线性代数第二章矩阵(答案解析)

第二章一、选择题 1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ） A. 11AB B A --= B. 11A B BA --= C. 1111A B B A ----= D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ） A. ()2r B = B.()2r B < C. ()2r B ≤ D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。

(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,ia i n ≠= ），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求TA A的值为_________。

4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。

四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解 原式()1292(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 解求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--， 2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-,12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==--故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证 由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。

第二章 矩阵及其运算1 已知线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A T B解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x (a 11x 1?a 12x 2?a 13x 3 a 12x 1?a 22x 2?a 23x 3 a 13x 1?a 23x 2?a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5 设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B 问(1)ABBA 吗 解 ABBA 因为⎪⎭⎫⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA 所以ABBA(2)(AB )2?A 22ABB 2吗 解 (AB )2?A 22ABB 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610所以(AB )2?A 22ABB 2 (3)(AB )(AB )A 2B 2吗 解 (AB )(AB )A 2B 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(AB )(AB )A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的（也可参考书上的答案） (1)若A 20 则A 0 解 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0 (2)若A 2?A 则A 0或AE 解 取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A 则A 2?A 但A 0且AE (3)若AXAY 且A 0 则XY 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AXAY 且A 0 但XY7 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2? A 3 A k 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A 求A k解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ02)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明当k 2时 显然成立 假设k 时成立，则k 1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121 （也可提取公因式，变成书上的答案）9 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵 证明 因为A T A 所以 (B T AB )T B T (B T A )T B T A T BB T AB 从而B T AB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是ABBA 证明 充分性 因为A T A B T B 且ABBA 所以 (AB )T (BA )T A T B T AB 即AB 是对称矩阵必要性 因为A T A B T B 且(AB )T AB 所以 AB (AB )T B T A T BA11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A |A |1 故A 1存在 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A |10 故A 1存在 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A |A |20 故A 1存在 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A AA A A A A A所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a O 0021(a 1a 2 a n 0)解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A O 0021由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211O12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14 设A k O (k 为正整数) 证明(EA )1EAA 2 A k 1 证明 因为A k O 所以EA k E 又因为 E ?A k (EA )(EAA 2 A k 1) 所以 (EA )(EAA 2 A k 1)E 由定理2推论知(EA )可逆 且 (EA )1EAA 2 A k 1证明 一方面 有E (EA )1(EA ) 另一方面 由A k O 有 E (EA )(AA 2)A 2 A k 1(A k 1A k ) (EAA 2? A k 1)(EA ) 故 (EA )1(EA )(EAA 2 A k 1)(EA ) 两端同时右乘(EA )1 就有(EA )1(EA )EAA 2 A k 115 设方阵A 满足A 2?A 2EO 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E )1 证明 由A 2?A 2EO 得 A 2?A 2E 即A (AE )2E或E E A A =-⋅)(21 由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A -=- 由A 2?A 2EO 得A 2?A 6E 4E 即(A 2E )(A 3E )4E 或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A 2E )可逆 且)3(41)2(1A E E A -=+-证明 由A 2?A 2EO 得A 2?A 2E 两端同时取行列式得 |A 2?A |2 即 |A ||AE |2 故 |A |0所以A 可逆 而A 2EA 2 |A 2E ||A 2||A |20 故A 2E 也可逆 由 A 2?A 2EO A (AE )2E A 1A (AE )2A 1E )(211E A A-=- 又由 A 2?A 2EO (A 2E )A 3(A 2E )4E (A 2E )(A 3E )4 E 所以 (A 2E )1(A 2E )(A 3E )4(A 2 E )1)3(41)2(1A E E A -=+-16 设A 为3阶矩阵 21||=A 求|(2A )15A *|解 因为*||11A A A =- 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A|2A 1|(2)3|A 1|8|A |1821617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A *也可逆 且(A *)1(A 1)* 证明 由*||11A A A =- 得A *|A |A 1 所以当A 可逆时 有 |A *||A |n |A 1||A |n 10 从而A *也可逆因为A *|A |A 1 所以 (A *)1|A |1A 又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以 (A *)1|A |1A |A |1|A |(A 1)*(A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A * 证明 (1)若|A |0 则|A *|0 (2)|A *||A |n 1 证明(1)用反证法证明 假设|A *|0 则有A *(A *)1E 由此得 AA A *(A *)1|A |E (A *)1O所以A *O 这与|A *|0矛盾，故当|A |0时 有|A *|0 (2)由于*||11A A A =- 则AA *|A |E 取行列式得到 |A ||A *||A |n 若|A |0 则|A *||A |n 1若|A |0 由(1)知|A *|0 此时命题也成立 因此|A *||A |n 119 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ABA 2B 求B解 由ABA 2E 可得(A 2E )BA 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且ABEA 2B 求B解 由ABEA 2B 得 (AE )BA 2E 即 (AE )B (AE )(AE )因为01001010100||≠-==-E A 所以(AE )可逆 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A *BA 2BA 8E 求B 解 由A *BA 2BA 8E 得 (A *2E )BA 8E B 8(A *2E )1A 1 8[A (A *2E )]1 8(AA *2A )1 8(|A |E 2A )1 8(2E 2A )1 4(EA )14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-= 2diag(12 1)22 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A 且ABA 1BA 13E 求B解 由|A *||A |38 得|A |2 由ABA 1BA 13E 得 ABB 3AB 3(AE )1A 3[A (EA 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中⎪⎭⎫⎝⎛--=1141P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001 求A 11解 由P 1AP 得APP 1 所以A 11? A =P 11P 1. |P |3⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设APP 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511 求(A )A 8(5E 6AA 2) 解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)] diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A )P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及AB 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵 证明 因为A 1(AB )B 1B 1?A 1?A 1B 1而A 1(AB )B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(AB )B 1可逆 即A 1B 1可逆 (A 1B 1)1[A 1(AB )B 1]1B (AB )1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 （最后一行的-9也可除以-1变成9，从而变成书上的答案） 27 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A ≠ 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A 而01111|||||||| ==D C B A 故 |||||||| D C B A D C B A ≠28 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A 求|A 8|及A 4 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143 由此得⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321 由此得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001。

第二章 矩阵及其运算课后习题答案1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换． 解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111111A ,,150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求.23B A A AB T 及- 解 A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x ()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=(6) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问： (1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗? 解 (1)⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B . 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴ (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫⎝⎛=2914148但=++222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+ (3) =-+))((B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛10205222⎪⎭⎫⎝⎛9060 而 =-22B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎭⎫⎝⎛7182 故 22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的: （１）若02=A ,则0=A ;（２）若A A =2,则0=A 或E A =; （３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =. 解 (1) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A , 02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A , A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y . AY AX =且0≠A 但Y X ≠. 7．设⎪⎭⎫⎝⎛=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=12011011012λλλA ; ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A利用数学归纳法证明: ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A k k由数学归纳法原理知:⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明:当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵. 证明 已知：A A T =则 AB B B A B A B B ABB T T T T TT T T===)()(从而 AB B T 也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =. 证明 由已知：A A T = B B T =充分性：BA AB =⇒A B AB TT=⇒)(AB AB T=即AB 是对称矩阵. 必要性：AB ABT=)(⇒AB A B T T =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解 (1) ⎪⎭⎫⎝⎛=5221A , 1=A ..1 ),1(2 ),1(2 ,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A . *-=A A A 11⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225(2) 01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A(3) 2=A , 故1-A 存在 024312111==-=A A A 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a A 0021. 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X ; (3) ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; (4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021********0100001100001010X .解(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2) 1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122 (3) 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4) 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14．设O A k =(k 为正整数), 证明：121)(--++++=-k A A A E A E . 证明 一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-两端同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A . 所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒- 又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设A 为3阶矩阵，21=A ，求*13)2(A A --。

第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k. 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=θθθθc o s s i ns i n c o s *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθc o s s i ns i n c o s .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;解1111012112234311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1. 19.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B ,求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A ,所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E ,B =-8(A *-2E )-1A -1=-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21,1 ,21(d i a g 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而 01111||||||||==D C B A , 故 |||||||| D C B A DC B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A .29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====snE BC OBC OAC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111.(2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A .30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。

线性代数第二章矩阵(答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第一节 矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵23⨯A ，32⨯B ，33⨯C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC2．设)21,0,0,21(=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ]（A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）03．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题：1．⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12125614321028244612．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432112122121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101012121234B ，则=+B A 32⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--561252527813143．=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛496354．=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6520876三、计算题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，4⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A T;2294201722213222222222209265085031111111112150421321111111111323⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-A AB .092650850150421321111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--===AB B A A A A TT ，则对称，由线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第二节 逆 矩 阵一．选择题1．设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1-*=A A A （B ）1-*=n AA （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B |3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）A A λλ= （B ）A A λλ= （C ）A A n λλ= （D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2 二、填空题：1．已知A B AB =-，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1221B ，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121211A 2．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ，则X = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-40132 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则6421nBA -=-*4．设矩阵A 满足042=-+E A A ，则)2(21)(1E A E A +=--三、计算与证明题： 1．设方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 和12-+)(E A;2)2(2)(0212E A A A E E A A E E A A E A A -=⇒=-⇒=-⇒=---可逆，且 .43)2(2)2)(43(4)2)(3(04)2(3)2(023)2(0212EA E A E A EE A E A EE A E A E E A E A A E A E A A E A A --=++⇒=+--⇒-=+-⇒=++-+⇒=--+⇒=---可逆，且2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求A 的逆矩阵1-A解：设3)(ij a A ，则,24321)1(,12311)1(,02412)1(,144521)1(,61511)1(,21412)1(,324543)1(,131523)1(,414243333233231313223222221213113211211-=-=-=---==---==--==--==---=-=--=-=--=-=--=++++++++A A A A A A A A A从而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=214321613024*A .又由261412614512300121452431211312=--=--+----=c c c c A则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-1716213213012*1A A A3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A 且满足B A AB 2+=，求 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⇒=-⇒+=321011330121011332)2(2B AB E A BA AB⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0111003210103300010111003210100110113011100352310011011)21(02220035231001101133011035231001101123211213303320110113211210110113303322132323131221r r r r r r r r r r r r r则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-011321330)2(1A E A B线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第三节（一） 矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------÷-÷-÷⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------22100221002210034311534101050066300884003431132312433023221453334311432141312r r r r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0000000000221003201130********02210034311212423r r r r r r二、把下列矩阵化为标准形：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------76750129880111104202132347310382373132420213473103823420217313214131221r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----410002120011110420212120041000111104202158432423r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--410002020020010400212141000202003011040021232414243r r r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+010*******000100000142410001010020010000012141000202002001000001243253221c c c c r r r r 三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1210232112201023A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100012100001102300101220010023211000121001002321001012200001102331r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----00101220030159401001210010023211000121003015940001012200100232134213r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612100043011100100012100100232122010120043011100100012100100232124342423r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------+1061210006311010010********11021231061210006311010011612021020112432123231434241r r r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+10612100063110100101000104211001221r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=∴-106126311101042111A 四、已知111101022110110014X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求X3132233131111011111011111010221100221100221101100140211130030232110123111101211022110020123322001010010133r r r r r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎛⎫ ⎪-- ⎪⨯-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭21221511012100332611111010101012262622001010010133r r r ⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故15326111262013X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号 第三节（二） 矩 阵 的 秩一．选择题1．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB = 0，则A 和B 的秩 [ D ] （A ）必有一个等于零 （B ）都等于n （C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都不等于n2．设n m ⨯矩阵A 的秩为s ，则 [ C ]（A ）A 的所有s －1阶子式不为零 （B ）A 的所有s 阶子式不为零（C ）A 的所有s +1阶子式为零 （D ）对A 施行初等行变换变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE3．欲使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12554621231211t s 的秩为2，则s ，t 满足 [ C ]（A ）s = 3或t = 4 （B ）s = 2或t = 4 （C ）s = 3且t = 4 （D ）s = 2且t = 4 4．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则 [ B ]（A ）当n m >时，必有行列式0≠||AB （B ）当n m >时，必有行列式0=||AB （C ）当m n >时，必有行列式0≠||AB （D ）当m n >时，必有行列式0=||AB5．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有=B [ C ]（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12 二．填空题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A ，则=)(A R 22．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=12221232121a a a A 的秩为2，则a 应满足 a =-1或3三、计算题：1．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=02301085235703273812A ，求)(A R 。

习题 二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=； （2）500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （3） []32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4）()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （5） 111213212223313233100011001a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （6） 1210131010101210021002300030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】(1) 32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4) 3322211122233312211213311323322311()()()ij iji j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 1252012400430009⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 2. 设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ， 求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 22()()-=-A+B A B A B 吗?【解】(1) 2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦AB BA (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ， 则=A O ； (2) 若2=A A ， 则=A O 或=A E ； (3) 若AX =AY ，≠A O ， 则X =Y . 【解】(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0(2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,0111210110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y .4. 设101A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k .【解】2312131,,,.010101kk λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A L 5. 100100λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =， 求23A ,A 并证明：121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =.【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A = 今归纳假设121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k k k k k k k k k kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A= 所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =6. 已知AP =PB ，其中100100000210001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P =求A 及5A .【解】因为|P |= -1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PBP而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PBP PB P A7. 设a b c d ba dc cd a b dcb a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b c d b a dc a b cd a b c d c d a b dcba *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A 又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即 42222222224()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A E 于是有22222()a b c d ==-+++A . 8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X AY Y Bz X AY ABz z,从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵.【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A ,所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB , 故'B AB 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) AB -BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= -B ,故(B 2)′=B ′·B ′= -B ·(-B )=B 2;(AB -BA )′=(AB )′-(BA )′=B ′A ′-A ′B ′= -BA -A ·(-B )=AB -BA ;(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′= -BA +A ·(-B )= -(AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，AB -BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d a a bcd c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦.由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数.13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得11122233333323232302300023222.023333c b c cb c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数. 14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1) 1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2) 123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4) 1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5) 5200210000830052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0nn a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦L O ，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1) 5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2)121012001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3) 12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4) 100011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦; (5) 1200250000230058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O. 15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ 【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而1110022110≠- 故112311101111122.02211130122*********x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）-1=（A -1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)-1. 【证明】（1） 因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |·|B |·B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A * =(AB ) *A |B |EA *=|A |·|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0, ∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A -1,从而(A -1) *=|A -1|(A -1)-1=|A |-1A . 于是A * (A -1) *=|A |A -1·|A |-1A =E ,所以(A -1) *=(A *)-1. (3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A -1=A ′. 由(2)(A *)-1=(A -1) *,得(A *)-1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换. 【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X AY且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1) 12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =； (2)211211************--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ；(3) 142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4) 010100043100001201001010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B同理(2) X =100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.034102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若kA =O (k 为正整数)，证明：121()k ---L E A =E +A+A ++A .【证明】作乘法212121()()k k k k k ----=-----=-=E A E +A+A ++A E +A+A ++A A A A A E A E,L L L 从而E -A 可逆，且121()k ---L E A =E +A+A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A -1及(A +2E )-1.【证】因为A 2-A -2E =0, 故212().2-=⇒-=A A E A E A E由此可知，A 可逆，且11().2-=-A A E同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E,A E A E E,A E A E E. 由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A+B ,求B . 【解】由AB =A +2B 得(A -2E )B =A .而22310,1102121==-≠---A E即A -2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A 22. 设1-P AP =Λ. 其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ， 求10A . 【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A P P P P ΛΛ 23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++L ，记01()mm f a a a =+++L A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =， 证明12kk k λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 设1-A =P BP ， 证明1k k -B =PA P ，1()()f f -=B P A P . 【证明】(1)232311232200,00λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,000kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m m m m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L L L L A E +A++A ++++++ (2) 由(1)与A =P -1BP ,得B =PAP -1.且B k =( PAP -1)k = PA k P -1,又0111011011()()().mm m m mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B B E PAP PA P P E A+A P P A P L L L24. a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc c d c d ad bca bc ab bd a ad ab bd ad bc ac cd cb d ac cd ad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E0 故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=. 25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若｜A ｜＝０，则｜*A ｜＝０；(2) 1n *-=A A .【证明】（1） 若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)-1=E ,由此又得 A =AE =AA *( A *)-1=|A |( A *)-1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n ,若|A |≠0，则| A *|=|A |n -1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n -1.26. 设52003200210045000073004100520062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1) AB ; (2)BA ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k (k 为正整数). 【解】(1)2320001090000461300329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB =; (2) 19800301300003314005222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦BA =;(3) 11200250000230057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)k k =-A . 27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2）00310021********-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******0001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【解】(1) 对A 做如下分块 12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00其中1230012;,01025001⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.000030001000001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A A A A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A。

第二章 矩 阵教学基本要求： 1. 理解矩阵的概念.2. 了解基本矩阵（单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵等）及其基本性质.3. 掌握矩阵的各种运算（加法、数乘、乘法和转置运算）及其运算规律.4. 理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充要条件.5. 了解分块矩阵的概念.6. 了解矩阵的初等变换概念，了解初等矩阵，掌握用初等变换求逆矩阵的方法.7. 了解矩阵等价的概念.8. 理解矩阵秩的概念，掌握求秩的方法.线性代数是“矩阵”的代数，矩阵有着广泛的应用.一、矩阵的概念及其运算 1. 矩阵的概念长方形数表：111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵，常记作()ij A a =或()⨯=ij m n A a 或m n A ⨯等.行数相同、列数也相同的矩阵称为同型矩阵. 元素全是实数的矩阵称为实矩阵.以下只讨论实矩阵. 2. 基本矩阵行矩阵——只有一行的矩阵，即()12n a a a .列矩阵——只有一列的矩阵，即12m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.零矩阵——元素皆为零的矩阵，即000000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 负矩阵——111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ∆---⎛⎫⎪---⎪=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭. n 阶矩阵(n 阶方阵)——行数与列数相等的矩阵，简记作n ij a A )(=或n A .0()0()0()() 1()(=∀>=∀<=∀≠⊃=∀⊃⊃=∀=∀ij ij ij ii ii ij ji a i j a i j a i j a a i a i a a 上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵数量矩阵方阵单位矩阵对称矩阵,) (,)⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=-∀⎪⎩ij ji i j a a i j 反对称矩阵3. 矩阵运算及运算规律 (1)相等 (,)ij ij A Ba b i j =⇔=∀(2)加法(减法) 设p n ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(，则=+B A ()ij ij m n a b ⨯+ (n m ij ij b a B A B A ⨯-=-+=-)()().运算规律：A B B A +=+； (交换律）；()()A B C A B C ++=++； (结合律).)(O A A A O A =-+=+；(零矩阵的加法作用)(3)数乘 设n m ij a A ⨯=)(，则=kA n m ij ka ⨯)(. 运算规律：1A A =；()()()().kl A k lA k l A kA lA k A B kA kB =+=++=+；；(分配律)(4)乘法 设(),()ij m n ij n p A a B b ⨯⨯==，则()ij m p C AB c ⨯==，其中1pij ik kjk c a b==∑.运算规律：()()AB C A BC =（结合律）()()()k AB kA B A kB ==（结合律） ()A B C AB AC +=+（左分配律）()A B C AC BC +=+（右分配律）m n n m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯==（单位矩阵的乘法作用） m n n p m p p m m n p nA O O O A O ⨯⨯⨯⨯⨯⨯== (零矩阵的乘法作用).)(,,)(,,1k k k kl l k l k l k k k B A AB BA AB A A A A A A A A =====+-则若 其中k 与l 皆为正整数. (方阵的幂)注意：乘法没有交换律、幂零律和消去律. 例如，01121034A B AB BA ⎛⎫⎛⎫==⇒≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，； 21111A A O ⎛⎫=⇒= ⎪--⎝⎭；，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102B 1120C AB AC ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭.(5)转置 n m ij a A ⨯=)(，112111222212n n Tmmnm n ma a a a a a A a a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.A 为对称矩阵，即A =A T ；A 为反对称矩阵，即A =-A T .运算性质：A A TT =)(， TTTB A B A +=+)(，T T kA kA =)(， T T T A B AB =)(.4. 矩阵应用设111111212122222212,,,n n m m mn m n m y x b a a a a a a y x b A Y X B a a a y x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)矩阵表示线性映射⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222121212121111n mn m m m nn n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y⇔=Y AX . (2)矩阵表示线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212*********m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a⇔=AX B . 二、逆矩阵(P 36)逆矩阵在矩阵理论和应用中起着重要作用. 1. 方阵的行列式(P 36)设()ij n A a =，则行列式ij na 称为A 的行列式，记作det A 或A .运算性质：设A ,B 均为n 阶方阵，则det det =T A A ，det()det =⋅n kA k A ，det()det()det()det()==⋅AB BA A B .(证明见第一章例1.7)例2.1(1)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43210110B A ，，计算,4,,+,,,+nA AA AB A B A BB A. (2)设A 为3阶矩阵，且2A =-，求2TA A A .(3)设四阶矩阵234234(),()A B αγγγβγγγ==，且|A |=2, |B | =3，求|A +B |.例2.2 设矩阵210320004⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足23=+AB B E ，求det B .2. 伴随矩阵(P 37)由方阵()=ij n A a 的行列式的每一个元素的代数余子式(1,2,,,1,2,,)ij A i n j n ==构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111称为A 的伴随矩阵，记作*A .事实上，Tnn n n n n A A A A A A A A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 212222111211*.运算性质：**AA A A A E ==， 1*n A A-=， *1*()n kA k A -=，2**()n A AA -=， **()()T T A A =， ***()AB B A =.例2.3 (1)设1234⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，求*A .(2)设120311041-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求*B .解总结：*a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭.3. 逆矩阵设A 为n 阶方阵，若存在矩阵B 使AB =BA =E ，则称矩阵A 是可逆矩阵(或可逆的)，称B 为A 的逆矩阵，记为1-=A B (读作A 的逆)；否则，称A 是不可逆矩阵(或不可逆的).可逆矩阵又叫非奇异矩阵，不可逆矩阵又叫奇异矩阵.性质：(1)逆矩阵是惟一的.(2)矩阵A 可逆的充分必要条件是det A ≠0.且当det A ≠0时，A -1=(1/det A ) A *. 推论 设A 是方阵，若存在矩阵B 使AB =E （或BA =E ），则A 可逆，且A -1=B .(3)若,A B 可逆，数0k ≠，则1*,,,,-T A A kA A AB 皆可逆，且11()--=A A ，111()--=kA A k，11()()--=T T A A ， *11*1()()det A A A A--==，111()---=AB B A .规定：若A 可逆，则A 0 =E ，A -k =( A -1) k =(A k ) -1，k 为整数.4. 矩阵可逆的判定(1)矩阵A 可逆的充分必要条件是det A ≠0.(2)矩阵A 可逆的充分必要条件是存在矩阵B 使AB =E （或BA =E ）.5. 逆矩阵的计算(1)伴随矩阵法 当det A ≠0时，A -1=(1/det A ) A *.(2)初等行变换法 (A | B ) → (E | A -1). (原理见下面的四) (3)定义法 令AX =E ，求出X ，即为A -1.例2.4 1-⎛⎫=⎪⎝⎭a b c d .例2.5(例2.7 P 38) 设矩阵A 满足3222+-=A A E O ，证明矩阵+A E 可逆.证 因为3222+-=A A E O ，所以322A A E E +-=，2()()A E A A E E ++-=.故+A E 可逆，且12()A E A A E -+=+-.以后还会陆续给出新的判定矩阵可逆的条件，并给出计算逆矩阵的常用方法——初等变换法.三、分块矩阵 1. 定义用横线与竖线将矩阵分成若干“小矩阵”块，称为子块或子矩阵，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.2. 分块矩阵的运算相等、加法、数乘、乘法、转置、逆.注意：(1)做分块矩阵相等和加法运算，要求矩阵同型且分块形式相同；(2)做分块矩阵乘法运算时，前面矩阵的列数不仅要与后面矩阵的行数相等，且前面矩阵的列块分法要与后面矩阵的行块分法相同；(3)分块矩阵的转置运算须进行“两转”. (4)用拟矩阵定义求分块矩阵的逆.3. 分块对角矩阵对角线上的子块均是方阵，而其它子块皆为零矩阵的分块矩阵称为分块对角阵.即12n A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(其中(1,2,,)iA i n =是方阵).运算性质： (1) 12n A A A A =⋅； (2) 若0(1,2,,)i A i n ≠=，则111121n A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (3) 设1122,n n A B A B A B A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是分块完全一致的分块对角阵，则1122n n A B A B AB A B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.四、矩阵的初等变换 1. 矩阵的初等变换以下三种变换： (1)交换矩阵的两行；(2)矩阵的某行元素乘以同一个不为零的数；(3)矩阵的某行元素乘以同一个数后加到另一行对应元素上， 分别称为矩阵的第一、二、三种初等行变换.若把“行”换成“列”，则是矩阵的三种初等列变换.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.初等变换是可逆变换.如果矩阵A 可以经过有限次的初等变换化为矩阵B ，则称A 与B 等价，记为A ～B .矩阵等价的性质： (1)反身性：A ～A ；(2)对称性：若A ～B ，则B ～A ； (3)传递性：若A ～B ，B ～C ，则A ～C .2. 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵(P 45-46)行阶梯形矩阵和行最简形矩阵在矩阵秩的理论和线性方程组的求解理论中有着重要的作用.每一行的第一个不为零元素的下方及左下方的所有元素都是0的矩阵称为行阶梯形矩阵.第i 个元素不为零但其以下元素全为零的列称为第i 阶梯列.若第i 阶梯列的第i 个元素为1其余元素都为0，则称为第i 标准列.各阶梯中都有标准列的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.例如，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000002100015302，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000410083521是行阶梯形矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000210015002，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000010000010080021 是行最简形矩阵.定理2.1(定理2.4 P 46) 任何矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.例2.6(例2.10 P 46) 用初等行变换把矩阵360613142220-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A变化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.定理2.2(定理2.5 P 46) 任意矩阵A 都与形为rE O O O ⎛⎫⎪⎝⎭的矩阵等价，其中r E 为r 阶单位矩阵(r 为A 的秩，由A 唯一决定). rE O O O ⎛⎫⎪⎝⎭称为A 的等价标准形.例如，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=654321A 的等价标准形为100010⎛⎫⎪⎝⎭.矩阵的初等变换可以推广到分块矩阵上(P 47).五、初等矩阵 1. 初等矩阵初等矩阵——对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵.初等矩阵有如下三种类型：[,]E i j ——单位矩阵的第i , j 两行(列)互换所得到的矩阵； [()]E i k ——单位矩阵的第i 行(列)乘以非零常数k 所得到的矩阵；[()]+E i j k ——单位矩阵的第j 行(第i 列)的k 倍加到第i 行(第j 列)所得到的矩阵.定理2.3(定理2.6 P 49) 初等矩阵是可逆的，其逆矩阵是同类型的初等矩阵.111[,][,],[()][()](0),---==≠E i j E i j E i k E i k k1[()][()]-+=+-E i j k E i j k .定理2.4(定理2.6 P 49) 对m n ⨯矩阵A 作一次初等行变换，等同于在A 的左侧乘以相应于该变换的m 阶初等行矩阵；对m n ⨯矩阵A 作一次初等列变换，等同于在A 的右侧乘以相应于该变换的n 阶初等列矩阵.该定理的数学语言为[,]↔→⇔=i j r r A B E i j A B ([,]↔→⇔=i jc c A B AE i j B )⇔→⨯B A k r i [()]=E i k A B (⇔→⨯B A kc i [()]=AE i k B )⇔→+B A j i kr r E[()]+=i j k A B (⇔→+B A ij kc c [()]+=AE i j k B )例如，120103100101001001001214100010010013A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示的变换过程为2313221211()32423r c c c c r r c c A B ⨯-----→→→→→.例2.7 设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，求满足AQ =C 的可逆矩阵Q .解 C B B A c c c c 2321,+↔→→，即010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以010100011100011100001001001Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.定理2.5(定理2.7 P 49) 矩阵A ，B 等价的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P 1, P 2,… ,P l 与Q 1, Q 2,…, Q t ，使A=P l P 2…P 1B Q 1Q 2…Q t .定理 2.6(定理 2.8 P 49) 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵.可逆矩阵等于有限个初等矩阵的乘积.推论(推论 P 50) 矩阵A ，B 等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P ，Q ，使PAQ =B .2. 初等变换求逆矩阵设A 可逆，那么1-A 存在，并且111,.A A E A E A ---⎧=⎨=⎩根据定理2.6，设111k k A P P P --=，代入上式即得11111,.k k k k P P P A E P P PE A ---=⎧⎨=⎩上式表明：如果对矩阵A 做某些初等行变换，就对同阶的单位矩阵E 做完全相同的初等行变换，那么当这些初等行变换把A 变为E 时，就会把E 变为1-A ，即()()1AE E A -→.例2.8 试用初等变换法求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100112110A 的逆矩阵.解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛↔10000101010011011210001000110011211021 r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→--1001010111000100023132 r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⨯10010102121100010001211 r . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-100101021211A .初等矩阵及其性质，可以推广到分块矩阵上(P 50-52).3. 逆矩阵的应用(1)利用逆矩阵解线性方程组1A AX B X A B ≠-==.()()1A B E A B -→.例2.9 解矩阵方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X .解 因为03152≠，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X.8023212642153⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 例2.10 解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--521234311111012111X . 解 TT T X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--521234311111012111 121141111132101325⎛⎫⎪-→ ⎪ ⎪-⎝⎭→100549010457001224---⎛⎫⎪⎪ ⎪---⎝⎭. 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=479254245X .(2)利用逆矩阵求线性映射的逆映射1A Y AXX A Y ≠-==.例2.11 求线性映射121111101Y X ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆映射.解 由上例可知，1121549111457101224----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故所求逆映射为549457224X Y ---⎛⎫⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭.类似地，初等矩阵及其性质也可以推广到分块矩阵上(P 50).六、矩阵应用实例[实例2-1] 利用矩阵的基本运算解决实际问题 [实例2-2] 人口迁移问题 [实例2-3] 密码问题七、习题(P 57) 选择题：1. 提示：|A|=2,|B|=3⇒ *1234A,B O A O A O A A (1)B 66E B O B O B O +++⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫=⋅-=⇒= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可逆显然，可以排除C 、D 选项.而**2A EO O A 4E O O 3B O 3B E B O O 9E 2A O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选B .2. 提示： 2312r r c c A B E ↔+→→111121E(2,3)AE(21(1))EA E (2,3)E (21(1))E(2,3)E (21(1))P P----⇔+=⇔=+=+=3. 选D .4. 选C .5. 选D .6. 提示：A 2=O ⇒ E –A 2= E –O ⇒ (E –A)(E+A)=E ⇒ 选D. 填空题：2. 提示：A ≠O ，A ij +a ij =0(i,j=1,2,3) ⇒ A *=A T , |A|≠0⇒ AA T =–AA *=–|A|E ⇒ |A|2=–|A|3 ⇒ |A|= –1 .3. 提示：B 2004=(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A 2004PA 2=111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, A 4=E ⇒ B 2004–2A 2=P -1A 2004P –2A 2=P -1P –2A 2=E –2A 2=331⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭.4. 提示：A –3B=(–2α1, –2α2, –2α3, α–3β)⇒ |A –3B|=|–2α1, –2α2, –2α3, α–3β|=(–2)3|α1, α2, α3, α–3β|=–8(|α1, α2, α3, α|+|α1, α2, α3, –3β|)=–8(|A|–3|B|)= 565. 提示：令X=e i (i=1,2,…,n), 依次带入AX=O 中，即可得A=O. 解答题：1. 本题的意义：矩阵乘法不具有交换律，所以矩阵一般不具有数的平方差、立方差……等公式，但可交换矩阵是具有平方差、立方差……等公式的. 方阵与单位矩阵可交换.2.3. 提示： 2T3A A ,A E =-=-61152T A E,A A A A ⇒===-==4. 提示：若AP PB =，即1A PBP -=，则n 1nn1n m PB P B a A A a -⎧⎪⎛⎫⎪=⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，如果是对角阵，，如果是对角阵. 设B=P -1AP ，则B=72⎛⎫⎪-⎝⎭，n1n1n n 233371(P AP)P A P 13129(2)---⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.(1)提示：分块对角阵(2)提示：方法一 2A 4E = ⇒ 11AA 4-=方法二 初等变换法 略.6. 提示：解矩阵方程 (E –A)X=B ⇒ (E –A | B) → (E | A -1B)7. 证 ∵ *,0AA A E A =≠∴ *nA A A =1*1n n A Aa --==8. 证 设()ijn nA a ⨯=. 假设0A =，则*TA A A A A E O ===，于是210,1,,nijj ai n ===∑. 由于A 为实数矩阵，因此0,,ij a i j =∀，即A O =，这与已知条件矛盾，所以必有0A ≠.9. 提示：A m =E ⇒ A 可逆 ⇒ A *=|A|A -1 ⇒ (A *)m =|A|m (A -1)m =|A|m (A m )-1 =E10. 提示：B(A –E)=2E ⇒ |B||A –E|=4|E| ⇒ |B|=4|E|/|A –E|11. det(A+B -1)=det[A(A -1+B)B -1] =det(A)det(A -1+B)det(B -1)=3×2×0.5=3.12. 证 ∵ (E –A)(E+A+…+A k-1)=E+A+…+A k-1–(A+…+A k )=E∴ E –A 可逆，且(E –A)-1=E+A+…+A k-1.13. 提示：∵ (E+BA)(E –B(E+AB)-1A)=E –B(E+AB)-1A+BA –BAB(E+AB)-1A =E+BA –B[(E+AB)-1+AB(E+AB)-1]A =E+BA –B(E+AB)E+AB)-1A= E+BA-BA=E∴ E+BA 可逆，且(E+BA)-1=E –B(E+AB)-1A.14. 提示：2A -1B=B-4E ⇒ 2B= AB-4A ⇒ AB-2B=4A⇒ (A-2E)B=4A ⇒ (A-2E)B-4(A-2E)=8E ⇒ (A-2E)(B-4E)=8E⇒ (A-2E)可逆，且(A-2E)-1=(B-4E)/815. 提示：C=A+CA ，B=E+AB⇒ CB=AB+CAB ，CB=C+CAB ⇒ AB=C ⇒ B=E+C ⇒ B-C=E16. 提示：A 2+A-3E=O⇒ (A-E)(A+2E)=E⇒ (A-E)、(A+2E)可逆，且(A-E)-1=(A+2E)17. 提示：运用初等变换与初等矩阵的关系(1)E (2,3)A=B ⇒ P=E (2,3)； (2) E(3+2(-2))A=B ⇒ P=E(3+2(-2))；(3) E(1,2)E(3+1(2))A=B 或 E(3+2(2))E(1,2)A=B⇒ P=E(1,2)E(3+1(2))A 或 P=E(3+2(2))E(1,2).18. 提示：3212c c c c A B C AE(1,2)E(2,3(1))C +↔→→⇔= ⇒ Q=E[1,2]E[2+3(1)].19. (1)5232214583415262AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23201095014329⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4)1115212212523835852A ---⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪== ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)88852*******A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21. 解 设第i (i =0,1,2,3)年后各年龄组的动物只数分别为x i ,y i ,z i ，则x 0=y 0=z 0=1000，1110430.50000.250i i i i i i x x y y z z +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，2200200200330303004320.75027500.50002 1.53500,00.2500.125001250430.50000.2500.37586 1x x x y y y z z z x x y y z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=000143750.37501375.00.50.375875x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭八、计算实践实践指导：（1）注意矩阵与行列式在含义上、形式上以及运算性质上的区别； （2）注意矩阵进行运算的条件与规则，熟知矩阵运算的运算规律及注意事项； （3）了解方阵的行列式、伴随矩阵的概念及其性质；（4）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的条件； （5）掌握矩阵的初等变换及用其求逆矩阵的方法； （6）了解分块矩阵、尤其是分块对角阵及其运算规律； （7）会矩阵、逆矩阵以及分块矩阵的简单应用. 例2.1 已知()11123,123⎛⎫α=β= ⎪⎝⎭，设TA =αβ，求n A . 解 注意到行矩阵乘以同维列矩阵的积的结果是数，而列矩阵乘以同维行矩阵的积一般是矩阵，所以nA 的n 次幂计算并不可怕. 根据矩阵与矩阵乘法的结合律，有()()nn 1n T T T n 1T n 1A 1121333212.3321---=αβ=αβαβ⎛⎫ ⎪=αβ= ⎪ ⎪⎝⎭例2.2 已知212A 023002⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求nA .解 将A 表示为A 2E B =+，其中012B 003000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.而23003B 000,B 0.000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于B 与E 可交换，所以可以应用二项式定理，有()()()()n n 3nn 1n 2122n 3n 3n 3n n 1n 323A 2E B 2E C 2E B C 2E B B 2E 2nB 2n(n 1)B .----=+=++++=++-n n 1n 3n n 1n 212023,n 100222n 2n(n 1)0232n ,n 2002---⎧⎡⎤⎪⎢⎥=⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎡⎤-⎪⎢⎥⎪⋅≥⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩ 这是求矩阵高次幂的一种技巧法，成立的前提是因为B, E 3可交换.其实只要矩阵A,B 可交换，关于数的和平方公式、和立方公式、平方差公式、立方差公式……一系列公式对于A,B 也成立.本题还可以采用归纳法及相似矩阵法.例 2.3 设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵()123A ,,=ααα，()123123123B ,24,39=α+α+αα+α+αα+α+α.如果A 1=，求B .解 123123123B ,24,39=α+α+αα+α+αα+α+α123232312323312323123123,3,5,3,2,,2,,22,,2A 2.=α+α+αα+αα+α=α+α+αα+αα=α+α+ααα=ααα=ααα==注意：方阵与方阵行列式的关系，矩阵运算与行列式运算的区别.例2.4 设A,B,C 均为n 阶矩阵，A 2,B 3==-，求*12A B -.解 2n 1n 1*1n *1n122A B 2A B2AB 3----=⋅=⋅=-.例2.5 已知n 阶矩阵A,B 满足1B (E A)(E A)-=+-, 证明：E B +可逆, 并求其逆. 若10002300A 04500067⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭, 求1(E B)-+. 证 方法一 1B (E A)(E A)-=+-,()E A B E A ⇒+=- ()E A B E A 2E ⇒+++= ()()E A E B 2E ⇒++=故E B +可逆, 且()()11E B E A 2-+=+. 方法二 1B (E A)(E A)-=+-,()111B (E A)(2E E A )B 2(E A)E B E 2(E A)---⇒=+-+⇒=+-⇒+=+故E B +可逆, 且()()11E B E A 2-+=+. 例2.6 试求一个方阵Q ，使得m 4A Q ⨯等于对m 4A ⨯经过下面的初等变换所得到的矩阵：首先用-2乘矩阵A 的第三列，然后将第一列的（-1）倍加到第二列，最后交换矩阵的第一、第三列.解 ∵ 321132c c c m 4m 4c c A A Q --⨯⨯↔→∴ m 4m 4A E[3(2)]E[12(1)]E[1,3]A Q ⨯⨯-+-= Q E[3(2)]E[12(1)]E[1,3]=-+-111111121111111121-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦例2.7 设3阶矩阵A 满足100000A 01,A 10,A 00000110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求A . 解 100000A 01,A 10,A 00000110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 000AE 100010⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故000A 100010⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例2.8 设矩阵m n ij A (a )⨯=的每列元素之和均为常数a ，矩阵n k ij B (b )⨯=的每列元素之和为常数b ，证明：矩阵AB 的每列元素之和也必为常数.证 矩阵m n ij A (a )⨯=的每列元素之和均为常数a ，矩阵n k ij B (b )⨯=的每列元素之和为常数b ，即11121n 21222n m1m2mn a a a a a a (111)A (111)a a a (a aa)a(111),⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦==11121j 21222j n1n2nj b b b b b b (111)B (111)b b b (b bb)b(111).⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦== 所以矩阵AB 的每列元素之和为(111)AB a(111)B ab(111)(ab ab ab)===，即AB 的每列元素之和都为常数ab.九、知识扩展1. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 而(2)n ≥为正整数, 求12n n A A --. （1999 数三 四） (答案:O )（可试着推测结果）提示：22020402202A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()12222n n n A A A A A O --⇒-=-=2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵()()1212122,,A B αααααα=+-=,. 若6A =, 求B . （2006 四） （答案: -2）3. 设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*A 为A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B = . （2004 数一 答案: 9）提示:***2*2(2)21,2119ABA BA E A E BA EA EB A A E B A B =+∴-=-⋅⋅=-⋅⋅==4. 设A 是任一(3)n n ≥阶方阵, k 为常数, 求()*kA . （1998 数二）提示: 方法一 因为kA 的余子式1n ij ij A k A -=, 故()*1*n kA k A -=.方法二 加强条件法 如果是选择题, 可设A 可逆, 0k ≠, 则()()*111*1n n kA kA kA k A A k A k---==⋅=. 5. 设矩阵211,3223A B A A E -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦，求1B -. （2002 数四） 提示: 方法一 先求出B , 再计算1B -方法二 由232B A A E =-+()()()()11122B A E A E B A E A E ---⇒=--⇒=--6. 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 3=O ，则[ ].(A )A -E 不可逆，A +E 不可逆；(B ) A -E 不可逆，A +E 可逆； (C ) A -E 可逆，A +E 可逆； (D ) A -E 可逆，A +E 不可逆.7. 已知n 阶矩阵,A B 满足1()()B E A E A -=+-,证明: E B +可逆,并求其逆. 若1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求1()E B -+. （2000 数二） 提示: 方法一 1()()B E A E A -=+-,()()()22B AB E A E A B E A E E A E B E⇒+=-⇒+++=⇒++= 故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 方法二 1()()B E A E A -=+-,()111()(2)2()2()B E A E E A B E A E B E E A ---⇒=+-+⇒=+-⇒+=+故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 8. 设矩阵X 满足*12A X A X -=+，求矩阵X . （1999 数二） 提示: 由*12,A X A X -=+()()1222A X E AX A E A X E X A E A -⇒=+⇒-=⇒=- 9. 设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，且113--=+ABA BA E ，求矩阵B . (2000 数一)提示: 113,ABA BA E --=+()()()()1*11**33333()n AB B A A E B A E A B E A E A B A E B A A E AA A---⇒-=⇒-=⇒-=⇒-=⇒=-=10. 矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA E +=++，矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求X . （2001数二）11. 已知n 阶矩阵,A B 满足条件AB B A -=，求A . (若120210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦) (1999 数四）提示: 由AB B A -=()()()1A EB E E A E B E -⇒--⇒=+-=12. 设矩阵,A B 满足关系式2AB A B =+，求矩阵B . (若423110123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求B ) （1987 数三 四）13. 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-，求B .(若100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求B ) （1998 数三 四）提示: 方法一*28A BA BA E =-,()()()**128(2,)2882A E BA E A E A B A E A BA A B A E A -⇒-=--⇒-=-⇒=--故，可逆方法二 若A 已知, 则A 必是可逆矩阵（方法一）, 则()()*11128282882A BA BA E A A B B A A E A B E B A E A ---=-⇒=-⇒-=-⇒=--14. 设A 为3阶矩阵，将A 第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得到C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -=; (B)1C PAP -=; (C)T C P AP =; (D)TC PAP =. （2006 数一）(答案: B)提示:11211121,r r c c r r c c A B B C A C +-+-→→⇒→1C PAP -∴=15. 设A 为()2n n ≥阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，证明: 交换*A 的第1列与第2列得矩阵*B -. （2005 数一 二） 16. 设A 为实对称矩阵，且2A O =，证明A O =.提示：由于A 为对称矩阵，且2A O =，所以TA A AA O ==.17. 设方阵A 可逆，并且每列元素之和都等于常数a ，证明：a 0≠，且1A -的每列元素之和都等于常数1a .证 A 的每列元素之和都等于常数a ，即(111)A (a a a)a(111).==因A 可逆，所以a 0≠，且1(111)A -=1(111)，所以1A -的每列元素之和都等于常数1a .。