线性代数第二章第一节-矩阵的概念

1 p1 2 p2
npn
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1
am1
amn
n行数等于列数 n共有n2个元素
n行数不等于列数 n共有m×n个元素 n本质上就是一个数表
det(aij )
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An .
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
b11
b21
b31 b41
b12 b11
b22
b21
b32 b42
b31 b41
b122 b222
b322 b422
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
二、数与矩阵相乘
定义：数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为
A
A
a11
a21
a12 a22
a1n a2n
am1
am1
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m) A (m A)
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 0 0
例如
0

• 代价是尼奥必须进入矩阵，删除叛逃异变的强大病 毒—史密斯。
负矩阵
称矩阵
零矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn
为A的负矩阵,记作 –A.
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小 写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如
反例．设 A 0 10 1 1 21 5
则 AB 0 10 1 1 21 5
， B = 1 2 3 . 2 1 0
1 2 3 无意义. 2 1 0
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23 解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
8 7 6
（1）先行后列法
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg)
2 1 0 31
23
8 7 6
解：AB 1 2 1 2 3 3 0 3 ；
3 1 2 1 0
5 7 9
BA 1 2 3 2 1 0
23 1 2 9 4
38 31
通常采用：先行后列法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .

故得
B = −2
1 − 2 1 = 2 0 3 − 2 1 2 1 5 − 2 1 2 1
3 5 1 1 ∗ 1 −1 B = B = −1 −1 −1 B −2 0 − 2 −2
唉！太麻烦了！
两边左乘 左乘以 ， 解： 对等式 (2 E − C −1 B ) AT = C −1 两边左乘以C，得
解：
的伴随矩阵， 为三阶矩阵， 例6. 设A为三阶矩阵，A = 2, A*为A的伴随矩阵， 的伴随矩阵 为三阶矩阵 试计算行列式
4A−1 + A∗
解：
A2 + A − 4 E = 0, 其中E为单位矩 设矩阵A满足 其中E为单位矩 例7. 设矩阵A满足 试证A 可逆 并求其逆。 可逆， 阵。试证 - E可逆，并求其逆。 证明： 证明：
线性代数
任课教师: 任课教师: 房辉
线性代数-学习园地 线性代数 学习园地QQ号：215019205 学习园地 号
昆明理工大学系统科学与应用数学系
2
第一节 矩阵概念及其运算
矩阵的定义 矩阵的运算
3
几何背景： 几何背景：
A把长方形变成平行四边形 把长方形变成平行四边形 变成
B把平行四边形变成长方形 把平行四边形变成长方形 变成
先脱鞋子后脱袜子
证明： 证明：
可逆， 若A可逆，则定义 可逆 A0 = E A − m = ( A −1 ) m 则幂的性质 ( Am )n = Amn Am An = Am + n 对一切整数n， 都成立 都成立。 对一切整数 ，m都成立。 可逆矩阵又称为非奇异矩阵 非奇异矩阵。 可逆矩阵又称为非奇异矩阵。 不可逆矩阵称为奇异矩阵 奇异矩阵。 不可逆矩阵称为奇异矩阵。 例3. 判断下列矩阵可逆，并求其逆矩阵。 判断下列矩阵可逆，并求其逆矩阵。 0 2 − 1 B=1 1 2 − 1 − 1 − 1 解：

初等行变换
1
例3
设
1 A 2 3 2 2 4 2 2 2
2 2 4 3 1 3 3
3 1 1 ,求 A . 3 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
解
1 A E 2 3 1 r2 2 r1 0 r3 3 r1 0
1 0 1 1 1 0 1 1
第i 行
第 j 行
( 2) 以数 k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第 矩阵 i 行 ( ri k ) , 得初等
E ( i ( k ))
1 E ( i ( k )) 1
1
变换 ri kr j 的逆变换为 则
E ( ij ( k ))
1
E ( ij ( k )) .
二、初等矩阵的应用
引例
2 1 3
1 0 0 1 0 5
5 2 0
0 5 0 0 1 0
2 0 6 1 4 0
0 2 0 1 1 3 0 2 0 1 1 3
, F 可逆 , r n ,
A , P1 , P 2 , , P l 均可逆
即 F E ,
A P1 P 2 P r EP r 1 P l P1 P 2 P l .
r
3、推论1 方阵A可逆的充分必要条件是 证
A 可逆的充要条件是
E ~ A .
存在有限个初等方阵
即 A E (1 , 2 )
1
E ( 1 , 2 ) BE ( 1 , 3 ( 1 ))