自动控制理论第三章 1 稳定性分析PPT课件
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自动控制原理之稳定性裕量分析.ppt
G(
j)
(
K (1 j 1)( 2 j 1)( m j j) (T1 j 1)(T2 j 1)(Tn
1)
j 1)
nm
一、相位裕度、相角裕度(Phase Margin)
设系统的增益交界频率(Gain cross-over frequency)为 c A( jc ) G( jc )H( jc ) 1 定义相角裕度为 G( jc )H ( jc ) (180) 180 G( jc )H ( jc )
写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的则求看对数幅频特性1031021011040202040608020dbdec20dbdec40dbdec40dbdec00101radsdblg20lg20lg20lg20lg2010010arctgarctgarctg系统稳定573标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系ss2n图38标准形式的二阶系统方块图在图38所示的标准二阶系统中单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起
dB
dB
c
0
Log
0
Log c
90 180 270
Log
Positive Phase Margin
Stable System
90 180 270
Log
Negative Phase Margin
Unstable System
二、增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)Kg
设系统的相位交界频率(Phase cross-over frequency) x
相角裕度的含义是
对于闭环稳定系统，如果开 环相频特性再滞后度，则系统 将变为临界稳定。
当 0 时，相位裕量为正值；
自动控制理论ppt3
r(t) Rr 1(t)
-
G2 (s)
G2 (s) K2 s(1 T2 s)
C ( s)
G1 (s)
essr lim sER ( s) lim
s Rr s lim s 0 K1 K2 1 (1 T1s) s(1 T2 s )
②
sR( s) s 0 1 G ( s )G ( s ) 1 2
G(s) H (s)
K ( j s 1) s
☆ 按积分环节来区分的系统结构：
(T s 1)
i 1 i
j 1 n
0 型： 0 型： 1 型： 2
开环系统串连 积分环节的个 数
第 4页
第三章 控制系统时域分析—— 6：控制系统的稳态误差
▶ 稳态误差与系统结构的关系
第三章 控制系统时域分析—— 6：控制系统的稳态误差
第 2页
▶ 误差传递函数
☆ 例：求右图系统稳态误差
解：①
令 n(t ) 0 ER ( s) er ( s) R( s)
s 0
R(s)
E E N R E ( s( ) s)
+
N (s) n(t) Rn 1(t)
G1 (s)
+ +
按泰勒级数展开
s 0邻域
分别对应 位置、速度、加速度 误差系数
d er (s) 1 er (s) er (0) 1 G( s) ds
2 1 d er (s) s 0 s 2! ds 2
s 0
s
2
1 1 1 2 s s k1 k2 k3
0 0 ess K 1/ K
自动控制原理课稳定判据最全PPT
7
2
7
5
5
5
s3
18
7
11
s2
115
7
18
s1
1589
115
s0
7
劳斯表第一列的系数变号两次，系统不稳定，有2右半面的根。
2021年6月10日
第三章 自动控制系统的时域分析
b.劳斯表某行的第一项等于零，而本行中其余项不全为零
处理方法：可以用一个小的正数 代替它，而继续计算其余
各元，再用劳斯判据。 例3-5 系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。
第三章 自动控制系统的时域分析
7. 相对稳定性和稳定裕量
代数稳定判据只能给出
稳定还是不稳定 绝对稳定性
实际的系统希望知道距离稳定边界有多少余量
相对稳定性或稳定裕量的问题。
2021年6月10日
取决于系统的结构和参数，与外作用无关。
2021年6月10日
第三章 自动控制系统的时域分析
稳定与不稳定系统的示例
物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
2021年6月10日
第三章 自动控制系统的时域分析
数学意义上的稳定概念
设线性定常系统在初始条件为零时，输入
s1 4 3
s0 8
2021年6月10日
结论：劳斯表第1列元素没变号，可
确定在S右半平面没有特征根。但由
于有为零行，表示在虚轴上有根。系
统临界稳定状态。 系统极点： 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 第三章0.自0动00控0制系- 统1.的4时1域42分i析
自动控制原理第3章
间常数“T”。
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理及应用课件(第三章)
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
自动控制原理 第三章稳定性分析
s1 .2 = ± j 0 .586 = ± j 0 .766 s 3 .4 = ± j 3 .414 = ± j 1 .848
误差定义
R(s) B(s) E(s)
G(s) H(s)
C(s)
R(s) C(s)
E(s)
G(s)
C(s)
输入端定义： 端定义： E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
特殊情况1劳斯表介绍 特殊情况 劳斯表介绍
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 ε 0 3 4 2 -8 -8 5 6 7 7
1 2 3 4
7
(6 4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= -8
s
0
5 0 = 5
− 6 6
注意两种特殊情况的处理： 注意两种特殊情况的处理： 1）某行的 第一列项为 ， 而其余各项不为 或不全为 。 用 第一列项为0，而其余各项不为0或不全为 或不全为0。 ） 某行的第一列项为 因子（ ）乘原特征方程（其中a为任意正数 为任意正数） 因子（s+a）乘原特征方程（其中 为任意正数），或用很小的正 代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据 对新特征方程应用劳斯判据。 数ε代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。 2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅 出现全零行时 ）当劳斯表中出现全零行 助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。 助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。
若变号系统不稳定! 若变号系统不稳定 为特征根在s 个数! 变号的次数为特征根在 右半平面的个数
误差定义
R(s) B(s) E(s)
G(s) H(s)
C(s)
R(s) C(s)
E(s)
G(s)
C(s)
输入端定义： 端定义： E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
特殊情况1劳斯表介绍 特殊情况 劳斯表介绍
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 ε 0 3 4 2 -8 -8 5 6 7 7
1 2 3 4
7
(6 4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= -8
s
0
5 0 = 5
− 6 6
注意两种特殊情况的处理： 注意两种特殊情况的处理： 1）某行的 第一列项为 ， 而其余各项不为 或不全为 。 用 第一列项为0，而其余各项不为0或不全为 或不全为0。 ） 某行的第一列项为 因子（ ）乘原特征方程（其中a为任意正数 为任意正数） 因子（s+a）乘原特征方程（其中 为任意正数），或用很小的正 代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据 对新特征方程应用劳斯判据。 数ε代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。 2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅 出现全零行时 ）当劳斯表中出现全零行 助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。 助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。
若变号系统不稳定! 若变号系统不稳定 为特征根在s 个数! 变号的次数为特征根在 右半平面的个数
自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析
设系统处于某一平衡状态，若此系统在干 扰作用下离开了原来的平衡状态，那么，在扰 动消失后，系统能否回到原来的平衡状态，这 就是系统的稳定性问题。
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
自动控制原理控制系统的稳定性及特性PPT课件
解：由系统的特征方程计算劳斯表如下
劳斯阵中s3行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s4 行) 的各项组成辅助方程为 F(s) s4 5s2 4 0 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程
dF (s) 4s3 10s 0 ds 第24页/共68页
用导数方程的系数取代
s6 1 6 9 4 s5 1 5 4
故有两个实部为正。 的根
第18页/共68页
例 3-8 已知系统的特征方s程3 4s 2 6 0
，
试判断系统的正的特征根的个数。
解：它有一个系数为负的，根据劳斯判据知系统不稳定。
但究竟有几个右根，需列劳斯表：
s3 1 1 s2 4 6 s1 2.5 s0 6
劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个 右半平面的根
故系统稳定。
第13页/共68页
3.3.3 稳定判据 1. Routh稳定判据 系统的特征方程为
必要条件:
（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同的符号。
充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。
第14页/共68页
劳斯阵列
c1
b1an3 an1b2 b1
b2
an1an4 anan5 an1
c2
b1an5 an1b3 b1
第15页/共68页
例3-5 已知系统的特征方程为 (s) s3 3s2 s 55 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
解：构造劳斯表如下：
s3 1 1 s2 3 55 s1 52 3 0 s0 55 0
控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及?系统的稳定性是系统正常工作的首要条件系统的稳定性是系统正常工作的首要条件?系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定?系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定与系统的输入无关
劳斯阵中s3行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s4 行) 的各项组成辅助方程为 F(s) s4 5s2 4 0 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程
dF (s) 4s3 10s 0 ds 第24页/共68页
用导数方程的系数取代
s6 1 6 9 4 s5 1 5 4
故有两个实部为正。 的根
第18页/共68页
例 3-8 已知系统的特征方s程3 4s 2 6 0
，
试判断系统的正的特征根的个数。
解：它有一个系数为负的，根据劳斯判据知系统不稳定。
但究竟有几个右根，需列劳斯表：
s3 1 1 s2 4 6 s1 2.5 s0 6
劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个 右半平面的根
故系统稳定。
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3.3.3 稳定判据 1. Routh稳定判据 系统的特征方程为
必要条件:
（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同的符号。
充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。
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劳斯阵列
c1
b1an3 an1b2 b1
b2
an1an4 anan5 an1
c2
b1an5 an1b3 b1
第15页/共68页
例3-5 已知系统的特征方程为 (s) s3 3s2 s 55 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
解：构造劳斯表如下：
s3 1 1 s2 3 55 s1 52 3 0 s0 55 0
控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及?系统的稳定性是系统正常工作的首要条件系统的稳定性是系统正常工作的首要条件?系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定?系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定与系统的输入无关
第03章1自动控制理论精品PPT课件
控制系统的时域分析内容 1、稳定性 2、暂态响应 3、稳态误差
典型的试验信号
这一节回答的问题：
1 为什么要使用典型的输入信号？ 2 典型的输入信号有哪几种？它们为什么
是典型的？ 3 典型的输入信号的数学模型、图象？
4 典型的输入信号相互关系如何？
典型的试验信号
系统的输入信号通常不会都是确定的，更不是典型的， 使用典型的输入 信号只是为了分析和设计的方便。采 用典型的输入信号，可以使问题的数学处理系统化， 另外，它还可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。
典型的试验信号
（2.） 斜坡信号
r(t)
0 t 0
r(t)Rt t 0 （3-2）
R
当 R=1 时，称为单位斜坡信号。 斜坡信号又称为等速度输入函数。 斜坡信号拉氏变换式为：
t
斜坡信号
R R(s) S2
典型的试验信号
含义
对于随动系统来说，相当于按照某一恒速 变化的位置信号。
典型的试验信号
（3.） 等加速度信号
典型的试验信号
典型信号之间的关系
S=1
r(t)
r(t)
1 2
0 Rt2
t 0 t 0
（3-3）
R
当 R1时，称为单位等加速度信号。 等加速度信号又称抛物线信号。
t 等加速度信号
等加速度信号拉氏变换式为：
R(s)
R S3
典型的试验信号
含义
对于随动系统来说，相当于按照某一恒定 加速度进行变化的位置信号。
典型的试验信号
（4.） 脉冲信号
r(t) H0
控制系统的时域分析
第一节: 典型的试验信号 第二节: 一阶系统的时域响应 第三节: 二阶系统的时域响应 第四节: 高阶系统的时域响应 第五节: 线性定常系统的稳定性 第六节: 劳斯稳定判行控制系统的时域分析过程 1、先规定典型输入信号 2、求系统在典型信号输入的时域响应 3、根据时域响应分析系统的性能指标
典型的试验信号
这一节回答的问题：
1 为什么要使用典型的输入信号？ 2 典型的输入信号有哪几种？它们为什么
是典型的？ 3 典型的输入信号的数学模型、图象？
4 典型的输入信号相互关系如何？
典型的试验信号
系统的输入信号通常不会都是确定的，更不是典型的， 使用典型的输入 信号只是为了分析和设计的方便。采 用典型的输入信号，可以使问题的数学处理系统化， 另外，它还可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。
典型的试验信号
（2.） 斜坡信号
r(t)
0 t 0
r(t)Rt t 0 （3-2）
R
当 R=1 时，称为单位斜坡信号。 斜坡信号又称为等速度输入函数。 斜坡信号拉氏变换式为：
t
斜坡信号
R R(s) S2
典型的试验信号
含义
对于随动系统来说，相当于按照某一恒速 变化的位置信号。
典型的试验信号
（3.） 等加速度信号
典型的试验信号
典型信号之间的关系
S=1
r(t)
r(t)
1 2
0 Rt2
t 0 t 0
（3-3）
R
当 R1时，称为单位等加速度信号。 等加速度信号又称抛物线信号。
t 等加速度信号
等加速度信号拉氏变换式为：
R(s)
R S3
典型的试验信号
含义
对于随动系统来说，相当于按照某一恒定 加速度进行变化的位置信号。
典型的试验信号
（4.） 脉冲信号
r(t) H0
控制系统的时域分析
第一节: 典型的试验信号 第二节: 一阶系统的时域响应 第三节: 二阶系统的时域响应 第四节: 高阶系统的时域响应 第五节: 线性定常系统的稳定性 第六节: 劳斯稳定判行控制系统的时域分析过程 1、先规定典型输入信号 2、求系统在典型信号输入的时域响应 3、根据时域响应分析系统的性能指标
自动控制原理稳定性和误差PPT课件
1
s11 0.5
s10 1
劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号 改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系 统在垂直线 s = 1的右边有一个根。
14
第14页/共30页
3.6 稳态误差的定义及一般计算公式
3.6.1 误差的基本概念
1. 误差的定义
R(s)
E(s)
C(s)
误差的定义有两种：
共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：
10
第10页/共30页
用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。
s4 1
3
2
s3 1
1
s2 2
2 F(s) = 2s2+ 2
s1 4
F(s)= 4s
s0 2
由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系
统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，
可解辅助方程求出。得 s1=1 和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为
s3=1 和 s4= 2 。
11
第11页/共30页
（2）分析参数变化对稳定性的影响
例3-8 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K 的取值范围。
R(s)
+﹣
K
C(s)
s(s+1)(s+2)
解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0
解：劳斯表 s4 1
35
s3
2
4
s2 1 5
s1 6
s0
5
第一列元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平 面有2个根。
自动控制原理01系统的稳定性分析课件
0
8*162*0 16 8
F (s) 2s4 12s2 16 0 即： (s2 2)(s2 4) 0
解之得： s1,2 j 2
s3,4 j2
3.1.3 稳定判据
（3）劳斯稳定判据的应用
例3-4 某单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)
K
s(s 1)(s 5)
求取使系统稳定时的K的取值范围。
F (s) 2s4 12s2 16 0 F(s) 8s3 24s ds
s4 1612 2
2
s3 08
结论：第一列没有变号， 说明系统不含正实部根； 系统不稳定，出现纯虚根
s2 8*122*246 8
s 1 6*248*168 63
s0 16
8
12
4016 12 2
0 24
20 16
16
0
320 16 2
分析系统稳定性。 解：用方法①
结论：系统不稳定， 有2个正实部极点
s4
1
s3
4
s 2 4*11*4 0 4
s1
4* 4*1 0
s0
1
11Biblioteka 404*11*0 1 4
3.1.3 稳定判据
例3-2：用方法②，将特征方程乘以s+1，得：
s5 5s4 5s3 5s2 5s 1 0
用此式构建劳斯表：
q
C(t)
Aje pjt
j 1
dk k 1 k 2
r
[ Bk ekkt
k 1
c osdk t
Ck
dk
ekk t
sin dkt]
系统稳定的条件： ① 系统的实数极点一定为负数
② 系统的复数极点一定具有负实部
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目的
掌握控制系统的时域分析方法
内容
系统稳定性分析 稳态误差的计算 瞬态分析 时域性能指标 一阶、二阶系统分析
§3.5 控制系统的稳定性分析 (P70)
1.系统稳定的概念 2.系统稳定的充要条件 3.应用劳斯（Routh)判据判别系统 4. 稳定性
➢系统稳定性的完整概念
关于系统运动的稳定性理论， 是俄国学者李亚普诺夫 （А. М. Лялунов） 于1892年确立的。
则时间分量为：
aieitsiniti
根据收敛条件根的实部必须要小于零。
ci(t) i>0
ai
t
0
振荡发散
ai ci(t) 0
i<0
t 振荡收敛
ci(t) 1>2
ai
1 2
0
t
ci(t) >0
ai
=0
0 <0
t
系统稳定的充要条件：
系统所有闭环特征根即闭环极点必须为负 值，或者实部为负的共轭复数。也可以说，
0
因为
pi i j i
所以
i 0, i 1, 2, , n
重根情况
如果pi为二重根、三重根…时，分量式为
s
ai pi
2
,
s
ai pi
3
时间分量为：
aitepit，12 ait2epit， ...
则一样必须极点的实部为小于零。
共轭复数根情况
设共轭两根对应的分量式为：
sij aiis sb i ijis a isi 2b ii2
a0ddnct(nt)a1ddnt1nc(1t) an1dcd(tt)anc(t) b0ddmtrm (t)b1ddm t1m r(1t) bmr(t) (mn)
由经典解法知，其解为：
c(t)cT(t)cg(t)
在单位脉冲扰动的作用下，系统的输出为
c s G sR sR s 1 G s b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n
sn
a0
s n1
a1
a2
a4
a6
a3
a5
பைடு நூலகம்
a7
s n2
cc 11 33
a1a2 a0a3 a1
c23
a1a4 a0a5 a1
c33
a1a6 a0a7 a1
c 43
1右.劳移斯一行位列降第两一阶列；不动，下移一行降一阶， s n 3
cc1144
c13a3 a1c23 c13
c24
c13a5 a1c33 c13
“运动稳定性的一般问题” （The General Problem of the Stability
of Motion)
1. 系统稳定的概念
➢稳定的基本概念
稳定是使系统能够正常工作的必 要条件，所谓“稳定”是指在任 何扰动作用下，系统平衡遭到了 破坏，如果在经过了相当长时间 后，系统能达到一种新的平衡， 或者回到原来的平衡状态，那么 这个系统是稳定的。
5s .0n阶系c统1,n1的 a劳n 斯表共有n+1行。
系统稳定的充分必要条件是：
1、必要条件：ai(i0,1...n)同号，且处理为a i 0
形式； 2、充分条件：劳斯表中第一列所有元素的计算 值均大于零，则系统稳定；如果第一列出现小 于零的元素，则系统不稳定，并且第一列中数 值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根 的数目；如果出现零值，那么该系统存在纯虚 根，系统不稳定。
假设系统的n个特征根互异
si p ii ji,i 1 ,2 , n
则系统的输出表示成单极点形式：
Cs
n
Ms spi
n i1
ai spi
i1
其中ai为对应极点的留数，则时间响应为：
n
c t aiepit i1
为使系统稳定，则必须有
lim c t 0
t
n
从而
lim
t
i1
aie pit
反映元件及系统 的特性要正确
写出的数学式子
数
要简明
学
模
型
微分方程 传递函数 频率特性
结构图
• 实验法 • 解析法
信号流图 状态空间表达式
引言
自动控制系统好？差? 系统分析
典型的输入信号
时域分 析
单阶位复跃脉域析冲分 正斜频余坡域析弦分
时域性能指标
稳态性能 指标
稳定性
动态性能 指标
第三章 控制系统的时域分析
同号，所以系统 不稳定。
②第一列中数值
s1
1425 6 1
符号改变两次， 所以有两个正实
s0
5
部的根。
例2 特征方程为
D (s ) s 5 s 4 2 s 3 2 s 2 3 s 5 ＝ 0
列写劳斯表：
s5 1
s4 1
s 3 ε0
23 25 2
s2
2ε + 2
正数
ε
5
s1
4ε 4 5ε2 －2 2ε 2
（1）给出了系统稳定的判断方法； （2）给出了不稳定情况下判断右根个数的方法。
例1 已知系统的特征方程为
s4 2 s3 3 s2 4 s 5 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性，并确定 正实部根的数目。
解： 根据特征方程的系数列出劳斯表：
s4
1
3 5 ①第一列元素不
s3
2
s2
2314 1
2
40
5
必有
lti m (n 11)!ait(n1)epit pi00
问题：
高阶系统如何 判断稳定性？
3. 代数稳定性判据
➢劳斯判据（Routh) ---不必求解闭环特征方程的根，利用闭环 特征方程的系数判别稳定性。
闭环特征方程 D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n 0 ( a 0 0 )
系统所有的特征根必须位于S 平面的左半平
面。
➢系统稳定性的讨论
系统稳定性是系统的固有特性，与输入 信号无关
若系统闭环特征方程的根有重根，充要 条件还成立吗？
Pi 为单根
分量式为
ai
s pi
Pi 为二重根
分量式有
ai (s pi)2
时间分量 a i e p i t
时间分量 a i t e p it
c34
c13a7 a1c43 c13
c 44
2.分母总是上一行第一个元素； s n 4
cc 11 55
c14c23 c13c24 c14
c25
c14c33 c13c34 c14
c35
c14c43 c13c44 c14
c 45
3.次对角线减主对角线； 4ss .12 一行可cc 11 ,, nn同 1 乘以或同c 2 除,n 1 以某正数；
d
dt
l
d 2
d t2
h
mg
强调1：对于线性（线性化）系统而言，稳定与否仅取 决于系统自身结构，而与外界扰动无关。
强调2：达到新的平衡状态或恢复到原始状态，其间有 一个“允许”误差范围的原则。
o
b
c
M
稳定stable
d f
不稳定unstable
2. 系统稳定的充要条件
线性(化)系统时域数学模型为：
掌握控制系统的时域分析方法
内容
系统稳定性分析 稳态误差的计算 瞬态分析 时域性能指标 一阶、二阶系统分析
§3.5 控制系统的稳定性分析 (P70)
1.系统稳定的概念 2.系统稳定的充要条件 3.应用劳斯（Routh)判据判别系统 4. 稳定性
➢系统稳定性的完整概念
关于系统运动的稳定性理论， 是俄国学者李亚普诺夫 （А. М. Лялунов） 于1892年确立的。
则时间分量为：
aieitsiniti
根据收敛条件根的实部必须要小于零。
ci(t) i>0
ai
t
0
振荡发散
ai ci(t) 0
i<0
t 振荡收敛
ci(t) 1>2
ai
1 2
0
t
ci(t) >0
ai
=0
0 <0
t
系统稳定的充要条件：
系统所有闭环特征根即闭环极点必须为负 值，或者实部为负的共轭复数。也可以说，
0
因为
pi i j i
所以
i 0, i 1, 2, , n
重根情况
如果pi为二重根、三重根…时，分量式为
s
ai pi
2
,
s
ai pi
3
时间分量为：
aitepit，12 ait2epit， ...
则一样必须极点的实部为小于零。
共轭复数根情况
设共轭两根对应的分量式为：
sij aiis sb i ijis a isi 2b ii2
a0ddnct(nt)a1ddnt1nc(1t) an1dcd(tt)anc(t) b0ddmtrm (t)b1ddm t1m r(1t) bmr(t) (mn)
由经典解法知，其解为：
c(t)cT(t)cg(t)
在单位脉冲扰动的作用下，系统的输出为
c s G sR sR s 1 G s b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n
sn
a0
s n1
a1
a2
a4
a6
a3
a5
பைடு நூலகம்
a7
s n2
cc 11 33
a1a2 a0a3 a1
c23
a1a4 a0a5 a1
c33
a1a6 a0a7 a1
c 43
1右.劳移斯一行位列降第两一阶列；不动，下移一行降一阶， s n 3
cc1144
c13a3 a1c23 c13
c24
c13a5 a1c33 c13
“运动稳定性的一般问题” （The General Problem of the Stability
of Motion)
1. 系统稳定的概念
➢稳定的基本概念
稳定是使系统能够正常工作的必 要条件，所谓“稳定”是指在任 何扰动作用下，系统平衡遭到了 破坏，如果在经过了相当长时间 后，系统能达到一种新的平衡， 或者回到原来的平衡状态，那么 这个系统是稳定的。
5s .0n阶系c统1,n1的 a劳n 斯表共有n+1行。
系统稳定的充分必要条件是：
1、必要条件：ai(i0,1...n)同号，且处理为a i 0
形式； 2、充分条件：劳斯表中第一列所有元素的计算 值均大于零，则系统稳定；如果第一列出现小 于零的元素，则系统不稳定，并且第一列中数 值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根 的数目；如果出现零值，那么该系统存在纯虚 根，系统不稳定。
假设系统的n个特征根互异
si p ii ji,i 1 ,2 , n
则系统的输出表示成单极点形式：
Cs
n
Ms spi
n i1
ai spi
i1
其中ai为对应极点的留数，则时间响应为：
n
c t aiepit i1
为使系统稳定，则必须有
lim c t 0
t
n
从而
lim
t
i1
aie pit
反映元件及系统 的特性要正确
写出的数学式子
数
要简明
学
模
型
微分方程 传递函数 频率特性
结构图
• 实验法 • 解析法
信号流图 状态空间表达式
引言
自动控制系统好？差? 系统分析
典型的输入信号
时域分 析
单阶位复跃脉域析冲分 正斜频余坡域析弦分
时域性能指标
稳态性能 指标
稳定性
动态性能 指标
第三章 控制系统的时域分析
同号，所以系统 不稳定。
②第一列中数值
s1
1425 6 1
符号改变两次， 所以有两个正实
s0
5
部的根。
例2 特征方程为
D (s ) s 5 s 4 2 s 3 2 s 2 3 s 5 ＝ 0
列写劳斯表：
s5 1
s4 1
s 3 ε0
23 25 2
s2
2ε + 2
正数
ε
5
s1
4ε 4 5ε2 －2 2ε 2
（1）给出了系统稳定的判断方法； （2）给出了不稳定情况下判断右根个数的方法。
例1 已知系统的特征方程为
s4 2 s3 3 s2 4 s 5 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性，并确定 正实部根的数目。
解： 根据特征方程的系数列出劳斯表：
s4
1
3 5 ①第一列元素不
s3
2
s2
2314 1
2
40
5
必有
lti m (n 11)!ait(n1)epit pi00
问题：
高阶系统如何 判断稳定性？
3. 代数稳定性判据
➢劳斯判据（Routh) ---不必求解闭环特征方程的根，利用闭环 特征方程的系数判别稳定性。
闭环特征方程 D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n 0 ( a 0 0 )
系统所有的特征根必须位于S 平面的左半平
面。
➢系统稳定性的讨论
系统稳定性是系统的固有特性，与输入 信号无关
若系统闭环特征方程的根有重根，充要 条件还成立吗？
Pi 为单根
分量式为
ai
s pi
Pi 为二重根
分量式有
ai (s pi)2
时间分量 a i e p i t
时间分量 a i t e p it
c34
c13a7 a1c43 c13
c 44
2.分母总是上一行第一个元素； s n 4
cc 11 55
c14c23 c13c24 c14
c25
c14c33 c13c34 c14
c35
c14c43 c13c44 c14
c 45
3.次对角线减主对角线； 4ss .12 一行可cc 11 ,, nn同 1 乘以或同c 2 除,n 1 以某正数；
d
dt
l
d 2
d t2
h
mg
强调1：对于线性（线性化）系统而言，稳定与否仅取 决于系统自身结构，而与外界扰动无关。
强调2：达到新的平衡状态或恢复到原始状态，其间有 一个“允许”误差范围的原则。
o
b
c
M
稳定stable
d f
不稳定unstable
2. 系统稳定的充要条件
线性(化)系统时域数学模型为：