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概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。
解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >， 解得，29a =。
注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。
解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-； （2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞； （3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。
3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。
解：由(,)X Y 的分布律，得 （1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=； （2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。
第3章多维随机变量及其分布试题答案、选择（每小题 2分）1、设二维随机变量的分布律为则 P{ X Y = 0} = ( C ) (A) 0.2(B)0.5(C) 0.6(D) 0.7”c, —1 c x c 1,-1 < y c 12、设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为f(x, y)=」，则常数0, otherC =( A )1 1 (A)-(B) -(C) 2 (D)4423、设二维随机变量（X ,Y ）的分布律为设P jj = P{X =i,^ j}, i, j =0,1，则下列各式中错误的是（ D ） （A ） P 00 ：： P 01（B ） P 10 ：：：P 11 （C ） P 00 ：：P 11 （D ） P 10 ：：：P 014、设二维随机变量的分布律为则 P{X 二Y}=(A ) (A)0.3(B) 0.5(C) 0.7(D)0.8• V -Ae*e y , x > 0, y a 0 门宀*..5、设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f(x,y)，则常数A = ,0, other(D )(B) 16、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为则 P{XY =0} = (C )7、设二维随机变量）的分布律为为其联合分布函数，则 = （D ）3 310、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F （x, y ），则F （x, •：：）=（ B ） (D)2(A) (B)12(C) (D)11 (B) 12(C)1(D)4-X T e e f (x, y)= \ 0,X 0, y 0，则 P{ X 一 Y}= other（B ）1123(A)—(B)-(C)-(D)—4 23 4它们取-1，1两个值的概率分别 1 31，-，则 P{ XY —1}=4 4(A)1 16(B)花(C)(D)(A) 0(B) F X (x) (C) F Y (y) (D) 1 8、设二维随机变量（X ，丫）的概率密度为 9、设随机变量X 与Y 独立同分布,11、设随机变量 X 和Y 相互独立，且 X ~ N(3,4) , Y 〜N(2,9)，则Z = 3X Y ~ ( D ) (A)N(7,21)(B)N(7,27)(C)N(7,45)(D)N(11,45)12、设二维随机变量的联合分布函数为 ，其联合概率分布为则 F(0,1)=( B )则 k =( B )贝U P{XY =2} =( C )0^y 乞1时，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f Y (y)= ( D )(A)0.2(B)0.5(C) 0.713、设二维随机变量(X ,Y)的联合概率分布为(D) 0.8k(x y), 0 _ x _ 2,0 _ y _ 1 other(A)(B) (C) (D)(A)0.2(B) 0.3(C) 0.515、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(D) 0.6f (x, y)= ；4xy,b,0乞x 乞1,0乞y乞1 other，则当(A)2； (B)2x(C)1 2y(D) 2y(B) 2「=1(C) > - 1J = 2 (D) .9 93 3 3 3-7、设二维随机变量的分布律为18、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为20、设（X ，Y ）的概率分布如下表所示，当 X 与Y 相互独立时，p,q ）=（ C ）则有（B ） (A)(A)1 12(B)1 (C)3(D)(A) a = 0.2, b = 0.6 (B) a = 0.1, b = 0.9 (C)a = 0.4,b = 0.4(D) a = 0.6, b = 0.219、设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为1f (x, y) = < 40,0 ：： x 2,0 ：y ：： 2 则 P{0：： X ::: 1,0 :： Y ::: 1} =( A )1(A)4(B)23(C)4(D) 1P{X 1X 2 =0} =1，贝y P{X 1 =X 2}= (A )24、设两个相互独立随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N （0,1）和N （1,1），则（B ） 1 1 (A)P{ X Y - 0}(B) P{ X Y -1} 22 1 1 (C) P{X -Y _0}(D) P{X - Y _1}=221 解：由Z = X Y ~ N(1,2)，其分布密度关于1对称，故P{X Y -1}=-。
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为___ ____ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B =（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为__ 31ln 444- .7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8．随机变量(,)(0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 .9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ，()D X Y -= 37 .10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+====0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt ey x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）．A ．X 与Y 不相关B ．(,)()()X Y F x y F x F y =⋅C ．X 与Y 相互独立D ．1XY ρ=-5．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12C ． 23D ．34三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k ===-==与相互独立.(1)确定a,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布列； (3)求X-Y 的概率分布.解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒= ()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒=(2)(X,Y)的联合分布律为(3) X-Y 的概率分布为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数；(3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()43||112y y x x e dx k e e dy k k e ∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236z zz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰36(1)z z e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z z Z e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x y x X p x p x y dy e dy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩5．设随机变量X,Y 相互独立,其密度函数分别为2,01()0,X x x p x ≤≤⎧=⎨⎩其他，(5),5()0,y Y e y p y --⎧>=⎨⎩其他，求XY ρ.解：因为X,Y 相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以0XY ρ=6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：20()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰ 四、证明题.1．已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立.证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0所以E(XY)= E(X) E(Y) 即X 与Y 不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)≠P(X=1) P(Y=1) 所以X 与Y 不独立.2．设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ=====,证明22(max{,})1E X Y ≤证明：因为()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ===== 所以2222()()()1,()()()1E X D X E X E Y D Y E Y =+==+= ()(,)()()E XY Cov X Y E X E Y ρ=+=2222221max(,)[||]2X Y X Y X Y =++-因所以2222222211(max(,))[()()(||)1(||)22E X Y E X E Y E X Y E X Y =++-=+-由柯西施瓦兹不等式有222()()()E XY E X E Y ≤所以22221(max(,))1(||)12E X Y E X Y =+-≤+又因为22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ+=++=++=+ 22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ-=+-=+-=-所以22(max(,))11E X Y =≤=+ 3．设二维随机变量),Y X （的联合概率密度为：1(1),1,1(,)40,xy x y p x y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他证明X 与Y 不独立，而2X 与2Y 相互独立．证明：因为1111()(,)(1),1142X p x p x y dy xy dy x ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 1111()(,)(1),1142Y p y p x y dx xy dx y ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 所以(,)()()X Y p x y p x p y ≠ 即X 与Y 不独立． 设22,U X V Y ==则22(,)(,)(F u v P X u Y v P X Y =≤≤=≤≤≤≤所以当0,0(,)0u v F u v <<=时，；当111111,1(,)(1)14u v F u v xy dxdy --≥≥=+=⎰⎰时，；当1111,01(,)(1)u v F u v xy dxdy -><<=+=⎰时，；当11101,1(,)(1)4u v F u v xy dxdy <<>=+=⎰时，当01,01(,)(1)u v F u v xy dxdy ≤<≤<=+=时，；所以1,0101,1(,)01,011,1,10,0,0u v u v F u v u v u v u v ⎧><<⎪<<>⎪=≤<≤<≥≥⎪⎪<<⎩所以0,(,)1,01p u v u v ⎧⎪=≤<≤<其他所以10()1U p u v ==≤<10()1V p v du u ==≤<故()()(,)U V p u p v p u v =所以U 与V 独立，即2X 与2Y 相互独立．。
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为_______ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为_ _31ln 444- . 7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .9．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 则{1}P x y +≤= 1/4 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布4．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12 C ． 23 D ．345.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ C ）．A ．;X Y =B ．{}0;P X Y ==C ．{}12;P X Y ==D ．{} 1.P X Y ==6.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424i X i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ A ）．A ．0；B ．14； C ．12； D ．1.8.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k===-==与相互独立.(1)确定a ,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布律；解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒=()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒= (2)(X,Y)的联合分布律为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()430||112yy x x e dx k e e dy k k e∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236zzz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰ 36(1)zz e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z zZ e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x yx X p x p x y dy edy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：2()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰。
第三章 多维随机变量及其分布答案一 选择题1. 设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，F(x)为X 的分布函数，则对任意实数a ，有 【 】(A) ()0()1aF a x dx ϕ-=-⎰． (B) ()01()2aF a x dx ϕ-=-⎰． (C ) ()()F a F a -=.(D) ()2()1F a F a -=-． 【答案】应选 (B) .【详解】因()()01()2aaF a x dx x dx ϕϕ--∞--==-⎰⎰，而()()00a a x dx x dx ϕϕ-=⎰⎰，所以()01()2aF a x dx ϕ-=-⎰画图容易理解。
2. 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)()(y f x f Y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的密度)|(|y x f Y X 为 【 】 (A) )(x f X ． (B) )(y f Y ． (C ) )()(y f x f Y X . (D))()(y f x f Y X ． 【答案】应选 (A) .【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .3. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则 【 】 (A) {}01/2P X Y +≤=． (B) {}11/2P X Y +≤=． (C ) {}01/2P X Y -≤=. (D) {}11/2P X Y -≤=． 【答案】应选 (B) .【详解】由~(0,1)~(1,1)X N Y N X Y 与以及与相互独立，得X ~(1,2)Y N + ,X-~(1,2)Y N - 因为，若2Z~N(,)μσ，则必有{}12P Z μ≤=，比较四个选项，只有(B)正确。
4. 设随机变量X 和随机变量Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 【 】 (A) X 与Y 一定独立． (B) (X,Y)服从二维正态分布． (C ) X 和Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布． 【答案】应选 (B) .【详解】由于只有当(X,Y)服从二维正态分布时，X 与Y 不相关X 和Y 相互独立。
第三章多维随机变量及其分布答案、填空题(每空3分)1 •设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 1 x y)2 (1 x)2(1 y)2，X 0，y 0,则 A= _1 其他« <X<X 2,y 1Vyvy 2] 内的 概率为F (x 2, y 2) F (x 2, y 1) F(x 1，y 1) F (x 1, y 2).2-9——，1 9时X 与丫相互独立.0, 其他(X>b )与 B= (Y>b )相互独立，且 P(A B)-,则 b=_五—_. 4-=-一_16.在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于 丄”的概率为_4_2 •若二维随机变量 (X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域［X 1A — F(x,y)(1 0,3. (X,Y)的联合分布率由下表给出，则, 应满足的条件是4.设二维随机变量的密度函数f (x,y)x 2 T ，0 x 1，0 y 2,则0,其他P(X Y 1)65 725.设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为f(x,y) 3x 2,0 8 x 2，设 A=则 P(max{X,Y} 0)8•随机变量(X,Y)#N(0,0,1,1,0),则 D(3X-2Y)=13 .9.设 D(X) 25, D(Y) 36, XY 0.4,则 D(X Y) 85 ____________________D(X Y) 37、单项选择题(每题 F 列函数可以作为二维分布函数的是(C ).1 2 1 43. 若(X,Y)服从二维均匀分布，则(B ). A .随机变量X,Y 都服从一维均匀分布 B .随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布 C .随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布 D .随机变量X+Y 服从一维均匀分布4. 若 D(X+Y)=D(X)+D(Y),则(A ).A . X 与 丫不相关B . F(x, y) F x (x) F/y)7. 设X 和丫为两个随机变量，且P(X 0,Y 0) 3,p (x0) P(Y 0)10.设随机变量Z2(aX 3Y) ,E(X)E(Y) 0,D(X) 4,D(Y) 16,XY0.5,则 E(Z)min1084 分)A.F(x ,y)0,x y 0.8,其他.B. F(x,y)y x 0 0e0,dsdt, x 0, y其他.0,F(x,y) yxes tdsdtD. F (x, y)xe 0,x 0, y 0, 其他.1由曲线y -及直线x在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于2.设平面区域D0, y 1,ye 2围成,维随机变量的边缘密度函数在 y=2处的值为1.XY5. 在［0,］上均匀地任取两数 X 和丫，则P{cos(X Y) 0}12 A . 1B . -C .-23三、计算题(第一题20分，第二题24分) k) p,(k 1,2,3), X 与丫相互独立. k (1)确定a,b 的值;(2)求(X,Y)的联合分布列;⑶求X-Y 的概率分布.⑵(X,Y)的联合分布律为(1)确定常数k ；⑵求(X,Y)的分布函数;(D ).1.已知 P(X k) -,P(Y k解：⑴由正则性 P(Xka a k) 1 有，a12 36 a — 11P(Ykk) 1有，b36 492.设随机变量(X,Y)的密度函数为p(x, y)(3x 4 y)ke ,x 0,y 0 0,其他⑶求 P(0 X 1,0 Y 2).••• k=12(1 e 3)(1 e 8)1 -xe 2 x 0 3•设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为p x (x) 2e ，x 00,x 01 [xg(y)3e ,y 0，求Z=x+Y 的密度函数 0, y 0解：Z=X+Y 的密度函数 P z (Z ) p X (x) p Y (z x)dxp X (x)在x >0时有非零值，p Y (z x)在z-x > 0即X W z 时有非零值 P x (x)p Y (z x)在0 < x W z 时有非零值z xz xz z xzx^e 2 ^e —dx e? h 6dx e 3[ e 門石 0 2 3 06zze 3(1 e 6)当 z<0 时，p z (z)解：(1)：dy ke 0(3x4y)dx 1• k e 4ydy e3xdxk(A 4%13x .3e )|012(2) F(x,y)y x12e 00(3u 4%udv1 12 (1 123x)(1e 4y )(1 e3x)(1 e 4y )x 0,y 0•- F(x, y) (1e 3x )(1 0,4y),x 0,y其他(3) P(0 X1,0 Y 2) F(1,2) F(0,0) F(1,0) F(0,2)P Z (Z )z z所以Z=X+Y的密度函数为p Z (z) e 3 (10, e"z 0 z 04 •设随机变量X,Y的联合密度函数为P(x,y) 12e「x苴他y0, 其他0，分别求下列概率密度函数.⑴ M Max{X,Y}; N Mi n{X,Y}.解：(1)因为p X(X) p(x, y)dy 12e 3x4y dy 3e 3xP Y(y) P(x,y)dx12e3x 4y dy 4e4y 0所以p(x, y)P x(x) P Y(y)即X与丫独立.所以当z<0时，F M(Z)0当z>0 时，F M(Z) P(M z) P(X 乙Y z) P(X z)P(Y z)F X(Z)F Y(Z) (1 e 3z)(1 e 4z)所以P M⑵0,3e3z(1 e4z) 4e 4z(1z 03Z\e ),z0,3e3z4e4zz 07e7z,z 0⑵当z<0 时，F N(Z)0当z>0 时，F N(Z)P(N z) P(X 乙Y z) 1 P(X z)P(Y z)7ze所以PM⑵J,：0,3e3z - 4z z4e 4z 7e7z,z5 .设随机变量X,Y相互独立，其密度函数分别为p x(x)2x,0 x 1 0, 其他s(y) 「其他5求XY・解：因为X,Y 相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0所以XY 06•设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为p(x,y) 3X，0%严y x，求X0,其他和丫的边际密度函数.解：P x(x)x 2p(x,y)dy 3xdy 3x ,0 x 1s(y)1 3O 9 9 p(x, y)dx 3xdx (1 y2)x2,0 y 1 y 2四、证明题.1 •已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X与丫不相关, 但X 与Y不独立.证明：因为E(X)=-1 X 0.375+0 X 0.25+1 X 0.375=0E(Y)=-1 X 0.375+0 X 0.25+1 X 0.375=0E(XY)=- 1 X 0.25+0 X 0. 5+1 X 0.25=0 所以E(XY)= E(X) E(Y)即X与丫不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125, P(X=1)=0.375, P(Y=1)=0.375P(X=1,Y=1)工P(X=1) P(Y=1)所以X与Y不独立.2•设随机变量(X,Y)满足 E(X) E(Y) 0,D(X) D(Y) 1,Cov(X,Y) ,证明 E(max{X 2,Y 2})1 . 1.证明：因为 E(X) E(Y) 0, D(X) D(Y) 1,Cov(X,Y)2 2 2 2所以 E(X ) D(X) E(X) 1,E(Y ) D(Y) E(Y) 1E(XY) Cov(X,Y) E(X)E(Y)因 max(X 2,Y 2) 1[X 2 Y 2 |X 2 Y 21]1 1所以 E(max(X 2,Y 2)) -[E(X 2) E(Y 2) E(|X 2 Y 2 |) 1 -E(|X 2 Y 21) 由柯西施瓦兹不等式有E 2(XY) E(X 2)E(Y 2)所以 E(max(X 2,Y 2)) 1 ^E(|X 2 Y 21) 1E(| X Y|2)E(|X Y |2)又因为 E(| X Y|2) E(X 2 Y 2 2XY) E(X 2) E(Y 2) 2E(XY) 2 2E(| X Y |2) E(X 2 Y 2 2XY) E(X 2) E(Y 2) 2E(XY)1 _ ______所以 E(max(X 2,Y 2))1 2 , (2 2 )(即X 与丫不独立. 设 U X 2,V Y 2 则3 •设二维随机变量 (X,Y)的联合概率密度为:p(x, y)1(1 xy), 4 0,1, y 其他证明X 与Y 不独立, 而X 2与Y 2相互独立.证明：因为P x (X )p(x,y)dy 1(1 xy)dy141 2,P Y (Y )P(x, y)dx *(1 xy)dx 1142, 1所以p(x, y) P x (x) p Y (y)2•设随机变量(X,Y)满足E(X) E(Y) 0,D(X) D(Y) 1,Cov(X,Y) ,证明F(u,v) P(X2u,Y2v) P(所以当 u 0,v0时，F(u,v) 0 ；11,0 u 1,v u 1,0 1,v 1 0,v 01 1P v (v )du,0 uo4 寸uv 2Vv1,v 1时,F(u,v)1(1 xy)dxdy 1 ； 141,01时，F(u,v)1 —-(1 xy)dxdy v ；1 v 4u 1,v 1时，F(u,v)u 11 _-(1 xy)dxdy 、.u ; u 14u 1,0 v 1时, F(u,v)v 1 _ -(1 xy)dxdy ■. uv ; v 4所以p(u,v)所以p u (u) 0,-J=,0 4、uv其他 1,0—1一 dv 0 4\ uv 21u ,0所以F(u,v).v, 、u,uv, 1, 0,所以当u 0,v 0时，F(u,v) 0 ；故P U(U)P V(V) p(u,v)所以U与V独立，即X2与Y2相互独立.1。
第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点落在矩形域的概率为),(Y X ],[2121y y y x x x ≤<≤< .),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-2、的分布函数为，则 0 .),(Y X ),(y x F =-∞),(y F3、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+),0(y x F ),(y x F4、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+∞),(x F )(x F X5、设随机变量的概率密度为),(Y X ，则.⎩⎨⎧<<<<--=其其042,20)6(),(y x y x k y x f =k 816、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.),(Y X 7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则1 .),(y x f Y X ,)(x f X X =⎰∞+∞-)(x f X8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0.),(Y X X Y =ρXY0123jP ⋅10838308638108182⋅i P 818383819、如果随机变量的联合概率分布为),(Y X YX12316191181231αβ则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， .βα,186=+βαX Y =α184=β18210、设相互独立，，则的联合概率密度Y X ,)1.0(~),1,0(~N Y N X ),(Y X，的概率密度.=),(y x f 22221y x e +-πY X Z +==)(Z f Z 42221x e-π12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为则 A =__1___。
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,222二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律.X Y ),(Y X 解： 031}1,1{⋅===Y X P 31131}2,1{=⋅===Y X P 312132}1,2{=⋅===Y X P 312132}2,2{=⋅===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设为投入1号信箱的信数，为投入2X Y 号信箱的信数，求的联合分布律.),(Y X 解：的可能取值为0,1,2,3的可能取值为0,1,2,3X Y331}0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 3323333}2,0{====C Y X P XY 12103123131331}3,0{===Y X P 333}0,1{===Y X P 3323}1,1{⨯===Y X P3313}2,1{⨯===Y X P 0}3,1{===Y X P 3233}0,2{C Y X P === 333}1,2{===Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 331}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P X Y123271273273271127327627322732730032710003、设 函 数 F(x , y) = ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的⎩⎨⎧≤+>+120121y x y x 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。
解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数因 P{0 < ξ ≤ 2， 0 < η ≤1}= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0)- - = 11 1 + 0 = 1 < 0- - - 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。
4、设，有⎰+∞=≥01)(,0)(dx x g x g 且⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤++=其它,0,0,][)(2),(2222y x y x y x g y x f π证明：可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。
),(y x f 证明：易验证，又),(y x f 0≥=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(dxdyyx y x g ⎰⎰∞+∞+++02222)(2π⎰⎰⎰∞+∞+==21)()(2dr r g rdr r g d πθ符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。
5、在[ 0,] 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y ，求}的值。
π0){cos(<+Y X P 解：，＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,0,0,1),(2ππy x y x f 0){cos(<+Y X P 43232{=<+<ππY X P 6、设随机变量的密度函数为),(Y X ⎩⎨⎧>>=+-其其0,0),()43(y x ke y x f y x (1)确定常数(2)求的分布函数(3)求k ),(Y X }20,10{≤<≤<Y X P 解：(1)⎰⎰∞∞+-=00)43(1dx e k dy y x ⎰⎰∞∞∞-∞---=-⋅-=0003043412]31[]41[k e e k dx e dy e k x y x y 12=∴k (2)⎰⎰--+---⋅==y x y x v u e e dudv e y x F 0043)43()1)(1(1211212),()1)(1(43y x e e ----=0,0>>y x 0),(=y x F (3))2,0()0,1()0,0()2,1(}20,10{F F F F Y X P --+=≤<≤<95021.00)1)(1(83=+--=--e e 7、设随机变量的概率密度为),(Y X 求⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其其20,103/),(2y x xy x y x f }1{≥+Y X P 解：⎰⎰⎰⎰≥+-+==≥+112123(),(}1{y x xdy xyx dx dxdy y x f Y X P ⎰=++=10327265)65342(dx x x x8、设随机变量在矩形区域内服从均匀分布，),(Y X },|),{(d y c b x a y x D <<<<= (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量是否独立？Y X ,解：(1)根据题意可设的概率密度为),(Y X ⎩⎨⎧<<<<=其其,),(dy c b x a My x f ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---===badcc d a b M dy dx M dxdy y x f ))((),(1于是，故))((1c d a b M --=⎩⎨⎧<<<<--=其其0,))(/(1),(dy c b x a c d a b y x f ⎰⎰∞+∞--=--==dcX ab c d a b dy dy y x f x f 1))((),()(即⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其其1)(b x a ab x f X ⎰⎰∞+∞--=--==ba Y cd c d a b dx dx y x f y f 1))((),()(即⎩⎨⎧<<-=其其)/(1)(d y c c d y f Y (2)因为，故与是相互独立的.)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=X Y 9、随机变量的分布函数为求：),(Y X ⎩⎨⎧≥≥+--=----其它,00,0,3331),(y x y x F y x y x （1）边缘密度；（2）验证X,Y 是否独立。
解：（1）， )33(3ln ),(y x xx y x F ----⨯=∂∂,33ln ),(22yx y x y x F --⨯=∂∂∂.0,0>>y x⎩⎨⎧<>⨯=--其它00,033ln ),(2yx y x f y x,⎪⎩⎪⎨⎧>⨯=⨯=---+∞⎰其它0033ln 33ln )(20x dy x f x y x X⎪⎩⎪⎨⎧>⨯=⨯=---+∞⎰其它00,33ln 33ln )(20y dx x f y y x Y (2) 因为，故与是相互独立的.)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=X Y 10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函Y X ,),(Y X数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---其其00,01),()(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x (1)问和是否相互独立？ (2)并求X Y }120,120{>>Y X P 解：(1)⎩⎨⎧<≥-=+∞=-001),()(01.0x x e x F x F x X⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0001),()(01.0y y e y F y F yY易证，故相互独立.),()()(y x F y F x F Y X =Y X ,(2)由(1)相互独立Y X ,}]120{1[}]120{1[}120{}120{}120,120{≤-⋅≤-=>⋅>=>>Y P X P Y P X P Y X P 091.0)]120(1)][120(1[42==--=⋅-e F F Y X 11、设 随 机 变 量 (ξ , η)的 分 布 函 数 为 求：( 1 )F x y A B arctg xC arctg y (,)()=++23系 数 A , B 及 C 的 值 ， ( 2 ) (ξ , η)的 联 合 概 率 密 度 ϕ(x , y)。
解：( 1 ) F A B C (,)()(+∞+∞=++=ππ221F A B C (,)()()-∞+∞=-+=ππ22F A B C (,)()()+∞-∞=+-=ππ220由 此 解 得A B C ===122ππ,,( 2 ) ϕπ(,)()()x y x y =++64922212、设相互独立且分别具有下列表格所定的分布律),(Y X 试写出的联合分布律.),(Y X 解：XY2-1-02121-8161241611161121481121316112148112113、设相互独立，且各自的分布律如下：Y X ,求的分布律.Y X Z +=解：,2,1,0}{===k P k X P k,2,1,0}{===γγγq Y P 的分布律为Y X Z +=,2,1,0}{===-i q P i Z P ki k 的全部取值为2,3,4Z 412121}1{}1{}1,1{}2{=⋅========Y P X P Y X P Z P }1,2{}2,1{}3{==+====Y X P Y X P Z P Y 21-13kP 214141X 2-1-021kP 413112131X 12kP 2121Y12kP 21212121212121}1{}2{}2{}1{=⋅+⋅===+===Y P X P Y P X P 412121}2{}2{}2,2{}4{=⋅========Y P X P Y X P Z P 14、 X,Y 相互独立，其分布密度函数各自为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=00021)(21x x ex f x X ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=00031)(3y y ey f yY 求的密度函数.Y X Z +=解：的密度函数为，Y X Z +=⎰∞+∞--=dx x Z f x f Z f Y X Z )()()(由于在时有非零值，在即时有非零值，)(x f X 0≥x )(x Z f Y -0≥-x Z Z x ≤故在时有非零值)()(x Z f x f Y X -Z x ≤≤0⎰⎰-----=⋅=ZZ xZ xZ xZ dx e edx e e Z f 06332613121)()1(][6363Z Z Z x Z eee e -----=-=当时，0≤Z 0)(=Z f 故⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--000)1()(63Z Z e e Z f Z Z Z。
