一、单选题1．经过点，且斜率为的直线方程是（ ） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A2．已知空间向量，，，若，则（ ） (2,3,4)a =- (4,,)b m n =- ,R m n ∈a b ∥m n -=A ．2B ．C ．14D ．2-14-【答案】C【分析】，得到，解得答案.b a λ=(4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-【详解】，则，即， a b ∥b a λ= (4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-解得，，，. 2λ=-6m =8n =-14m n -=故选：C3．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>352100x y ++=为（ ）A ．B ．22154x y +=221259x y +=C ．D ．221169x y +=2212516x y +=【答案】D【解析】直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率2100x y ++=(5,0)-5a =为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程. 353c =b 【详解】直线与轴的交点为,2100x y ++=x (5,0)-直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.2100x y ++=(5,0)-所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.5a =353c =则，所以椭圆的方程为：.4b =2212516x y +=故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求，属于基础题.,,a b c 4．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）ABC AD BC E AD EB =A ．B ．C ．D ．3144AB AC -1344AB AC -1344AB AC +1142AB AC +【答案】A【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=- 故选：A5．设，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） (2,1)A -(4,1)B AB A ． B ． C ． D ．22(3)4x y -+=22(3)2x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=【答案】B【分析】由题知圆心为. ()3,0【详解】解：由题知线段中点为，AB ()3,0=所以，以线段为直径的圆的圆心为 AB ()3,022(3)2x y -+=故选：B6．设双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F P C点，且．若的面积为的周长为（ ）1260F PF ∠=12F PF △12F PF △A ．BCD ．+2+【答案】A【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得1216PF PF ⋅= 22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，由离心率可求出，同理结合12122cos PF PF F PF -⋅∠,,a b c ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅代入余弦定理可求，进而得解. 12PF PF +【详解】由题可知，求得， 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅⋅∠=△1260F PF ∠= 1216PF PF ⋅=对由余弦定理可得12F PF △22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，即，12122cos PF PF F PF -⋅∠()()221212122222cos c a PF PF PF PF F PF =+⋅-⋅∠即，因为，解得， 2416,2b b ==2222243c a e a a+===222,6a c ==又，22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=+-⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠即，解得， ()2212121212422cos c PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠12PF PF +=122F F c ==所以的周长为. 12F PF △1212PF PF F F ++=故选：A7．如图所示，在平行六面体中，，，，，ABCD A B C D -''''1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=，则的长为（ ）60BAA DAA ∠'=∠=' C A 'A ．5BCD 【答案】B【分析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数AC AB AD AA =+'+'()()22AC AB AD AA =+'+' 量积，便可得出答案.【详解】解：，AC AB BC CC AB AD AA '=++='+'+，()()()()()222222()AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''∴=++=+++⋅+⋅'⋅'+ ∵，，，， 1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=60BAA DAA ∠'=∠=' . ()222291232(013cos 6023cos 60)142232AC ︒︒∴=+++⨯+⨯+⨯=+='⨯，即 AC ='∴AC '故选：B.8．过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的43100x y ++=P 22:20C x y x +-=,A B PACB 面积的最小值为（ ）A B C D ．【答案】C【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出，进而得解.122PACB S PA AC =⋅⋅PA 【详解】如图，由切线性质可知，，所以，圆的,,PA AC PB BC PAC PBC ⊥⊥△≌△122PACB S PA AC =⋅⋅标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，()2211x y -+=()1,0C 1r =C 4101455d +==最小，需使，故122PACB S PA AC =⋅⋅min PC d =()min122PACB S r =⋅=故选：C二、多选题9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则22:18y C x -=1F 2F P C 17PF =（ ）A ．的虚轴长为2B ．的值可能为5C 2PF C ．的离心率为3D ．的值可能为9C 2PF 【答案】BCD【分析】由双曲线标准式确定，可判断A ，C 是否正确，由双曲线第一定义可判断B ，D 正,,a b c 确性.【详解】由的标准式可确定：22:18y C x -=， 22231,8,9,1,3,231c a b c a b c b e a ==========故C 正确，A 错误；由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以122PF PF -=17PF =25PF =2c a -=52,92≥≥BD 正确. 故选：BCD10．如图，为正方体，下面结论正确的是（ ）1111ABCD A B C D-A ．平面BD ∥11AB D B ．与平面AC 11AB D C ．平面1AC ⊥11CB D D ．异面直线与所成的角为 BD 1CB 60 【答案】ACD【分析】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，为正方体，设边长为1，1111ABCD A B C D -则，，，，，，，， ()0,0,0D ()1,0,0A ()1,1,0B ()0,1,0C ()10,0,1D ()11,0,1A ()11,1,1B ()10,1,1C 对A ，， ，又∵平面，∵平面，∴()111,1,0BD B D ==--11BD B D ∥BD ⊄11AB D 11B D ⊂11AB D BD ∥平面，A 对；11AB D 对B ，，，，由得为平面()11,1,1AC =-- ()11,0,1AD =- ()10,1,1AB = 11110A C AD A C AB ⋅=⋅=1AC 的法向量，11AB D ，故与平面所成的角的正弦值为B 错； ()1,1,0AC =- AC 11ABD 11A C AC A C AC⋅==⋅对C ，由B 得，同理可证为平面的法向量，故平面，C 对；1AC u u u r11CB D 1AC ⊥11CB D对D ，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为()1,1,0BD =-- ()11,0,1CB =BD 1CB ，故所成角为，D 对.1260 故选：ACD11．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（ ）22195x y +=F (0y m m =<<A B A ．为定值 B ．的周长的取值范围是 AF BF +ABF △()6,12C ．当为直角三角形 D ．当时，m =ABF △1m =ABF △【答案】AB【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C ；求出坐,A B ·0FA FB <ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得， 1F 1AF 1AF BF =所以为定值，A 正确；16AF BF AF AF +=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 正确； ||AB (0,6)ABF△(6,12)将，，又因为， y=A ⎛ ⎝B(2,0)F 所以，，即为钝角，23(2)02FA FB ⋅=+=-<AFB ∠所以为钝角三角形，C 错误；ABF △将与椭圆方程联立，解得，所以D 错误. 1y =,A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭112ABF S == 故选：AB【点睛】12．在四棱锥中，底面S ABCD -ABCD是边长为2的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，SA ⊥ABCD SA AB =AC BD O M SD 则（ ）A ．存在点，使平面 M //OM SBCB ．三棱锥体积的最大值为S ACM -23C ．点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值2 M ABCD M SAB D ．存在点，使直线与所成的角为 M OM AB 60 【答案】ACD【分析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，利用向量法判断A AB AD AS ，，,,x y z CD ，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断B 选项.根据线面平行的判定定理判断A. 【详解】解：根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角A AB AD AS ，，,,x y z 坐标系，如图，则, (0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)A C B D S O 由是棱上的动点，设，M SD (0,,2),(02)M λλλ-≤≤,其中为到平面的距离，13S ACM SAC V S h -=⨯ h M SAC 因为底面为正方形，故, ABCD OD AC ⊥又底面底面 SA ⊥,ABCD OD ⊂,ABCD 所以,SA OD ⊥又,平面， SA AC A ⋂=,SA AC ⊂SAC 所以底面,OD ⊥SAC 所以当与D 重合时，三棱锥体积的最大且为，故B 错M S ACM-1142323S ACM V -=⨯⨯⨯=误；当为中点时，是的中位线，所以，又平面，M SD OM SBD //OM SB OM ⊄SBC 平面，所以平面，故A 正确；SB ⊂SBC //OM SBC 点到平面的距离， M ABCD 12d λ=-点到平面的距离,M SAB 2|||(0,,2)(0,2,0)|2||AM AD λλd λAD →→→⋅-⋅===所以，故C 正确.1222d d λλ+=-+=,,(2,0,0)AB →=(1,1,2)OM λλ→=---若存在点，使直线与所成的角为M OM AB 60︒则，化简得，解得1cos 602AB OM AB OM ⋅︒=== 2310λλ-+=λ=所以，当与所成角为，故D 正确； λ=OM AB 60︒故选：ACD三、填空题13．若，，则___________． ()53,2,a =()0,1,4b =- 2a b -=【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.【详解】，故()()()22320,1,42,1,13,,5a b -=-⨯-= a -=14．已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为220x y -+=10x y ++=，则它邻边所在的直线方程为___________．350x y +-=【答案】390,330x y x y -+=--=【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进(1,0)M -1l 34,l l 230x y d -+=而结合点即可求解. (1,0)M -【详解】解：，解得，22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩10x y =-⎧⎨=⎩∴中心坐标为，(1,0)M -点M 到直线的距离1:350l x y +-=d设与垂直两线分别为，则点， 1l 34l l 、(1,0)M -设方程为34,l l 230x y d -+=或 ， 23d =-9∴它邻边所在的直线方程为． 390,330x y x y -+=--=故答案为：390,330x y x y -+=--=15．已知圆，直线的距离等于1，则22x y a +=:=l y x l =a ___________． 【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 2rd =【详解】圆的圆心为，则. 22x y a +=()0,0,r =2r d ==4a =故答案为：416．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是1111ABCD A B C D -P 1BD DC AP ⋅___________． 【答案】[]0,4【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出1BP BD λ=⋅ DC AP ⋅λ的取值范围．DC AP ⋅【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立DAx DC y 1DD z 空间直角坐标系．则，，，，．()0,0,0D ()0,2,0C ()2,0,0A ()2,2,0B ()10,0,2D ，，．∴()0,2,0DC = ()12,2,2BD =-- ()0,2,0AB =点在线段上运动，P 1BD ，且． ∴()12,2,2BP BD λλλλ=⋅=--01λ……，∴()2,22,2AP AB BP λλλ=+=--，∴44DC AP λ⋅=-∵，∴，即， 01λ……0444λ≤-≤[]0,4DC AP ⋅∈故答案为：．[]0,4四、解答题17．已知的三个顶点分别为，，．ABC ()2,4A ()1,1B ()7,3C(1)求边的垂直平分线的方程； BC (2)求的面积． ABC 【答案】(1) 3140x y +-=(2) 8【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方13BC k =BC ()4,2BC 3k =-程.（2）计算到直线的距离为，得到面积. BC =A BC d =【详解】（1），故边的垂直平分线的斜率，的中点为， 311713BC k -==-BC 3k =-BC ()4,2故垂直平分线为，即. ()342y x =--+3140x y +-=（2=所在的方程为，即， BC ()1113y x =-+320x y -+=到直线的距离为. A BC d 11822S BC d =⋅=⨯=18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线为渐近线，焦点是，的双曲线； y =()3,0-()3,0(2)离心率为，短轴长为6的椭圆． 45【答案】(1)22136x y -=(2)或221259x y +=221259y x +=【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方22221x y a b-=0a >0b >程求出，即可；a b （2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.x y 【详解】（1）解：由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知，22221(0,0)x y a b a b-=>>3c =双曲线的渐近线方程为，可得 y =ba=又，解得222+=a b c a =b =所以双曲线的方程为.22136x y -=（2）解：当焦点在轴时，设椭圆方程为，x 22221x y a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259x y +=当焦点在轴时，设椭圆方程为，y 22221y x a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259y x +=所以，所求椭圆方程为或.221259x y +=221259y x +=19．如图，在正方体中，为的中点．1111ABCD A B C D -E 1BB(1)求证：平面； 1BC ⊥1ACD (2)求直线与平面所成角的余弦值． 1D C 1AD E 【答案】(1)证明见详解【分析】（1）要证平面，可证，结合正方体性质即可求证；1BC ⊥1ACD 111BC A DBC CD⊥⎧⎨⊥⎩（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z系，求出和平面的法向量，由向量的夹角公式求出与平面所成角的正弦值，结1D C1AD E 1D C 1AD E 合同角三角函数即可求解.【详解】（1）连接，因为几何体为正方体，所以，四边形为平行四边形，11,A D AC 11//D C AB 11ABC D 所以，因为，所以，11//BC AD 11AD DA ⊥11BC A D ⊥又平面，平面，所以平面，11,,,CD BC CD CC BC CC C BC ⊥⊥=⊂ 11BCC B 1CC ⊂11BCC B CD ⊥11BCC B 又平面，所以，1BC ⊂11BCC B 1BC CD ⊥平面，平面，所以平面； 1,CD A D D CD =⊂ 1ACD 1A D ⊂1ACD 1BC ⊥1ACD（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z 系，不妨设正方体边长为1，则，，()()()110,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,2A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭()10,1,1D C =-，设平面的法向量为，则，即，设()111,0,1,0,1,2AD AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 1AD E (),,n x y z = 100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x z y z +=⎧⎨+=⎩，则，，2x =1,2y z ==-()2,1,2n =-设直线与平面所成角为，则，所以1D C 1AD Eθ1sin cos D C θ==π4θ=cos θ=，故直线与平面. 1D C 1AD E20．已知圆的方程为．C 221x y +=(1)求过点且与圆相切的直线的方程；()1,2P C l (2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程． m (1,2)P C ,A B AOB m 【答案】(1)或 1x =3450x y -+=(2)或 10x y -+=750x y --=【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；k （2，进而得解. 【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然与相切； 1x =221x y +=当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故():12l y k x =-+1d r =34k =，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或()3:124l y x =-+3450x y -+=()1,2P C l 1x =；3450xy -+=（2）设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即()1:12my k x =-+ABD AOBOD =圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即d =11k =():12m y x =-+()712y x =-+或.10x y-+=750x y --=21．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别ABCD ABEF M N 在正方形对角线和上移动，且．AC BF (0CM BN a a ==<<(1)求证与平面平行； MN BCE(2)当的余弦值． a =A MNB --【答案】(1)证明见详解(2)13-【分析】（1）采用建系法，表示出坐标，要证与平面平行，即证平面的,M N MN BCE MN ⊥BCE 法向量；（2）分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.AMN MNB 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，所以ABCD ⊥ABEF ABCD ABEF AB =BE AB ⊥平面，，所以平面，显然三垂直，以方向为轴正BE ⊥ABCD BC AB ⊥BC ⊥ABEF ,,BA BE BC BA x 方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，BE y BC z B AEC -，因为，所以，，()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0A C B F (0CM BN a a ==<<CM = BN设，，，由，得()()111222,,,,,M x y z N x y z ()111,,1CM x y z =- ()1,0,1=- CA CM = M，，，由得，，可设平面()222,,BN x y z = ()1,1,0= BF BN = N ⎫⎪⎭1MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 的法向量为，，所以与平面平行；BCE ()1,0,0n =r 0MN n ⋅=MN BCE（2）当，，，a =1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,0,0A ()0,0,0B 1111,0,,,,02222AM AN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，， 1111,0,,,,02222BM BN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量为，则，即，可设，故，设AMN ()1,,n x y z = 1100n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y z ==1x =()11,1,1n = 平面的法向量为，则，即，令，则，故MNB ()2333,,n x y z = 2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 333300x z x y +=⎧⎨+=⎩31x =331y z ==-，设二面角的平面角为，则， ()21,1,1n =-- A MN B --θ121cos cos ,3n n θ==- 故二面角的余弦值为.A MNB --13-22．已知椭圆的离心率为，且经过点．2222:1(0)xy C a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于y kx m =+C M N 、O OM ON 、34-，试探求的面积是否为定值，并说明理由．OMN 【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,a b ,a c 222a b c =+解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长()()1122,,,M x y N x y 34-k m 公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. MN OMN 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭221914a b +=22214c e a ==222a b c =+，所以椭圆的方程为； 2221,3,4c b a ===C 22143x y +=（2）设，联立得，()()1122,,,M x y N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->， ()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅= ()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+，即，()()222343443m k m -==--22243m k =+d =12OMN S MN d =⋅==△所以的面积为定值.OMN。
