2023-2024学年广西南宁市高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已如全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{0,1,2}A =，{2,0,1}B =-，则()U A B = ð（）A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{2,1,2}--D ．{}1-【正确答案】C先求出A B ⋂，再根据补集的概念可求得结果.【详解】{}0,1A B = ,()U A B = ð{}2,1,2--。
故选：C2．命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是（）A ．00x ∃>，001ln 1x x <-B ．00x ∃≤，001ln 1x x ≥-C ．00x ∃>，001ln 1x x ≥-D ．00x ∃≤，001ln 1x x <-【正确答案】A【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得解.【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题得：命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是00x ∃>，001ln 1x x <-.故选：A.3．“0a b >>”是“ln ln a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C根据对数函数ln y x =为增函数，以及充要条件的定义可得答案.【详解】当0a b >>时，根据对数函数ln y x =为增函数，可得ln ln a b >，当ln ln a b >时，根据对数函数ln y x =为增函数，可得0a b >>，所以“0a b >>”是“ln ln a b >”的充要条件.故选：C关键点点睛：根据对数函数ln y x =为增函数，以及充要条件的定义求解是解题关键.4．已知集合{}2430A xx x =-+>∣，{4}B x m x m =<≤+∣，若A B ⋃=R ，则实数m 的取值范围是（）A ．[1,2)-B ．[1,1)-C ．(,1)-∞D ．[1,)-+∞【正确答案】B解一元二次不等式求得集合A ，根据集合的关系得到关于m 的不等式组，解出即可.【详解】因为{}2430{|1A xx x x x =-+>=<∣或3}x >，{4}B x m x m =<≤+∣，且A B ⋃=R ，所以有143m m <⎧⎨+≥⎩，解得11m -≤<，故选：B.方法点睛：该题考查的是有关集合运算的问题，解题方法如下：（1）根据一元二次不等式的解法求得集合A ；（2）根据两集合的并集为R ，得到关于m 的不等式组，求得结果.5．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．b a c<<【正确答案】D【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.6．已知1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1223b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1334c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．c a b d >>>C ．d c a b >>>D ．b a c d>>>【正确答案】B根据幂函数单调性、指数函数的单调性和对数函数的单调性可得四者之间的大小关系.【详解】因为23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，故113222303⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝>⎭，故0a b >>，又13y x =为()0,∞+上的增函数，故11333243>⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故c a >，而2log y x =为()0,∞+上的增函数，故222log log 103<=，故0d <，故c a b d >>>，故选：B.7．已知函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，()(4)f x f x =+，若(1)6f =，则()()22log 128log 16f f +=（）A ．6B ．0C ．6-D ．12-【正确答案】C根据函数的周期性和奇偶性以及对数的运算性质可求得结果.【详解】因为()(4)f x f x =+，所以()f x 的周期4T =，因为函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，所以(0)0f =，(1)(1)6f f -=-=-，所以()()22log 128log 16f f +=7422(log 2)(log 2)f f +(7)(4)f f =+()()870f f =-++(1)(0)f f =-+(1)(0)f f =-+60=-+6=-.故选：C关键点点睛：根据函数的周期性和奇偶性以及对数的运算性质求解是解题关键.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]2.13-=-，[]3.13=，已知函数()121123x x f x +=-+，则函数[()]y f x =的值域是A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【正确答案】D【分析】化简函数()1215215,12331233x x x f x +⎛⎫=-=-∈- ⎪++⎝⎭，根据[]x 表示不超过x 的最大整数，可得结果.【详解】函数()1215215,12331233x x xf x +⎛⎫=-=-∈- ⎪++⎝⎭，当()103f x -<<时，()1y f x ==-⎡⎤⎣⎦；当()01f x ≤<时，()0y f x ==⎡⎤⎣⎦；当()513f x ≤<时，()1y f x ==⎡⎤⎣⎦，∴函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0,1-，故选D.本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、多选题9．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．11a b <B ．11b b a a +>+C ．11a b b a+>+D ．11a b a b+>+【正确答案】AC【分析】根据不等式的性质判断A ，C ；利用作差法比较大小判断B ，D.【详解】解：对于A ，因为0a b >>，所以11a b <，故A 正确；对于B ，()()()()111111b a a b b b b a a a a a a a +-++--=+++，由于0a b >>，所以()0,10b a a a -+，则101b b a a +-<+，即11b b a a +<+，故B 错误；对于C ，因为0a b >>，所以11b a >，所以11a b b a+>+，故C 正确；对于D ，()()()11111b a ab a b a b a b a b a b a b ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于0a b >>，则0,0a b ab ->>，但ab 与1的大小不确定，故D 错误.故选：AC.10．函数()cos()f x x =+ωϕ0ω>||2ϕπ<的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．2ω=B ．3πϕ=C ．34x =是函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 的对称中心是1,04k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Zk ∈【正确答案】CD由函数的图象有112T =，可判断A ；由11cos =044f πϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和2πϕ<可判断B ；由函数()f x 的对称轴为：,4x k k Z ππππ+=+∈，可判断C ；由函数()f x 的对称中心,42x k k Z ππππ+=+∈，可判断D 正确.【详解】由函数的图象有112T =，则2T =，即22T πω==，所以ωπ=，则A 错误；由图象可得，11cos =044f πϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<，所以4πϕ=，所以B 不正确；所以函数()f x 的对称轴为：,4x k k Z ππππ+=+∈，即3,4x k k Z =+∈，当0k =时，34x =是函数()f x 的一条对称轴，所以C 正确；所以函数()f x 的对称中心满足：,42x k k Z ππππ+=+∈，即1,4x k k Z =+∈，所以函数()f x 的对称轴心为1,04k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以D 正确.故选：CD.本题考查根据图象求余弦型函数的解析式，关键点是根据图象得到周期，从而求出ω，再代入图象过的特殊点得到ϕ的值，考查了学生识图的能力及对基础知识的掌握情况.11．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足：①对任意,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f x y f x f y ⋅=+；②当1x >时，()0f x >，且(2)1f =．则下列结论正确的是（）A ．(1)(1)0f f =-=B ．函数()f x 是奇函数；C ．函数()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值为2【正确答案】ACD先求()1f -的值，令1y =-，推出()()(1)f x f x f -=+-，()()f x f x -=．结合函数奇偶性的定义，判断函数()f x 的奇偶性；利用函数单调性的定义，直接判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性；通过奇偶性，单调性，直接求函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值；【详解】令1x y ==，则()()()1111f f f ⨯=+，得()10f =；再令1x y ==-，则()()()()1111f f f ⎡⎤-⨯-=-+-⎣⎦，得()10f -=．A 正确；对于条件()()()f x y f x f y ⋅=+，令1y =-，则()()(1)f x f x f -=+-，所以()()f x f x -=．又函数()f x 的定义域关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数，B 错；任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则有211x x ＞．又∵当1x >时，()0f x >，∴210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭而()()()22211111x x f x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数，C 正确；∵()4(22)(2)(2)f f f f =⨯=+，又()21f =，∴()42f =．又知函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值为()()442f f -==，D 正确．故选：ACD思路点晴：通过赋值求得(1)(1)0f f =-=，用奇偶性定义和单调定义判断其奇偶与单调性，再结合性质求得最值.12．已知函数()11f x x =--，则关于x 的方程2[()]()10f x k f x +⋅+=，下列叙述中正确的是（）A ．当2k =-时，方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有3个不同的实数根B ．当2k =时，方程2[()]()10f x k f x +⋅+=无实数根C ．当2k >时，方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有5个不同的实数根D ．当2k <-时，方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有6个不同的实数根【正确答案】ABD作出函数()11f x x =--的图象，当2k =-时，求出()1f x =，根据图象可知A 正确；当2k =时，求出()1f x =-，根据图象可知B 正确；当2k >时，求出()f x =或()f x =，根据2k >0<<，由图可知C 不正确；当2k <-时，求出()2k f x -=或()2k f x -+=，根据2k <-判断出012k --<，12k ->，由图可知D 正确.【详解】()11f xx =--2,22,12,01,0x x x x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-≤⎩，其图象如图：当2k =-时，2[()]()10f x k f x +⋅+=化为2[()]2()10f x f x -+=，即()1f x =，由图可知，方程()1f x =有3个不同的实数根，即方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有3个不同的实数根，故A 正确；当2k =时，2[()]()10f x k f x +⋅+=化为2[()]2()10f x f x ++=，即()1f x =-，由图可知，方程()1f x =-无实数根，即方程2[()]()10f x k f x +⋅+=无实数根，故B 正确；当2k >时，由2[()]()10f x k f x +⋅+=得()f x =或()f x =，0<02k k -+<=，由图可知，()2k f x -=无实数根且()2k f x -+=无实数根，所以方程2[()]()10f x k f x +⋅+=无实数根，故C 不正确；当2k <-时，由2[()]()10f x k f x +⋅+=得()2k f x -=或()2k f x -+=，02k k -+>=，21222k k --<<=，所以由图可知，方程()f x =有4个不等的实数根，2122k ->>=，所以由图可知，方程()2k f x -=有2个不等的实根，并且以上6个实根均不相等，所以方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有6个不同的实数根，故D 正确.故选：ABD关键点点睛：由2[()]()10f x k f x +⋅+=求出()f x 的值，并判断该值的范围，再结合()f x 的图象分析求解是解题关键.三、填空题13．若点1)P -在角α的终边上，则sin α=________．【正确答案】12-根据正弦函数的定义可求sin α的值.【详解】因为1)P -，故2OP =，故11sin 22α-==-，故答案为.12-14．设4log ,0(),0x x x f x a b x >⎧=⎨+≤⎩，已知(0)0f =，(1)2f -=，则((2))f f -=________．【正确答案】32根据(0)0f =，(1)2f -=，求出,a b ，再根据解析式求出(2)f -和((2))f f -即可得解.【详解】因为(0)0f =，(1)2f -=，所以10b +=，12a b -+=，解得1b =-，13a =，所以21(2)183f -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以23423(8)log 8log 22f ===，即((2))f f -=32.故答案为.32关键点点睛：根据(0)0f =，(1)2f -=，求出,a b 是解题关键.15．已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ的值为________．【正确答案】38-先利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系式得到tan θ的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式化简后可得所求的三角函数式的值.【详解】因为3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，故3sin cos 0θθ--=，故cos 0θ≠（否则()310-⨯±=，矛盾），所以1tan 3θ=-，又222sin cos sin cos tan 3cos 2cos sin 1tan 8θθθθθθθθθ===---，故答案为.38-方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16．若两个正实数,x y1,=26m m ≥-恒成立，则实数m 的最大值是__________．【正确答案】8【详解】1,44⎛⎫=+816≥+，当=64,4x y ==时等号成立.26m m ≥-恒成立，则2166m m ≥-，解得-28m ≤≤，则实数m 的最大值是8.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.四、解答题17．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.①函数()2sin(2)f x x ωϕ=+0ω>||2ϕπ<的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②函数())cos(2)(0)f x x x ωπωω=-->；③函数()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭；问题：已知________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=α的值．【正确答案】（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+（Ⅱ）12πα=或4πα=分别选择①，②，③求出函数()2sin(2)6f x x π=+，（Ⅰ）根据正弦函数的增区间列式可求出()f x 的递增区间；（Ⅱ）代入()f α，根据α的范围可求出结果.【详解】因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．所以22T ππ=⨯=，选择①，则22ππω=，得1ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，所以()()2sin 2()1212g x f x x ππϕ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦2sin(2)6x πϕ=-+，因为()g x 的图象关于原点对称，所以()g x 为奇函数，所以(0)0g =，所以2sin()06πϕ-=，所以6k πϕπ-=，Z k ∈，所以6k πϕπ=+，Z k ∈，因为||2ϕπ<，所以0,6k πϕ==，所以()2sin(26f x x π=+，选择②，())cos(2)f x x x ωπω=--(0)ω>=()()2cos 2x x ωω+2sin(2)6x πω=+，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+，选择③，()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 66x x x ππωωω⎛⎫= ⎪⎝⎭1-=14cos sin cos 122x x x ωωω⎫+-⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x ωωω=+-2cos 2x xωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+，（Ⅰ）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为[,]36ππkπkπ-++，Z k ∈.（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=2sin(26πα+=sin(26πα+=因为02πα<<，所以72666πππα<+<，所以263ππα+=或2263ππα+=，得12πα=或4πα=.关键点点睛：根据三角函数的性质求出()f x 的解析式是解题关键.18．已知函数2()1f x kx kx =-+．（1）若x ∀∈R ，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围；（2）若(2)7f -=，解关于x 的不等式：()log 3a f x >．【正确答案】（1）[0,4)，（2）当01a <<时，不等式的解集为21(0,)(,)a a+∞ ，当1a >时，不等式的解集为21(0,(,)a a+∞ （1）当0k =时，满足条件，当0k ≠时，由题意得00k >⎧⎨∆<⎩，从而可求出实数k 的取值范围；（2）先由(2)7f -=求出1k =，由()log 3a f x >得2(log )log 20a a x x -->，解得log 1<-a x 或log 2a x >，然后分01a <<和1a >两种情况解不等式即可【详解】解：（1）当0k =时，()10f x =>恒成立；当0k ≠时，由x ∀∈R ，()0f x >恒成立，得00k >⎧⎨∆<⎩，即0()()40k k k k >⎧⎨-⋅--<⎩，解得04k <<，综上，实数k 的取值范围为[0,4)，（2）由(2)7f -=，得4217k k ++=，解得1k =，所以2()1f x x x =-+，由()log 3a f x >，得2(log )log 13a a x x -+>，即2(log )log 20a a x x -->，(log 1)(log 2)0a a x x +->，解得log 1<-a x 或log 2a x >，当01a <<时，得1x a>或20x a <<，当1a >时，得10x a<<或2x a >，所以当01a <<时，不等式的解集为21(0,)(,)a a+∞ ，当1a >时，不等式的解集为21(0,)(,)a a+∞ 关键点点睛：此题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，解题的关键是由()log 3a f x >，得2(log )log 20a a x x -->，得log 1<-a x 或log 2a x >，然后分01a <<和1a >两种情况解对数不等式即可，属于中档题19．已知02πα<<，4sin 5α=．（1）求tan 2α的值；（2）求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）若02βπ<<且1cos()3αβ+=-，求sin β的值．【正确答案】（1）247-，（2）（3）415（1）由02πα<<，4sin 5α=，可求出3cos 5α=，从而可求出4tan 3α=，进而利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；（3）先由已知条件求出sin()3αβ+=，再利用sin sin[()]βαβα=+-展开代值可求得结果【详解】解：（1）因为02πα<<，4sin 5α=，所以3cos5α===，所以4sin45tan3cos35ααα===，所以22422tan243tan21tan7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）cos2cos2cos sin2sin444πππααα⎛⎫+=-⎪⎝⎭(cos2sin2)2αα=-2(12sin2sin cos)2ααα=--1643222555=-⨯-⨯⨯=，（3）因为02πα<<，02βπ<<，所以0αβ<+<π，因为1cos()3αβ+=-，所以sin()αβ+==所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sinαβααβα=+-+3144()353515=--⨯=关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，考查同角三角函数的关系的应用，角的变换公是解题的关键，属于中档题20．已知函数1()2f x xx=+-，()4(1)xg x a a=->．（Ⅰ）证明：函数()f x在[3,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若1[3,)x∀∈+∞，2[3,)x∃∈+∞，使得()()12f xg x=，求实数a的最大值．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2.（Ⅰ）利用单调性的定义证明即可；（Ⅱ）由题意可知，函数()f x在[3，+∞)的值域是函数()h x在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围.【详解】（Ⅰ）取12,[3,)x x∀∈+∞，且12x x<，则12121211()()22f x f x x x x x -=+----21121212121()[1(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x x -=-+=------，因为123x x ≤<，所以120x x -<，1221,11x x -≥->，12110(2)(2)x x ->--，所以12121()[10(2)(2)x x x x --<--，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在[3,)+∞上单调递增；（Ⅱ）由题意可知，函数()f x 在[3，+∞)的值域是函数()h x 在[3,+∞)上值域的子集，2221(2)2(2)1()22x x x x f x x x -+-+-+==--122242x x =-++≥+=-，等号成立的条件是122x x -=-，即x =3时等号成立，即函数()f x 在[3,+∞)的值域是[4,+∞)，()4(1)x g x a a =->，是增函数，当x ∈[3,+∞)时，函数()g x 的值域是)34,a ⎡-+∞⎣，所以344a -≤，解得：1<a ≤2，所以实数a 的最大值是2.方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：（1）利用函数单调性的定义，按取值、比较大小、得出结论的步骤证明即可；（2）根据题意，将问题转化为两个函数值域的关系，建立不等关系式求得结果.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()252,0250,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这水果的时常售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润()f x （单位：元）.(1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)()27530150,0275030,251x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩(2)4，480元.【分析】（1）()()152010f x W x x x =--，代入分段函数化简即可；（2）结合二次函数性质及基本不等式求分段函数最值即可.【详解】（1）()()()2275230,027530150,0215201075075030,2530,2511x x x x x x f x W x x x x x x x x x x x⎧+-≤≤⎧-+≤≤⎪⎪=--==⎨⎨-<≤-<≤⎪⎪+⎩+⎩；（2）()()22175147,027530150,02575030,2525780301,2511x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩，当02x ≤≤时，()()max 3902f x f ==；当25x <≤时，()()25780301780304801f x x x ⎡⎤=-++≤-⨯=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当25141x x x=+⇒=+时等号成立.由390480<得当4x =时，()max 480f x =.所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元22．已知函数1()ln1kx f x x -=+为奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若对任意[3,5]x ∈都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围；（3）若存在,(1,)αβ∈+∞，且αβ<，使得函数()f x 在区间[,]αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）1k =；（2）(),3ln 2-∞-；（3）209m <<.（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据复合函数单调性法则，可以判断出函数在给定区间上的单调性，之后将恒成立问题转化为最值处理；（3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+¥上递增，方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+¥上有两个不等实根，可得m 的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=，即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln1x f x x -=+的定义域关于原点对称．所以1k =为满足题意的值．（2）由（1）知()1ln1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，()12ln ln(1)11x f x x x -==-++可以判断出()f x 在()1,+¥上为增函数．所以()f x 在()3,5上为增函数，对任意[3,5]x ∈都有()3f x t >-成立，则有min ()3f x t >-，所以31(3)ln 331f t -=>-+，所以3ln 2t <-，所以求t 的取值范围为(),3ln 2-∞-；（3）由（2）知()f x 在()1,+¥上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，即,αβ是方程112x m mx x -=-+的两实根，问题等价于方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+¥上有两个不等实根，令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =-则21124(1)4(1)022(1)00m m m m m h m m >⎧⎪⎪->⎪⎪⎪∆=--->⎨⎪=>⎪⎪⎪⎪⎩，即0205229m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或，解得209m <<．关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用、函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义确定函数性质是解决本题的关键.。
