===.16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，O 是ABC 的重心，1111,60,C CA C CB C CO AA ∠∠∠=== .（1）证明：1C O ⊥平面ABC ；（2）求二面角1A CC B --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1213.【解析】【分析】（1）利用全等思想来证明等腰，然后可得中线就是垂线，从而可证明线面垂直到线线垂直，再证明线面垂直即可；（2）利用空间向量法来求解二面角的余弦值，再求出正弦值即可.【小问1详解】证明：如图，连接CO 并延长交AB 于点D ，连接111,,C A C B C D ，O 是ABC 的重心，D ∴是AB 的中点，又底面ABC 是正三角形，AB CD ∴⊥.在1C CA △与1C CB △中，111,,CA CB C CA C CB C C ∠∠==为公共边，11C CA C CB ∴≅ ，11C A C B ∴=，1AB C D ∴⊥，又1,CD C D D CD ⋂=⊂平面11,C CD C D ⊂平面1C CD ，AB ∴⊥平面1C CD ，又1C O ⊂平面1C CD ，1AB C O ∴⊥.正ABC 的边长为6，CD ∴=，CO ∴=又11160CC AA C CO ==∠= ，在1C CO △中，由余弦定理可得，16C O =，22211||C O CO CC ∴+=，1C O CO ∴⊥.又,AB CO D AB ⋂=⊂平面,ABC CO ⊂平面ABC ，1C O ∴⊥平面ABC .【小问2详解】如图，过D 作Dz ⊥面ABC ，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()13,0,0,3,0,0,,0,A B C C -，故()()1,0,AC CC ==-，()BC =-设平面1ACC 的法向量()1,,n x y z = ，则3060x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，解得1y z ==-，则()13,1n =-.设平面1BCC 的法向量()2,,n x y z = ，则3060xz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，解得1y z ==，则()2n = .设二面角1A CC B --的大小为θ，则12123,19315cos 1313n n n n θ-⋅⋅--====⋅，()0,θπ∈ ,12sin 13θ∴==，即二面角1A CC B --的正弦值为1213.17.中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布()277,N σ，且()77800.3P ξ≤≤=.（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）200人.（2）分布列见解析，0.6【解析】【分析】（1）由变量ξ近似服从正态分布()277,N σ，求得(80)0.2P ξ>=，进而得到问卷成绩在80分以上的市民人数；（2）根据题意，得到随机变变量()3,0.2X B ，结合对立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得数学期望.【小问1详解】解：因为随机变量ξ近似服从正态分布()277,N σ，且()77800.3P ξ≤≤=，所以()(80)0.577800.2P P ξξ>=-≤≤=，所以10000.2200⨯=，所以估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数为200人.【小问2详解】解：由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为0.2，且()3,0.2X B ，所以随机变量X 的分布列为()33C 0.20.8,0,1,2,3kkkP X k k -==⨯=，所以随机变量X 的分布列为：X0123P0.5120.3840.0960.008所以随机变量X 的均值为()30.20.6E X =⨯=.18.已知圆：22430x y x +-+=的圆心为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F ，且椭圆C 的离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 为坐标原点，分别过,A B 作椭圆C 的切线，两切线相交于点M .（i ）求证：,,O M N 三点共线；（ii ）当l 不与x 轴垂直时，求AB FM FN⋅的最小值.【答案】（1）2215x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得2c =，2c =，即可求解椭圆方程；（2）（i ）分l 斜率不存在和存在两种情况讨论，当l 斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，韦达定理求出N 的坐标，利用判别式法求出切线方程，进而求得M 的坐标为()2112122112215,y y x x x y x y x y x y ⎛⎫--⎪--⎝⎭，即可证明三点共线；（ii ）利用距离公式和弦长公式分别求出,,AB FM FN ，即可求解.【小问1详解】由圆：22430x y x +-+=即()2221x y -+=可得：圆心()2,0F ，所以2c =，又离心率5ca=，所以a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为2215x y +=.【小问2详解】（i ）①当l 斜率不存在时，l x ⊥轴，由椭圆的对称性可知，,M N 均在x 轴上，所以,,O M N 三点共线.②当l 斜率存在时，设l 的方程为()()20y k x k =-≠，且()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组()222,1,5y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得：()()222251202050k x k x k +-+-=，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，点N 的坐标为222102,5151k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以ON 所在的直线的方程为15y x k=-，先证：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，当切线斜率存在时，设过点()00,x y 的切线方程为y kx m =+，联立方程22221x y a by kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，由Δ0=可得()()()222222222240kma b a k a ma b -+-=，所以22220a k mb -+=由韦达定理可知2202222kma b x a k -+=，即20x m ka =-，把20x mka =-代入y kx m =+中，得20b m y =，所以220200b x b y kx m a y y =+=-+，化简得00221x x y ya b+=．当切线斜率不存在时，过()00,x y 的切线方程为x a =±，满足上式．综上，椭圆上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.所以椭圆C 在,A B 处的切线方程为12121,155x x x xy y y y +=+=，联立方程组11221,51,5x xy y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得点M 的坐标为()2112122112215,y y x x x y x y x y x y ⎛⎫--⎪--⎝⎭，()()12122112212112211555OMON x x x y x y x x k k y y y y k x y x y ---===-=---，故,,O M N 三点共线.（ii ）由（i）可知，)2122151k AB x k +=-=+，又,,F A B 三点共线，所以21210022y y x x --=--，所以()1221212x y x y y y -=-，即点M化简得51,22k⎛⎫-⎪⎝⎭，所以22FMk==，2251FNk==+，所以22215122151kAB FM kFN kk+⋅+=+122kk⎛⎫=⨯+≥⨯=⎪⎪⎝⎭1kk=，即1k=时，等号成立.所以AB FMFN⋅【点睛】关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭椭圆22221(0)x y a ba b+=>>上一点()00,x y处的切线方程为00221x x y ya b+=，属较难题.19.设()f x'是函数()f x的导函数，若()f x'可导，则称函数()f x'的导函数为()f x的二阶导函数，记为()f x''.若()f x''有变号零点x x=，则称点()()00,x f x为曲线()y f x=的“拐点”.（1）研究发现，任意三次函数()()320ax bx d af x cx=+++≠，曲线()y f x=都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()y f x=的图象的对称中心.已知函数()3224f x x bx x d=+-+的图象的对称中心为()1,3，求函数()f x的解析式，并讨论()f x的单调性；（2）已知函数()132221112e1(0)623mxg x mx x x mm m m-=+-+-->.（i）求曲线()y g x=的“拐点”；（ii）若()()()12122g x g x x x+=-≠，求证：122x xm+<.【答案】（1）()3232429f x x x x=--+，函数()f x在(),2-∞-上单调递增，在()2,4-上单调递减，在()4,+∞上单调递增.（2）（i ）1,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“拐点”的定义，对函数()y f x =求导列式求解3,29b d =-=，利用导数研究函数()f x 的单调性即可求解，（2）（ⅰ）根据“拐点”的定义，对函数()g x 求导，利用二阶导函数的异号零点得出结果；（ⅱ）由（i ）可得函数()g x 在R 上单调递增，将要证的不等式转化为()1122g x g x m ⎛⎫+->-⎪⎝⎭，构造函数()()2h x g x g x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性，再根据函数()h x 的单调性得到关于12,x x 的不等式，即可证明.【小问1详解】()3224f x x bx x d =+-+ ，()23224f x x bx ∴=+-'，()62f x x b ∴=+''，又函数()3224f x x bx x d =+-+的图象的对称中心为()1,3，即拐点为()1,3，()()11243,1620,f b d f b ''⎧=+-+=⎪∴⎨=+=⎪⎩解得3,29b d =-=，()3232429f x x x x ∴=--+，()()()23624342f x x x x x ∴=--=-+'，函数()f x '在(),2∞--上为正，在()2,4-上为负，在()4,∞+上为正，∴函数()f x 在(),2∞--上单调递增，在()2,4-上单调递减，在()4,∞+上单调递增.【小问2详解】（i ）()132221112e 1623mx g x mx x x m m m -=+-+-- ，()12111e 222mx g x mx x m m-∴=+-+'，()1e2mx g x mx -''∴=+-.显然，()1e2mx g x mx -=+'-'在R 上单调递增，且011e 20g m m m ⎛⎫=+⨯-= '⎪⎝⎭'，1x m∴=是()g x ''的变号零点，又0232211111112e 11623g m m mm m m m m ⎛⎫=+⨯-+⨯--=- ⎪⎝⎭，∴曲线()y g x =的拐点是1,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（ii ）由（i ）可得，当1,x m ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '''<单调递减；当1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '''>单调递增；()02111111e 2022g x g m m m m m m ⎛⎫∴≥=+⨯-⨯+⎪'= ⎝⎭'，∴函数()g x 在R 上单调递增，不妨设121x x m <<.要证122x x m +<，即证212x x m <-，即证()212g x g x m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()()122g x g x +=-，即证()1122g x g x m ⎛⎫--<-⎪⎝⎭，即证()1122g x g x m ⎛⎫+->- ⎪⎝⎭.令()()2h x g x g x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()2h x g x g x m '⎛⎫=-- ⎪⎝'⎭'，()()()21122e 2e 2m x mx m h x g x g x mx m x m m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-++--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣''''⎦''11111e e 2e 20e mx mx mx mx ----=+-=+-≥，∴函数()()2h x g x g x m '⎛⎫=-- ⎪⎝'⎭'在R 上单调递增，又11210h g g m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭''，∴函数()()2h x g x g x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在1,m ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.()()111211212h x g x g x h g g m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+->=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得证，即122x x m +<成立.【点睛】方法点睛：处理此类双变量问题有两个策略：一是转化，即从已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解.。

市第四十三中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题总分：150分 答题时间：90分钟一、选择题（共8小题；共40分） 1. 已知全集 ，集合，那么集合A. B.C. D.2. 已知复数113iz i-=+ ，则复数 的虚部是A. B. C. D.3. 若，，则 等于A. B. C. D.4. 已知等比数列 满足 ，，则 等于A. B.C.D.5. 在等差数列 中，若 ，则A. B. C. D.6. 等差数列的首项为 ，公差不为 ，若 ，， 成等比数列，则前项的和为A. B.C.D.7. 直线 被圆截得的弦长为 ，则A. B.C. D.8. 如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则A. 在点的运动过程中，存在B. 在点的运动过程中，不存在C. 四面体的体积为定值D. 四面体的体积不为定值二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为．10. 在展开式中，常数项为．（用数值表示）11. 投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为．12. 已知双曲线：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线的离心率为，那么双曲线的方程为．13. 已知数列的前项和，则．14. 已知数列中，，，则．三、解答题（共6小题；共80分）15. 设是等差数列，，且，，成等比数列．（1）. 求的通项公式．（2）. 记的前项和为，求的最小值．（3）. 记{ |a n| }的前项和为T n，求T n的表达式。

16. 已知等差数列满足，．（1）求的通项公式．（2）设等比数列满足，；问：与数列的第几项相等．17. 已知，是椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆的左顶点作斜率为的直线，与椭圆的另一个交点为，求的面积．18. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的个小球，其中个黑球，个白球．如果不放回的依次取出个球．回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．19. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为、、、、的个红球与编号分别为、、、的个白球，从中任意取出个球．（1）求取出的个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（2）求取出的个球中恰有个球编号相同的概率；（3）记为取出的个球中编号的最大值，求的分布列与数学期望．20. 如图，在三棱柱中，，，，，分别为，，，的中点，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：直线与平面相交．答案第一部分1. D2. C【解析】，所以的虚部为．3. B【解析】由条件概率公式得．4. D【解析】因为为等比数列，所以，即，所以．故选D．5. B【解析】由题可知：，又，所以．6. B【解析】在等差数列中，记公差为，因为，且，，成等比数列，所以有，即，解得或（舍），所以，所以．7. A8. C【解析】A选项：易知直线与平面相交，点在线段上运动，且在平面内，所以，所以与直线不可能平行，故A错误；B选项：如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，，，，设，则，所以，则，又，且，所以，即，解得，故在上存在点，当是靠近的三等分点时，，故B错误；C选项：因为，且点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以四面体的体积为定值，故C正确；D选项：因为，，所以，点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以四面体的体积为定值，故D错误．第二部分9.【解析】设，则由，得，即解得10.11.【解析】该同学通过测试的概率．12.13.【解析】因为，，所以．14.【解析】因为，所以，所以，故是以为首项，为公差的的等差数列，所以，所以，填．第三部分15 (1) 因为是等差数列，，且，，成等比数列，所以，所以，解得，所以当． (2) 由，，得：所以或时，取最小值． (3)略16. （1）设公差为，首项为，则解得所以，．（2）设等比数列的公比为，首项为，由（）知，，，则解得所以，，时，，得，所以与的第项相等．17. （1）因为椭圆方程为，所以焦点坐标分别为，，离心率．（2）椭圆的左顶点为，直线的方程为，由消去，整理可得：，解这个方程得，，所以点坐标为，所以．18. （1）依题意，设事件表示“第一次取出的是黑球”，设事件表示“第二次取出的是白球”．黑球有个，球的总数为个，所以．（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为．（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为．19. （1）设"取出的个球颜色相同且编号是三个连续整数"为事件，则因此，取出的个球的编号恰好是个连续的整数，且颜色相同的概率为．（2）设"取出的个球中恰有两个球编号相同"为事件，则因此，取出的个球中恰有两个球编号相同的概率为．（3）的取值为，，，，则从而的分布列为因此，的数学期望为20. （1）由题意可知：因为，，分别为，的中点．所以，所以，因为，所以，又因为，为中点．所以，，所以．（2）由题意可知，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立直角坐标系．，，，，，，，．易知，所以设面的法向量为，设面的法向量为，，，令，．记二面角的平面角为，可知为钝角．，所以．（3），，，由（）可知面的法向量为，所以记与面所成的角为，则，所以与面相交．。

【详解】
由 得： ，即：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，涉及到对数的运算性质、诱导公式、特殊角三角函数的求解问题.
11．A
【分析】
根据奇偶性和对称性可求得 的对称轴为 ，从而可得 的单调性；求得 在 时的最大值 ，根据函数单调性可得关于自变量的不等式，解不等式求得结果.
【详解】
为偶函数 的对称轴为 轴
贵州省凯里市第一中学【最新】度高一第二学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ，集合 ，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则 ( )
A．32B． C．16D．
3．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（）
7．C
【分析】
利用向量垂直关系可知两向量数量积为零，从而构造出关于两向量夹角余弦值的方程，解出余弦值即可求得夹角.
【详解】
由 得：
解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用向量的垂直关系将问题转变为向量模长和夹角的关系式.
8．A
【详解】
故选：A
【点评】
本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
【详解】
由题意，在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，
又由 ，且 ，
所以 或 ，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

【全国百强校】贵州省南白中学（遵义县一中）2020-2021学年高二下学期第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}{}2|340,|2,1x A x x x B y y x =--<==>，则A B =( ) A ．()1,4- B ．()1,2- C ．()2,4 D ．()1,3-2．若复数z =a+3i 1+2i （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a = ( )A ．-6B ．−2C ．4D ．63．若执行如图的程序框图，则输出i 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．44．在等比数列{}n a 中，若266103,12a a a a +=+=，，则812a a += ( )A ．B ．24C ．D ．485．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( )A ．01ab << B ．a bc c >C ．0ac bc -<D ．ln 0ab >6．若:p “直线+b y x =与圆221x y +=相交”，:q “01b <<”；则p 是q ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知向量1AB =，2BC =，若·0AB BC =，·0AD DC =，则BD 的最大值为( ) AB ．2 CD．8．若02＜＜πα，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=，则cos()2βα+=（ ）AB．-C．9 D．9- 9．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，若该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A．6 BCD10．已知实数,x y 满足3268x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩ 则13y x --的取值范围为( ) A ．15,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．11,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．40,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．24,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 11．已知双曲线()222211,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若点()1,0-与点()1,0到直线1x y a b -=的距离之和为S ，且45S c ≥，则离心率e 的取值范围是( ) A． B． C．2⎣ D．⎣ 12．若正实数,x y 满足2280x y xy ++-=，则2x y +的最小值为( )A ．4B ．92C ．5D ．112二、填空题13．已知二次函数()241f x x x =-+的顶点为(),a b ，则函数()()2log 2a g x x x b =-+的单调递减区间为_______.14．现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有_____种．（用数字作答）15．二项式62x ⎛- ⎝的展开式中2x 的系数为_________.（用数字作答） 16．已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交其于,A B 两点，O 为坐标原点．若3AF =，则AOB ∆的面积为_________.三、解答题17．已知在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，A 为锐角，且满足3b 5asinB =.（1）求2B C sin2A cos 2++的值； （2）若a =ΔABC 的面积为32，求b,c . 18．已知递增等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且35141342,,,a S a a a +=成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：16n T <． 19．为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如右下表所示（x （吨）为买进蔬菜的质量，y （天）为销售天数）：（Ⅰ） 根据右表提供的数据在网格中绘制散点图，并判断y 与x 是否线性相关，若线性相关，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进蔬菜25吨，则预计需要销售多少天.参考公式：()()()1122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =- 20．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如在的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35. （Ⅰ）请将右面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由；（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:（参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++） 21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥面ABCD ，2,PA AB E F ==、分别为CD PB 、的中点，AE =（Ⅰ）求证：面AEF ⊥面PAB ．（Ⅱ）求面PAB 与面PCD 所成的锐二面角的余弦值．22．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值．参考答案1．C【解析】【分析】根据集合的基本运算进行计算即可．【详解】A ＝{x |x 2﹣3x -4<0}＝{x |-1<x <4}，B ＝{}2,1x y y x =＝{y |y ＞2}，则A ∩B ＝{x |2＜x <4}，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考察运算能力，比较基础．2．A【解析】∵a+3i 1+2i =(a+6)+(3−2a)i 5∴a +6=0,3−2a ≠0⇒a =−6.选A.3．D【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：第一次执行循环体后，a ＝2，不满足退出循环的条件，故i ＝2；第二次执行循环体后，a ＝5，不满足退出循环的条件，故i ＝3；第一次执行循环体后，a ＝16，不满足退出循环的条件，故i ＝4；第一次执行循环体后，a ＝65，满足退出循环的条件，故输出的i 值为4，故选D ．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论． 4．B【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，利用等比数列的通项公式得出q 2＝2，再求值即可．【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，且q ≠0，∵263a a +=，61012a a +=∴q 4＝4，∴q 2＝2，∴812a a +＝q 6（26a a +）＝24故选B ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的灵活应用，以及整体代换思想，属于基础题．5．D【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：由于a ＞b ＞0，1a b>，A 错； 当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错；a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．ln ln10a b>= ，D 对； 故选D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．B【分析】直线y ＝x +b 与圆x 2+y 2＝1相交1，解得b ．即可判断出结论．【详解】直线y ＝x +b 与圆x 2+y 2＝1相交1，解得b∴“直线y ＝x +b 与圆x 2+y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题考查了充分必要条件，直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．C【分析】由题意可知四边形ABCD 为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC 的长即可．【详解】由题意可知：AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，故四边形ABCD 为圆内接四边形，且圆的直径为AC ，由勾股定理可得AC =因为BD 为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故BD 的最大值为：故选C ．【点睛】本题考查向量模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题 8．C【分析】 由于cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-，所以先由已知条件求出sin()4πα+，sin()42πβ-的值，从而可求出答案【详解】cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-， 因为02＜＜πα，02πβ-＜＜， 所以3(,)444πππα+∈，(,)4242πβππ-∈，因为1cos()43πα+=，cos()42πβ-=，所以sin()4πα+sin()42πβ-，则1cos()23βα+=+=． 故选：C【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9．B【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为1的等腰三角形，棱锥的高为1，进而得到答案．【详解】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V ＝13×（12×1）×1 ， 故答案为B.【点睛】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．D【解析】【分析】首先作出不等式组对应的平面区域，利用z13yx-=-的几何意义，即动点P（x，y）与定点A（3，1）连线斜率的取值范围．【详解】作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示：z13yx-=-表示动点P（x，y）与定点A（3，1）连线的斜率．当连线经过B时斜率最大，此时38x yx-=⎧⎨=⎩,解B(8,5)则z45=当连线经过C时斜率最小，此时268x yx+=⎧⎨=⎩,解C(8,-1)，则z25=-故13yx--的取值范围为24,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，要利用数形结合的数学思想． 11．D 【解析】 【分析】直线l 的方程是1x ya b-=．点（1，0）到直线l 的距离 1d ，点（﹣1，0）到直线l 的距离2d ，S ＝1d +2d 以及由 S 45c ≥，求出e 的取值范围．【详解】 直线l 的方程为是1x ya b-=，即bx -ay ﹣ab ＝0． 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离1d =，同理得到点（﹣1，0）到直线l 的距离．2d =S＝1d +22abd c==． 由S 45c ≥，即245ab c c ≥得a ≥2c 2． 于是得4e 4﹣25e 2+25≤0． 解不等式，得 2554e ≤≤． 由于e ＞1，所以e 的取值范围是 e∈2⎣． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质,点到直线距离公式，以及综合运算能力,是中档题 12．A 【分析】正实数x ，y 满足x +2y +2xy ﹣8＝0，利用基本不等式的性质可得x +2y +（22x y +）2﹣8≥0，设x +2y ＝t ＞0，即可求出x +2y 的最小值． 【详解】∵正实数x ，y 满足x +2y +2xy ﹣8＝0，∴x +2y +（22x y +）2﹣8≥0，当且仅当x=2y 取等 设x +2y ＝t ＞0， ∴t 14+t 2﹣8≥0， ∴t 2+4t ﹣32≥0， 即（t +8）（t ﹣4）≥0， ∴t ≥4，故x +2y 的最小值为4， 故选A ． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，不等式的解法,考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．(),1-∞- 【解析】 【分析】由题求出a,b ，再利用复合函数单调性求得()g x 的单调减区间 【详解】由题()2(23f x x =--）,故顶点坐标为（2，-3），即a=2,b =-3()()22log 23g x x x =--, 设u ＝223x x --，∵223x x --＞0，即x ＞3或x ＜﹣1 ∴定义域为（﹣∞，﹣1）（3，+∞）∵u ＝223x x --，在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增∴根据复合函数的单调性质的规律得出：()()22log 23g x x x =--的单调减区间是（﹣∞，﹣1）故答案为(),1-∞- 【点睛】本题考查复合函数的单调性，二次函数性质，熟记函数性质是关键，是基础题，注意求()g x 的定义域14．12 【解析】 【分析】从2位医生中选一人、从4位护士中选2人，分到第一所学校，有1244C C ＝12种方法，剩下的人只能分到第二所学校，只有一种方法，再根据分步计数原理得到答案． 【详解】从2位医生中选一人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有1244C C ＝12种方法， 剩下的一位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有一种方法， 再根据分步计数原理得不同的分配方法共有 1244C C ×1＝12 种． 故答案为：12种． 【点睛】本题考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题． 15．－160 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得x 2的系数． 【详解】在62x ⎛ ⎝的展开式中，通项公式为 T r +16r C =•()()63621r r r r x x C ---=•()()4663(21)rr rx ---，令463r-＝2，解r=3, 故x 2的系数是36C •()()63321160--=-故答案为-160． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，指定项系数，属于基础题．16 【解析】 【分析】设直线AB 的倾斜角为θ，利用|AF |＝3，可得点A 到准线l ：x ＝﹣1的距离为3，从而cosθ13=，进而可求|BF |，|AB |，由此可求AOB 的面积． 【详解】设直线AB 的倾斜角为θ（0＜θ＜π）， ∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝﹣1的距离为3，∴2+3cosθ＝3，即cosθ13=，则sinθ3=． ∵BF ＝2+ BF cos （π﹣θ） ∴BF 2312cos θ==+∴△AOB 的面积为S 1131322232OF AB sin θ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭．故答案为：2． 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．17．（Ⅰ）5350（Ⅱ） b c ==【分析】（Ⅰ）根据正弦定理将条件进行化简，得到sin A 35=，然后利用倍角公式即可得到三角函数的值．（Ⅱ）根据三角形的面积公式，以及余弦定理，建立方程组解方程组即可得到结论． 【详解】（Ⅰ）∵35sin b a B =， ∴3sin 5sin sin B A B = 由()0,sin 0,B B π∈⇒≠∴3sin ,5A = ∵A 为锐角， ∴4cos .5A =()21cos 1cos sin2cos =2sin cos 2sin cos 222B C B C AA A A A A +++-++=+341532?·551050=+=（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 34sin ,cos 55A A == ∵ABC ∆的面积为32，∴ABC S ∆= 13sin 22bc A =⇒ 5bc = （1）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-()()22224182222055b c bc b c bc b c =+-⋅⇒+-=⇒+=∴b c +=（2）由（1）、（2）解得b c ==【点睛】本题主要考查三角函数的化简与求值，利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式，建立方程组是解决本题的关键． 18．（Ⅰ） ()*21n a n n N =+∈ （Ⅱ）见证明【解析】 【分析】（Ⅰ）由等差数列{a n }的前n 和为S n ，35141342,,,a S a a a +=成等比数列．可得()1121115425422(3)12a d a d a d a a d ⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩，解出即可得出．（II ）由（I ）可得：11122123n b n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，裂项求和可得n T ，即可证明． 【详解】（Ⅰ）设递增等差{}n a 的首项1a ，公差0d > ∵3542a S +=，1413,,a a a 成等比数列． 又∵0d >，∴解得13,2a d == ∴()()*1121n a a n d n n N =+-=+∈（Ⅱ）解：∵11n n n b a a +=， ∴()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭∵123n n T b b b b =++++∴11111111112355721232323n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴1111112323236n T n ⎛⎫=-<⋅= ⎪+⎝⎭ ， ∴16n T <【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．(1)见解析(2) 17天 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据所给数据画出散点图即可；求出中心点的坐标，求出化归方程中的系数，代入方程即可；（Ⅱ）将x 的值代入方程求出对应的y 的值即可． 【详解】（Ⅰ） 由表提供的数据在网格中绘制散点图如下：根据散点图判断y 与x 是线性相关的 由题意得：()12345679126,8x =+++++++= ()11233456848y =+++++++= 821491625364981144364ii x==+++++++=∑8126121524355496244i ii x y==+++++++=∑8182221824486413,36486198i i i i i x y xy b x x ∧==--⨯⨯===-⨯-∑∑∵a y b x ∧∧=-，∴132461919a ∧=-⨯=- ∴y 关于x 的线性回归方程为1321919y x ∧=- （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当25x =时，13225171919y =⨯-= 当该蔬菜商店准备一次性买进蔬菜25吨，则预计需要销售17天 【点睛】本题考查了散点图及考查求回归方程问题，利用公式准确计算是关键，是一道中档题． 20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【分析】（Ⅰ）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为35，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；（Ⅱ）利用公式求得K 2，与临界值比较，即可得到结论；（Ⅲ）根据题意写出ξ可能取值，并求其概率即可求解 【详解】（Ⅰ）列联表补充如下（Ⅱ）∵()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++∴()2250201551025253020K ⨯-⨯=⨯⨯⨯()225010025231258.3337.879252530203K ⨯⨯⨯⨯-==≈>⨯⨯⨯ ∵()27.8790.005P K ≥=∴有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关 （Ⅲ）根据题意，ξ的值可能为0，1，2，3()37310350120C P C ξ===， ()1237310631120C C P C ξ===， ()2137310212120C C P C ξ===， ()3331013120C P C ξ===ξ分布列如下:则721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查独立性检验知识以及古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7【详解】 【分析】试题解析：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形， ∴2AD CD AB ===．在ADE ∆中，AE =1DE =，∴222AD DE AE =+．∴90AED ∠=︒，即AE CD ⊥． 又//AB CD ， ∴AE AB ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AE ．又∵PA AB A =，∴AE ⊥平面PAB ， 又∵AE ⊂平面AEF ， 平面AEF ⊥平面PAB ．（Ⅱ）解法一：由（1）知AE ⊥平面PAB ，而AE ⊂平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面PAB∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由（Ⅰ）知AE CD ⊥，又PAAE A =∴CD ⊥平面PAE ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PAE ．∴平面PAE 是平面PAB 与平面PCD 的公垂面．所以，APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角．在Rt PAE ∆中，222347PE AE PA =+=+=，即PE =．又2PA =，∴cos7APE ∠==．所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为7．理（Ⅱ）解法二：以A 为原点AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．因为2PA AB ==，AE =AE =E 、则2)PE =-，(1,0,0)CE =-，(0,AE =．由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAB ，故平面PAB的一个法向量为()10,n AE ==．设平面PCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则22·0{·0n PE n CE ==，即200z x -=-=，令z =则(2n =．∴121212·cos ,73·n n n n n n === 所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为7． 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的的计算． 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题解法较多二应用向量则简化了证明过程．22．（Ⅰ）2219x y +=；（Ⅱ）38. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以，又椭圆的离心率为3，即3c a =，所以3c a =， 所以3a =，c =所以，椭圆M 的方程为.（Ⅱ）不妨设直线AB 的方程x ky m =+. 由22,{1,9x ky m x y =++=消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， 设，， 则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+. ① 因为以AB 为直径的圆过点C ，所以0CA CB ⋅=.由1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得1212(3)(3)0x x y y --+=.将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得. 将 ① 代入上式，解得125m =或3m =（舍）. 所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点）， 所以1212ABC S DC y y ∆=-12== 设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=. 所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值.。