第3章多维随机变量及其分布习题及答案
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第三章 多维随机变量及其分布
一、填空题
1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-.
2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=-∞),(y F 0 .
3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=+),0(y x F ),(y x F
4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=+∞),(x F )(x F X
5、设随机变量),(Y X 的概率密度为
⎩
⎨
⎧<<<<--=其它
04
2,20)
6(),(y x y x k y x f ,则=k
8
1
. /
6、随机变量),(Y X 的分布如下,写出其边缘分布.
>
7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度,)(x f X 是X 的边缘分布密度,则=⎰
∞+∞
-)(x f X
1 .
8、二维正态随机变量),(Y X ,X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 .
,
9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为
X
1
2
3
《
1
61 91 181 2
3
1
α β 则βα,应满足的条件是 18
=
+βα ;若X 与Y 相互独立,则=α 184 ,=β 182 .
10、设Y X ,相互独立,)1.0(~),1,0(~N Y N X ,则),(Y X 的联合概率密度
{
=),(y x f 2
2
221y x e +-
π
,Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z
4
22
2x e
-
π .
12、 设 ( ) 的 联 合 分 布 函 数 为
()()()()
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2
22则 A =__1___。 二、证明和计算题
1、袋中有三个球,分别标着数字1,2,2,从袋中任取一球,不放回,再取一球,设第一次取的球 上标的数字为X ,第二次取的球上标的数字Y ,求),(Y X 的联合分布律.
解:031
}1,1{⋅=
==Y X P 31
131}2,1{=⋅===Y X P
31
2132}1,2{=⋅===Y X P
3
1
2132}2,2{=⋅===Y X P
《
2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中,设X 为投入1号信箱的信数,Y 为投入2 号信箱的信数,求),(Y X 的联合分布律.
X Y 1 2
,
1
31 2
3
1 3
1
解:X 的可能取值为0,1,2,3
Y 的可能取值为0,1,2,3
33
1
}0,0{===Y X P
33
3
}1,0{===Y X P 3323333}2,0{====C Y X P
33
1
}3,0{=
==Y X P 333}0,1{=
==Y X P 33
23}1,1{⨯===Y X P 33
1
3}2,1{⨯===Y X P 0}3,1{===Y X P 32
33}0,2{C Y X P ===
333
}1,2{===Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 33
1
}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P
X ( Y
0 1 2 3 0
271 273 273 271 ~ 1
273 276 273
0 2 273 273
0 0
* 3
27
1
0 0 0 3、设 函 数 F(x , y) = ⎩⎨
⎧≤+>+1
20
121y x y x ;问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的
联 合 分 布 函 数 并 说 明 理 由 。
解: F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数
因 P{0 < 2, 0 < 1}= F(2 , 1)
- F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)
= 1- 1- 1 + 0 =
-
1 < 0 。
故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。
4、设⎰+∞=≥0
1)(,0)(dx x g x g 且,有⎪
⎩⎪⎨⎧+∞<≤++=其它,
0,0,][)
(2),(2
222y x y x y x g y x f π 证明:),(y x f 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。
证明:易验证)
,(y x f 0≥,又=
⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x f ),(dxdy y
x y x g ⎰⎰
∞+∞
+++0
2
222)
(2π