自动控制理论例题集锦-第3章

3. 由系统特征方程
列写劳斯表
因是一个很小的正数，所以，劳斯表第一列元符号变化两次，所以
系统不稳定，且有两个根在右半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无
虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半平面。
4. 由系统特征方程
列写劳斯表
劳斯表的行的元素全为0，所以系统不稳定，有对称于原点的根。以该
行的上一行构造辅助方程，并对辅助方程求一阶导数，用所得导数方程
图3-2
2. 求系统稳态误差用静态误差系数法。 因输入信号为单位斜坡信号， 系统静态速度误差系数为 稳态误差为 例7 设某复合控制系统的结构图如图3-3所示。
图3-3
其中， ，。要求系统在扰动信号作用下的稳态误差为零，试确定 顺馈通道的传递函数。
解： 令，用结构图等效变换或梅逊公式易求得扰动引起的系统输出为 按扰动误差的定义，有
试确定和的值，使系统以2弧度/秒的频率持续振荡。
解：
系统的特征方程为
即
列写劳斯表
依题意，系统以2弧度/秒等幅振荡，故有
（3-1）
用行的上一行的系数构造辅助方程，有
（3-2）
由（3-2）式，有
所以
（3-3）
由（3-1）、（3-3）式解得，和，。将两组解分别带入特征方程可
知，，不符合题意。故使系统以2弧度/秒的频率持续振荡的，。
3. 将虚轴左移一个单位，得新坐标系。将带入特征方程 列写劳斯表 令劳斯表中第一列各元均大于零 解得使系统的闭环极点全部位于平面的虚轴左移一个单位后的左侧 的的取值范围为
时间分别为，。由超调量及峰值时间的计算公式，有 解得，rad/s。故系统的开环传递函数为 2. 单位斜坡输入信号，即。因二阶系统稳定，故有系统的速度静态
误差系数为 例9 系统结构图如图3-5所示
图3-5
求： 1. 为使系统闭环稳定，确定的取值范围。 2. 当为何值时，系统出现等幅振荡，并确定等幅振荡的频率。 3. 为使系统的闭环极点全部位于平面的虚轴左移一个单位后的左 侧，试确定的取值范围。 【分析】 本题是考核劳斯判据的应用。当劳斯表第一列各元均大于零时，系 统稳定；当劳斯表出现某一行各元全部为零时，可能出现等幅振荡；而 系统所有特征根均位于的左侧，称为稳定度为1，可先进行坐标轴的平 移，然后再用劳斯判据判稳。 【解答】 1. 系统特征方程为 列写劳斯表 根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于零，解得使系统稳定的 的取值范围为 2. 求为何值时，系统出现等幅振荡，利用劳斯表求解。 令劳斯表中行各元均为零，解得 以行各元构造辅助函数，并将带入，有 解得 当时，系统出现等幅振荡，等幅振荡的频率弧度/秒。
的系数继续劳斯表的计算。
求解辅助方程
解得
，
因为劳斯表第一列元素符号变化两次，所以系统有两个根在右半平
面；由辅助方程有两个根在虚轴上；因特征多项式为6阶，故有两个根
在左半平面。
例4. 已知系统结构图如图3-1所示，试确定闭环系统稳定性。
图3-1 解：
由图3-5系统结构图，闭环系统的传递函数为 可见系统的闭环极点有一个在右半平面，故系统不稳定。 例5 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
第3章 线性系统的时域分析法
例1 一个温度计插入100℃水中测温，经3min后，指示95℃，如果 温度计可视作一个一阶环节且，求：
1. 时间常数； 2. 时，单位阶跃响应是多少？ 3. 如果给该容器加热，使容器内水温以℃的速度匀速上升，当定义 时，温度计的稳态指示误差有多大？ 解: 1. 求时间常数。 解法1. 根据调节时间的定义，有 解法2. 依题意，一阶环节的标准数学模型为 输入信号为，即，故有 对其进行拉氏反变换，有 依题意 解得 2. 输入信号为，即，则有 时 3. 水温以℃的速度匀速上升，表示输入信号为斜坡信号，即。一阶 系统稳定，根据误差的定义，有 因为在平面右半平面及虚轴上（除原点外）解析，满足终值定理的 应用条件，故有
例6 单位负反馈系统的开环传递函数为
其中、。
1. 试确定闭环系统稳定时，参数、应满足的关系，在坐标中画出使
系统稳定的区域
2. 计算在输入作用下系统的稳态误差。
解：
Байду номын сангаас
1. 系统的特征方程为
即
列写劳斯表
根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各元为正，考虑到、，可求
得参数、应满足的关系为
使系统稳定的、取值范围如图3-2中阴影部分。
指出根的分布情况。
1.
2.
3.
4.
解:
1. 由系统特征方程
列写劳斯表
由劳斯表可知，第一列元符号全部为正，所以系统稳定，系统特征
根均位于左半平面。
2. 由系统特征方程
列写劳斯表
由劳斯表可知，第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两
个根在右半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征
方程为4阶，所以有2个根在左半平面。
系统的扰动输入信号为，即。应用终值定理，扰动作用下的稳态误 差为
依题意，故有 例8 单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如图3-4所 示。要求： 1. 确定系统的开环传递函数。 2. 求出系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差。
图3-4
解： 1. 由图3-4所示系统的单位阶跃响应曲线，知系统的超调量及峰值
℃
∞
例2 已知二阶系统的单位阶跃响应为 试求系统的超调量、峰值时间和调节时间。 解: 为便于计算，先求出正弦函数的拉氏变换，有 对单位阶跃响应进行拉氏变换，得 单位阶跃输入，系统的传递函数为 典型二阶系统的传递函数为 比较以上二式，有，，。则有 超调量 峰值时间 调节时间
例3 已知系统特征方程如下。试用劳斯判据确定系统的稳定性，并