第三章 多维随机变量及其分布-1

第三章 多维随机变量及其分布（作业1）一、填空题1. 设(X , Y )的分布函数为F (x , y ), 试用F (x , y )表示： （1）=<≤≤},{c Y b X a P ),(),(c a F c b F -；（2）=<<}0{b Y P )0,(),(+∞-+∞F b F 。

2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,010,6),(y x x y x f , 则=≤+}1{Y X P ( 0.25 )3. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()(y x ce y x f y x ,则c的值为( 1 ) 二、解答题1．设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为)3arctan )(2arctan (),(y C xB A y x F ++=(1) 求常数A ,B ,C ；(2) 求(X ,Y )的概率密度函数f (x ,y )；(3) 求(X ,Y )关于X 和Y 的边缘分布函数； (4) 求P {X ≤ 2,Y ≤ 0} , P {0≤ X ≤2,0≤ Y ≤3}。

解: (1) 由 )2)(2(),(1ππ++=+∞+∞=C B A F ---① 知A ≠0 )2)(2arctan (),(0π-+=-∞=C x B A x F 得2π=C ---②)2a r c t a n )(2(),(0yC B A y F +-=-∞=π得2π=B ---③ 将②,③代入①式,则A π 2=1 , 得21π=A(2) )9)(4(6313121211),(),(2222222y x y x yx y x F y x f ++=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=∂∂∂=ππ(3) )2arctan 2(1)22)(2arctan 2(1),()(2xx x F x F X +=++=+∞=ππππππ )2arctan 2(1),()(yy F y F Y +=+∞=ππ(4) 83)02)(42(1)0,2(}0,2{2=++==≤≤ππππF Y X P)0,0()3,0()0,2()3,2(}30,20{F F F F Y X P +--=≤≤≤≤161418383169=+--=2.已知10件产品中有5件一等品,2件次品.从中任取3件,记其中的一等品数为X ,次品数为Y .求:(1) (X ,Y )的分布律. (2) X 和Y 的边缘分布律.解: X \Y 0 1 2 p i .0 1/120 1/20 1/40 1/121 1/8 1/4 1/24 5/12 2 1/4 1/6 0 5/123 1/12 0 0 1/12p.j 7/15 7/15 1/153.设随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,021,10,)4(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ； (2) 求F (x , y ).； (3) 求}2{≤+Y X P .解: (1) 由 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f , 得 ⎰⎰=--10211)4(dy y x k dx ， 解得: 21=k(2) ⎰⎰∞-∞-=x yd u d v v u fy x F ),(),(011012112010,011(4),01,1221(4),1,1221(4),01,221(4),1,22x yyx x y du u v dvx y du u v dv x y du u v dvx y du u v dv x y ⎧<<⎪⎪--≤<≤<⎪⎪⎪=--≥≤<⎨⎪⎪--≤<≥⎪⎪--≥≥⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或22220,0111(4)(1)(1),01,12224317,1,1244251,01,2441,1,2x y x x y x y x y y y x y x x x y x y <<⎧⎪⎪----≤<≤<⎪⎪=-+-≥≤<⎨⎪⎪-+≤<≥⎪⎪≥≥⎩或(3)dy y x dx dxdy y x f Y X P y x x)4(21),(}2{2121--==≤+⎰⎰⎰⎰≤+-127)56(2121=+-=⎰dx x x4.且1}0{==XY P . 求X 与Y 的联合分布律.解: 由 1}0{==XY P , 得 0}0{=≠XY P即 0}1,1{}1,1{}0{===+=-==≠Y X P Y X P XY P 所以,设 Y \X -1 0 10 p 11 p 12 p 13 1 0 p 22 0 得 4111=p , 4113=p ,012=p , 2122=p .所以X 和Y 的联合分布律为Y\X -1 0 10 1/4 0 1/41 0 1/2 05. 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次中出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数.求X 与Y 的联合分布律及边缘分布律.解: Y \X 0 1 2 p i .0 1/8 0 0 1/81 1/8 2/8 0 3/82 0 2/8 1/8 3/83 0 0 1/8 1/8 p.j 1/4 1/2 1/4第三章 多维随机变量及其分布（作业2）1.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,10,1,),(2x y xCxyy x f(1)确定常数C .(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y . (3)求条件概率密度)|(y x f YX 及)|(x y f XY.解: (1) 由 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f , 得⎰⎰=1121xCxydy dx , 即16=C , 则6=C .(2) ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=⎰1,10,60,012x x xydyx x ⎩⎨⎧<<-=其它,10,)1(34x x x⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=⎰1,010,60,00y y xydx y y⎩⎨⎧<<=其它,10,32y y(3) 当10<<y 时,0)(≠y f Y .所以在y Y =(10<<y )下的条件概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,36)(),()(2yx yxy y f y x f y x f Y X当10<<x 时,0)(≠x f X .所以在)10(<<=x x X 下的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其它,1,)1(36)(),()(24y x x x xy x f y x f x y fX XY2. 设(X ,Y )的概率密度为 ⎩⎨⎧<<<=其它,10,,),(x x y Cx y x f求: (1)常数C . (2)边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y . (3)条件概率密度)|(|y x f Y X 及)|(|x y f X Y . (4)}0|21{>>Y X P .解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f , 得 ⎰⎰-=11xxCxdy dx , 即132=C , 则 23=C(2) ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其它,010,23x x x xdy ⎩⎨⎧<<=其它,10,32x x⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=⎰⎰-其它,010,2301,2311y y y xdx y xdx ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它,011,)1(432y y(3)当11<<-y 时，()()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-==其它,10,1,12),(2x x y yxy f y x f y x f Y YX当10<<x 时，()⎪⎩⎪⎨⎧<==其它,0,21),()(x y x x f y x f x y fX XY(4) }0{}0,21{}0|21{>>>=>>Y P Y X P Y XP ⎰⎰⎰⎰=10012102323xxxdydx xdydx 8721)811(21=-=3．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2/y y ey f y Y(1)求X 和Y 的联合分布密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率。

前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)

１
PX m 1 2
则下列式子正确的是（
1 2
）．
A ． X Y;
m PY m
－１ １
1
1
2
2
B ． P{ X Y} 0;
C ． P{ X Y} 1 2;
D ． P{ X Y} 1.
【解题分析】 乍看似乎答案是 A, 理由是 X 和 Y 同分布 , 但这是错误的 , 因为 , 若 X Y , 说明 X 取什么值时 , Y 也一定取相同的值 , 而这是不可能的 , 所以只能从剩下的三个答案中
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题
1. （ 1994 年数学一）设相互独立的两个随机变量
X ,Y 具有同一分布律，且 X 的分布
律为
X
０
１
11P2源自2则随机变量 Z max{ X , Y} 的分布律为
.
【解题分析】 首先要根据 Z 的定义确定 Z 的取值范围 , 然后求 Z 取值的概率即可 . 解 : 由于 X ,Y 仅取 0、1 两个数值，故 Z 也仅取 0 和 1 两个数值，因 X ,Y 相互独立，
1 1 FX z 1 FY z
3 / 11
出发求解即可 .
解 : 由题设 X e( )
e x , x 0,
0,
x 0.
令 1 X , 2 2,则
0,
x 0,
0, x 2,
F ( x) 1
1 e x,
x
F (x) 0, 2
1, x 2.
于是 Y min{ X ,2} min{ 1, 2} 的分布函数为
Z max{ X ,Y} 的分布函数为 Fz (z) F1( x) F2 ( y) ，可知 F1( x) F2( x) 必为某一随机变量的

10
或更加直观的, (X,Y)的联合分布列也可用二向表来表示
X Y y1
y2
…
yn
x1
p11
p12
…
p1n
x2
p21
p22
…
p2n
…
…
…
…
…
xn
pn1
pn2
…
pnn
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11
分布律pij的两条基本性质: (1)非 负 性. Pij 0
(2)正 则 性.
Pij 1
i1 j1
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12
例一. 连续抛一枚硬币三次, 定义X是获得的正面 的次数, Y是三次中正面向上的次数与反面向 上的次数差的绝对值. 试求(X,Y)的分布律.
(X,Y)取值就相当于在平面内取值, 所以F(x,y)就是随机向量 (X,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方无穷矩形区域内的概率, 见下面阴影部分.
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7
分布函数F(x,y)具有下列基本性质:
(1) F ( x, y)分别为x, y的不减函数, 即 对 于确 定 的y, 当x2 x1时 有 F ( x2 , y) F ( x1, y); 对 于确 定 的x, 当y2 y1时 有 F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
(4) 矩形公式:随机向量( X ,Y )落在矩形区域{x1 X x2 , y1 Y y2 } 内的概率为
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F( x2 , y2 ) F( x1, y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y1 )
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9
• 二维随机向量的分类: 离散型和连续型
定义 若二维随机向量(X,Y)的可能取值(x,y)是有限个或可