人教版八年级数学下册 勾股定理与折叠问题专题练习(无答案)

2020-2021学年人教版八年级下册第17章《勾股定理》同步练习【第3讲：利用勾股定理解决折叠问题】一、选择题：1．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF 的长为（）A．4B．C．4.5D．5【答案】A【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．2．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为()A．6cm2B．8 cm2C．10 cm2D．12 cm2【答案】A【分析】首先根据翻折的性质得到ED＝BE，用AE表示出ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．【详解】解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．∴32+AE2=(9﹣AE)2．解得：AE=4cm．∴△ABE的面积为：12×3×4=6(cm2)．故选：A．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．3．如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别在AC，BC上，且DE//AB.将ΔABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F点处，则AF的长是（）A．3.6B．4C．4.8D．6.4【答案】A【解析】【分析】连接CF ，根据勾股定理求得AB 长，由三角形ABC 的面积可得CF 长，勾股定理可得AF 长.【详解】解：如图，连接CF ，根据题意，得CF ⊥DE .因为DE//AB ，所以CF ⊥AB .因为∠C =90°，AC =6，BC =8，所以AB =10，所以S ΔABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CF ，所以CF =4.8.所以AF 2=AC 2−CF 2=62−4.82=3.62，所以AF =3.6. 故选A.【点睛】本题主要考查了勾股定理，同时涉及了折叠的性质及三角形的面积，在应用勾股定理求线段长时，可通过添加辅助线构造直角三角形求解.4．如图，有一张直角三角形纸片ABC ，两条直角边5AC =，10BC =，将ABC ∆折叠，使点A 和点B 重合，折痕为DE ，则CD 的长为（ ）A ．1.8B ．2.5C ．3D ．3.75【答案】D【解析】【分析】 设CD=x ，则BD=AD=10-x ．在Rt △ACD 中运用勾股定理列方程，就可以求出CD 的长．【详解】解：设CD=x ，则BD=AD=10-x ．∵在Rt△ACD中，（10-x）2=x2+52，100+x2-20x=x2+25，∴20x=75，解得：x=3.75，∴CD=3.75.故选：D.【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．5．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm【答案】B【解析】∵直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm ∴根据勾股定理可知：BA=√62+82=10∵A,B关于DE对称，∴BE=10÷2=56．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=32，则BC的长是（）A B．C．3D．【答案】B【解析】【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知45B EAF ∠=∠=︒,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知12EF AB =,所以AB AC =,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC 的长．【详解】解：E B A 沿过点的直线折叠，使点与点重合， B EAF 45∠∠∴==︒，AFB 90∠∴=︒，E AB AFB 90∠=︒点为中点，且， 1EF AB 2∴=， 3EF 2=， 3AB 2EF 232∴==⨯=， ΔRtABC 在中，AB ＝AC ，AB 3，=BC ∴===故选B.【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B′F 的长为（ ）A ．35B ．45C ．23D 【答案】B【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，BC=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ，然后求得△BCF 是等腰直角三角形，进而求得∠B /GD=90°，CE -EF=125，ED=AE=95，从而求得B /D=1，DF=35，在Rt △B /DF 中，由勾股定理即可求得B /F 的长．【详解】解：根据首先根据折叠可得CD=AC=3，B /C=B4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ， ∴BD=4-3=1，∠DCE+∠B /CF=∠ACE+∠BCF ，∴∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B /FC=135°，∴∠B /FD=90°，∵S △ABC =12AC×BC=12AB×CE ， ∴AC×BC=AB×CE ，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=125，∴EF=125，=95∴DE=EF -ED=35，∴B /=45 故选：B ．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解本题的关键．8．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，在AC 上取一E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则CE 的长度为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】B【解析】 试题分析：由Rt △ABC 中，BC=3,AB=5,利用勾股定理，可求得AC 的长，由折叠的性质，可得CD 的长，然后设DE=x ，由勾股定理，即可列方程求得结果．∵Rt △ABC 中，BC=3,AB=5,∴由折叠的性质可得：AB=BD=5，AE=DE ，∴CD=BD -BC=2，设DE=x ，则AE=x ，∴CE=AC -AE=4-x ，∵在Rt △CDE 中，DE 2=CD 2+BCE 2，∴x 2=22+（4-x ）2，解得：， ∴．故选B ．考点：此题主要考查了图形的翻折变换，勾股定理点评：解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可． 二、填空题9．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，12AB =，5AC =，点E 在AB 上，将CAE 沿CE 折叠，使点A 落在斜边BC 上的点A '处，则AE 的长为____．【答案】103【分析】先利用勾股定理求出BC,再根据折叠的性质可得5CA CA '==，AE A E '=，90CA E CAE '∠=∠=︒,设AE x =，最后利用勾股定理列出方程即可求出AE 的长．【详解】解:由勾股定理，得13BC ==．由折叠可知5CA CA '==，AE A E '=，90CA E CAE '∠=∠=︒．设AE x =，则A E x '=，12BE x =-，1358BA '=-=．在Rt EA B '中，()222128x x -=+， 解得103x =， 即AE 的长为103故答案为: 103． 【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题,掌握利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键． 10．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，3cm AB =，5cm AC =，将ABC 折叠，使点C 与点A 重合，得折痕DE ，则ABE △的周长等于____cm ．【答案】7【分析】根据勾股定理，可得BC 的长，根据翻折的性质，可得AE 与CE 的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．【详解】在Rt ABC △中，90B ∠=︒，3cm AB =，5cm AC =，由勾股定理，得4cm BC ==，由翻折的性质，得CE AE =，ABE △的周长为AB BE AE AB BE CE ++=++=7（cm ）．【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折的性质得出CE 与AE 的关系是解题关键．11．如图，将矩形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若3cm EH =，4cm EF =，则边AD 的长是_______cm ．【答案】5【解析】【分析】先求出△EFH 是直角三角形，再根据勾股定理求出FH=5，再利用全等三角形的性质解答即可．【详解】设斜线上两个点分别为P 、Q ，则P 点是A 点对折过去的，∴∠EPH 为直角,△AEH ≌△PEH ，∴∠HEA=∠PEH ，同理∠PEF=∠BEF ，这四个角互补，∴∠PEH+∠PEF=90∘，∴四边形EFGH是矩形，∴△DHG≌△BFE，△HEF是直角三角形，∴BF=DH=PF，∵AH=HP，∴AD=HF，∵EH=3cm，EF=4cm，∴FH=5cm，∴FH=AD=5cm，故答案为：5.【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，全等三角形的性质，解题关键在于求出FH=5.12．如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则ΔABE的面积为________cm2.【答案】6【解析】【分析】由折叠的性质可知AE与BE间的关系，根据勾股定理求出AE长可得面积.【详解】解：由题意可知BE=ED.因为AD=AE+DE=AE+BE=9cm，所以BE=(9−AE)cm.在RtΔABE中，根据勾股定理可知，AB2+AE2=BE2，所以32+AE2=(9−AE)2，所以AE=4cm，所以RtΔABE的面积为1 2×AB×AE=12×3×4=6（cm2）.故答案为：6【点睛】本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.13．如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为___________.【答案】3cm【解析】【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8-x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF 的长，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8-x）2=x2+（10-BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，设CE=xcm,则DE=EF=CD−CE=(8−x)cm，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm，∴CF=BC−BF=10−6=4(cm)，在Rt△ECF中,由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8−x)2=x2+42，∴64−16x+x2=x2+16，∴x=3(cm)，即CE=3cm.故答案为：3cm.【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理.14．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为________．【答案】3cm【分析】先根据勾股定理求出AB 的长,设CD ＝xcm ,则()28BD x =-cm,再由图形翻折变换的性质可知AE ＝AC ＝6cm,DE ＝CD ＝xcm,进而可得出BE 的长,在t BDE R ∆中利用勾股定理即可求出x 的值,进而得出CD 的长.【详解】 ABC ∆是直角三角形,AC ＝6cm,BC ＝8cm,10AB ∴==cm,AED ∆是ACD ∆翻折而成,6cm AE AC ∴==,设DE ＝CD ＝xcm, 90AED ∠=︒,1064cm BE AB AE ∴=-=-=,在t BDE R ∆中, 222BD DE BE =+,即()22284x x -=+,解得x ＝3.故CD 的长为3cm.【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为__________．【答案】【详解】由折叠得BC′=BC=6；DC′=DC，∠BC′D=∠C＝90°∵∠C=90°，AC=8，BC=6∴AB=10∴AC′=AB－BC′=10－6=4设DC=x则DC′=DC=x，则AD=AC－DC=8－x在Rt△A C′D中，（C′D）2＋（AC′）2=（AD）2∴x 2＋42=（8－x）2∴x=3∴DC=3∴==故答案为16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．【答案】1.5【解析】在Rt△ABC中，5AC，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝2．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2，∴（4－x）2＝x2＋22．解之得32x=．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．【答案】．【解析】【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=12AF=2，∴，∵FP=FC=2，∴PM=MF-2，∴点P到边AB距离的最小值是2．故答案为-2．【点睛】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P 的位置.18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，BD=．【答案】3 2【解析】如图，点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=3，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，∴5==．∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2．设BD=ED=x，则CD=BC﹣BD=4﹣x，在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，即：（4﹣x）2=x2+4，解得：x=32．∴BD=32三、解答题19．如图，一张长8cm，宽6cm的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，求折痕EF的长．【答案】EF 的长为152【分析】 联结CF ，根据翻折的图形全等得到AF=CF ，再根据勾股定理计算即可；【详解】联结CF ，∵翻折的图形全等，∴AF=CF ，设AF=x ，则DF=8-x ，2226(8)x x +-=，254x =， ∵OC=5， ∴OF=154， 可证OE=OF ， ∴EF=152． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的折叠问题，准确计算是解题的关键．20．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为BC 边中点，E ，F 分别在AB ，AC 上，且ED FD ⊥，连接EF ．判断BE ，EF ，FC 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】222BE FC EF +=．证明见解析.【分析】将EDF 沿着DF 翻折得到GDF ，连接CG ,由翻折可知FDE FDG ≌，从而得出：DE DG =，EF GF =，90EDF GDF ∠=∠=︒，再利用SAS 证出BDE CDG ≌，从而得出BE CG =，B DCG ∠=∠，最后利用勾股定理和等量代换即可证出结论．【详解】222BE FC EF +=．证明如下：如图，将EDF 沿着DF 翻折得到GDF ，连接CG ．由翻折可知FDE FDG ≌，∴DE DG =，EF GF =，90EDF GDF ∠=∠=︒，∴E ，D ，G 三点共线．∵D 为BC 边中点，∴BD CD =．在△BDE 和△CDG 中BD CD EDB GDC DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDG ≌，∴BE CG =，B DCG ∠=∠．又∵90BAC ∠=︒，∴90B ACB ∠+∠=︒，∴90DCG ACB ∠+∠=︒，即90FCG ∠=︒．在Rt FCG 中，∵222CG FC GF +=，∴222BE FC EF +=．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠问题，掌握全等三角形的判定及性质、利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．21．如图所示，已知在ABC 中，22.5B ∠=︒，折叠ABC 使A ，B 两点重合，折痕交BC 于点D ，交AB 于点F，BD =AE BC ⊥于点E ，求AE 的长．【答案】6AE =．【分析】根据折叠的性质可知:AD BD == 22.5BAD B ∠=∠=︒,再根据三角形外角的性质可得45ADE ∠=︒,从而得出AE=DE,最后利用勾股定理即可求出AE ．【详解】解:由折叠的性质可知:AD BD == 22.5BAD B ∠=∠=︒．又∵ADE B BAD ∠=∠+∠，∴45ADE ∠=︒．∵AE BC ⊥，∴△ADE 为等腰直角三角形,AE=DE由勾股定理，得222AE DE AD +=，∴(222AE =，∴6AE =．【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题,掌握利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键． 22．如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =DC =8，AD =BC =10．求EC 的长．【答案】3.【解析】【分析】设EC 的长为x ，则DE =8−x ，再利用勾股定理求出BF 的值，得出FC =BC −BF =10−6=4，再根据勾股定理即可解答.设EC的长为x，则DE=8−x．∵ΔADE折叠后的图形是ΔAFE，∴AD=AF，DE=EF．∵AD=BC=10，∴AF=10．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°．在RtΔABF中，BF=√AF2−AB2=6，∴FC=BC−BF=10−6=4．在RtΔEFC中，FC2+EC2=EF2，∴42+x2=(8−x)2，解得x=3，∴EC的长为3．【点睛】此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题关键在于求出FC的值.23．把长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC的长．【答案】EC的长度为3．【解析】试题分析：由长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，可得AF=AD=10，DE=EF，然后设EC=x，则DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，首先在Rt△ABF中，利用勾股定理求得BF的长，继而可求得CF的长，然后在Rt △CEF中，由勾股定理即可求得方程：x2+42=（8﹣x）2，解此方程即可求得答案．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，CD=AB=8，∵△ADE折叠后得到△AFE，∴AF=AD=10，DE=EF，设EC=x，则DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，∵在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴82+BF2=102，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，∵在Rt△EFC中，EC2+CF2=EF2，∴x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，即EC的长度为3．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．24．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8，如图在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；（1）求点E的坐标及折痕DB的长；（2）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标．【答案】（1）E（4，0）；（2）M（1.5，0）；N（6，0）；【解析】分析：(1)、根据矩形的性质得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根据折叠的性质得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，则OE=10-6=4，即可得到E点坐标；在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC-DC=OC-DE=8-x，利用勾股定理可计算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理计算出BD；(2)、以D、M、N为顶点作平行四边形DMND′，作出点B关于x轴对称点B′，则易得到B′的坐标，D′的坐标，然后利用待定系数法求出直线D′B′的解析式，令y=0，得-2x+12=0，确定N点坐标，也即可得到M点坐标．详解：(1)、∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=8，∵△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边E点上，∴BC=BE=10，DC=DE，在Rt△ABE中，BE=10，AB=8，∴AE=6，∴OE=10-6=4，∴E点坐标为（4，0）；在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC-DC=OC-DE=8-x，∴x2=42+（8-x）2，解得x=5，在Rt△BDE中，=(2)、以D、M、N为顶点作平行四边形DMND′，作出点B关于x轴对称点B′，如图，∴B′的坐标为（10，-8），DD′=MN=4.5，∴D′的坐标为（4.5，3），设直线D′B′的解析式为y=kx+b，把B′（10，-8），D′（4.5，3）代入得，10k+b=-8，4.5k+b=3，解得k=-2，b=12，∴直线D′B′的解析式为y=-2x+12，令y=0，得-2x+12=0，解得x=6，∴M（1.5，0）；N（6，0）．点睛：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理以及待定系数法，综合性非常强．理解翻折图形的性质是解决这个问题的关键．。

勾股定理之折叠问题（人教版）一、单选题(共7道，每道12分)1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用2.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=4cm，BC=5cm，则EF=( )A.2cmB.cmC.cmD.3cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用3.如图，将边长为16cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F 处，折痕为MN，则线段CN的长是( )A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题4.如图，在矩形ABCD中，BC=4，DC=3，将该矩形沿对角线AC折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点E，则EF的长为( )A. B.C.1D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题5.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图所示方式折叠，使顶点B与点D重合，折痕为EF．若AB=6cm，BC=10cm，求重叠部分△DEF的面积为( )．A. B.C.20D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题6.如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为8cm，则AM=_____cm，BN=_____cm．( )A.，1B.，C.，D.，1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题7.把Rt△OAB放置在平面直角坐标系中，边OA与x轴重合，边OB与y轴重合，若A(4，0)，B(0，3)，点C(0，n)是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x 轴上，则点C的坐标是( )A. B.C.(0，3)D.(0，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）二、填空题(共1道，每道13分)8.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE的长为____cm．答案：3解题思路：由勾股定理知AB=10；由折叠知AC=AE=6，CD=DE．所以BE=4，且在Rt△BDE中有DE+BD=BC=8．由可知DE=3．试题难度：知识点：勾股定理的应用。

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初二数学培优专题（5）
答案 (一)正方形内的十字架结构
【例 1】如图，将边长为 4 的正方形纸片 ABCD 折叠，使得点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点 F
在 AD 边，求折痕 FG 的长；
【解析】连接 AE，由轴对称的性质可知，AE⊥FG（应该是 FG 垂直平分 AE）
这样就可以直接用上面的结论啦！所以由垂直得到相等，所以 FG=AE= 42 22 2 5
在 AD 边，求折痕 FG 的长；
【变式 2】如图,将边长为 A 落在 F 处,折痕为 MN.
的正方形 ABCD 折叠,使点 D 落在 BC 边的中点 E 处,点
(1)求线段 CN 的长;
(2)求以线段 MN 为边长的正方形的面积;
(3)求线段 AM 的长度.
1
初二数学培优专题（5）
（二）折痕垂直于对称点的连线
,即
;
(2)在
中,
,
,
由勾股定理得:
,
如图,过点 M 作
于点 G,则由题意可知
,
.
连接 DE,交 MG 于点 I.
由折叠可知,
在
与
(3)
, ,
. 中,
,
. ;
, .
, (对顶角相等),
.
7
初二数学培优专题（5）
（二）折痕垂直于对称点的连线
结论：折痕上的点到对应点距离相等
【例 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，将矩形折叠使得点 D 与 BC 上的点 E 重合，折 痕分别交 AB、CD 于点 G、F，若 BE=1，求 AG 的长．
（四）折叠中的分类讨论
【例 4】如图，矩形 ABCD 中， AB 3 ， BC 4 ，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把 B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B＇处。当 CEB ' 为直角三角形时，BE 的长为_____ 。

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为 ，当A F AC '⊥时，AF 的长为 ．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒， 由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭； 当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为 ；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是 ．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−， 解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54， 故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为 ．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为 ．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为 ．【答案】 或 【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可 【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为 ．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是 ．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2． 【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ， 由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+， 解得52x =，52CD ∴=， 当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。