银川一中2015届高三第三次模拟考试文科数学试题及答案

2015年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）2．（5分）已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是（）A．m、n与α成等角B．m⊥α且n⊥αC．m∥α且n⊂αD．m∥α且n∥α3．（5分）若等比数列{a n}的前n项和，则a2＝（）A．4B．12C．24D．364．（5分）已知复数（1+i）（a+bi）＝2+4i（a，b∈R），函数f（x）＝2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，0）C．（﹣，3）D．（，1）5．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n＝n+1B．i＞100，n＝n+2C．i＞50，n＝n+2D．i≤50，n＝n+26．（5分）设a＝（cos x﹣sin x）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（）A．﹣20B．20C．﹣160D．1607．（5分）给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|＝2，∠B＝90°，∠C＝30°．D是斜边AC上的点，|CD|＝|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD 上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21；其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π9．（5分）已知z＝2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．10．（5分）对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如下表：数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014的值为（）A．7549B．7545C．7539D．7535 11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）等差数列{a n}中，a4+a8+a12＝6，则a9﹣a11＝．14．（5分）若α∈（0，π），且3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为．15．（5分）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．则抛物线C的方程为．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（2sin B，﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；的最大值．（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC18．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB，AB＝4，tan∠EAB＝．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．19．（12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知A，B，C是椭圆m：+＝1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||＝2||．（1）求椭圆m的方程；（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||＝||．求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC＝∠PDF；（2）求PE•PF的值．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．选修4-5；不等式选讲．24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．2015年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）【解答】解：集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∁U B＝{x|x＜2}，A∩（∁U B）＝）}＝{x|x＞1}∩{x|x＜2}＝{x|1＜x＜2}，故选：B．2．（5分）已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是（）A．m、n与α成等角B．m⊥α且n⊥αC．m∥α且n⊂αD．m∥α且n∥α【解答】解：A．若m∥n，则m、n与α成等角，当m、n与α成等角是，m∥n 不一定成立，故m、n与α成等角是m∥n的必要非充分条件，B．若m∥n，则m⊥α且n⊥α，反之也成立，故m⊥α且n⊥α是充要条件．C．若m∥n，则m∥α且n⊂α不一定成立，D．若m∥n，则m∥α且n∥α不一定成立，故选：A．3．（5分）若等比数列{a n}的前n项和，则a2＝（）A．4B．12C．24D．36【解答】解：∵，∴，a2＝S2﹣S1＝（9a﹣2）﹣（3a﹣2）＝6a，a3＝S3﹣S2＝（27a﹣2）﹣（9a﹣2）＝18a，∵{a n}为等比数列，∴（6a）2＝（3a﹣2）×18a，解得a＝2，或a＝0（舍），∴a＝2，∴a2＝S2﹣S1＝6a＝12，故选：B．4．（5分）已知复数（1+i）（a+bi）＝2+4i（a，b∈R），函数f（x）＝2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，0）C．（﹣，3）D．（，1）【解答】解：∵复数2+4i＝（1+i）（a+bi）＝（a﹣b）+（a+b）i，∴，解得a＝3，b＝1．故函数f（x）＝2sin（ax+）+b＝2sin（3x+）+1，∵3x＝kπ，k∈Z，∴x＝，k∈Z，当k＝1时，x＝，故函数f（x）＝2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）．故选：D．5．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n＝n+1B．i＞100，n＝n+2C．i＞50，n＝n+2D．i≤50，n＝n+2【解答】解：此时，经第一次循环得到的结果是，经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母＝2（i﹣1）令2（i﹣1）＝100解得i＝51即需要i＝51时输出故图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是分别是i＞50，n＝n+2故选：C．6．（5分）设a＝（cos x﹣sin x）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（）A．﹣20B．20C．﹣160D．160【解答】解：由于a＝＝（sin x+cos x）＝﹣2，则二项式＝展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•＝（﹣2）r••x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中的x3项的系数为﹣8×20＝﹣160，故选：C．7．（5分）给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|＝2，∠B＝90°，∠C＝30°．D是斜边AC上的点，|CD|＝|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD 上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21；其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）由题意，|CD|＝|CB|，∠C＝30°，所以∠CBD＝75°，所以E 点落在线段CD上的概率是＝，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x＝1对称，因为P （ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．8．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为＝3π．故选：B．9．（5分）已知z＝2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数z＝2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z＝2x+y过点B（a，a）时，目标函数z＝2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3＝4×3a，∴a＝，故选：B．10．（5分）对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如下表：数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014的值为（）A．7549B．7545C．7539D．7535【解答】解：∵数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，∴x n+1＝f（x n）∴x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝6，x5＝1，x6＝3，x7＝5，x8＝6，…∴数列是周期数列，周期为4，一个周期内的和为1+3+5+6＝15，∴x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014＝503×（x1+x2+x3+x4）+x1+x2＝503×15+1+3＝7549．故选：A．11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y＝x，则F2到渐近线的距离为＝b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|＝2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2＝c2+4b2∴3c2＝4（c2﹣a2），∴c2＝4a2，∴c＝2a，∴e＝2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]时有解，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝a（x﹣）﹣2lnx+＝ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，则F′（x）＝，当x∈[1，e]时，F′（x）＝≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，即F min（x）＝F（1）＝0，因此a＞0即可．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）等差数列{a n}中，a4+a8+a12＝6，则a9﹣a11＝．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8+a12＝6，得3a8＝6，a8＝2．则a9﹣a11＝（3a9﹣a11）＝（a9+a7+a11﹣a11）＝（a9+a7）＝a8＝．故答案为：．14．（5分）若α∈（0，π），且3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．【解答】解：∵α∈（0，π），且3cos2α＝sin（﹣α），∴3cos2α﹣3sin2α＝cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα＝0，或3（cosα+sinα）＝．若cosα﹣sinα＝0，则α＝，sin2α＝1；若3（cosα+sinα）＝，平方求得sin2α＝﹣，故答案为：1，或﹣．15．（5分）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为．【解答】解：基本事件总数m＝＝17×16×3，选出火炬编号为a n＝a1+3（n﹣1），当n＝1时，由1，4，7，10，13，16可得4种选法，当n＝2时，由2，5，8，11，14，17可得4种选法，当n＝3时，由3，6，9，12，15，18可得4种选法，根据分类计算原理可得共有12种选法，∴所求概率为P＝＝＝．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．则抛物线C的方程为x2＝2y．【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，），设M（x0，），x0＞0，Q（a，b），由题意知b＝，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+＝＝＝，解得p＝1，∴抛物线C的方程为x2＝2y．故答案为：x2＝2y．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（2sin B，﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；的最大值．（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵＝（2sin B，﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sin B（2cos2﹣1）＝﹣cos2B，∴2sin B cos B＝﹣cos2B，即sin2B＝﹣cos2B，∴tan2B＝﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B＝，则B＝；…（6分）（Ⅱ）当B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝得：a2+c2﹣ac﹣4＝0，当B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝得：a2+c2+ac﹣4＝0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a＝c＝2时等号成立），＝ac sin B＝ac≤（当且仅当a＝c＝2时等号成立），∴S△ABC的最大值为．…（12分）则S△ABC18．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB，AB＝4，tan∠EAB＝．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），∵CD∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD…（3分）∵CD∥BE，CD＝BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…（4分），∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（5分）（Ⅱ）依题意，…（6分），由（Ⅰ）知＝＝，当且仅当时等号成立…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…（9分）设面DAE的法向量为，，即，∴，…（10分）设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…（12分）∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…（13分）19．（12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；（Ⅱ）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则；（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．则ξ的分布列为：所以Eξ＝．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B（3，），．所以Eξ＝．20．（12分）已知A，B，C是椭圆m：+＝1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||＝2||．（1）求椭圆m的方程；（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||＝||．求实数t的取值范围．【解答】解（1）如图所示，∵＝2，且BC过点O（0，0），则；又•＝0，∴∠OCA＝90°，且A（2，0），则点C，由a＝，可设椭圆的方程m：；将C点坐标代入方程m，得，解得c2＝8，b2＝4；∴椭圆m的方程为：；（2）如图所示，由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t），∴1°当k＝0时，显然﹣2＜t＜2，2°当k≠0时，设l：y＝kx+t，则，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12＝0；由△＞0，可得t2＜4+12k2 ①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ的中点为H（x0，y0）；则x0＝＝﹣，y0＝kx0+t＝，∴H；由，∴DH⊥PQ，则k DH＝﹣，∴＝﹣；∴t＝1+3k2 ②∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；综上，得t∈（﹣2，4）．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）【解答】解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）＝当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）当k≤0时，f（1）＝1﹣k＞0，不成立，故只考虑k＞0的情况又f′（x）＝当k＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0在上是增函数，在时减函数，此时要使f（x）≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可解得：k≥1．（Ⅲ）当k＝1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）＝0，即lnx＜x﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，令x＝n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜＝即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC＝∠PDF；（2）求PE•PF的值．【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝∠APE＝90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC＝∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA＝∠PDF，∴∠PEC＝∠PDF﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：∵∠PEC＝∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE•PF＝PC•PD＝P A•PB＝2×12＝24．﹣﹣﹣﹣（10分）选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【解答】解：（I）l的普通方程为y＝（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2＝1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|＝＝1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d＝＝[sin（）+2]当sin（）＝﹣1时，d取得最小值．选修4-5；不等式选讲．24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．【解答】解：（I）由不等式|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，从而求得M＝（0，1）．由a，b∈M，可得0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴（ab+1）＞（a+b）．（II）设max表示数集A的最大数，∵h＝max，∴h≥，h≥，h≥，∴h3≥＝4•≥8，故h≥2．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：S 圆台侧面积=L R r )(+π第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是A ．1≤aB ．1<aC ．2≥aD ．2>a 2．复数ii-22所对应的点位于复平面内 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m 的值为 A ．8B ．12C ．6D ．44．下列命题中为真命题的是 A ．若21,0≥+≠xx x 则 B ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 且1-≠x ，则21x ≠C ．“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件D ．若命题012<+-∈∃x x x P ,R :，则012>+-∈∀⌝x x x P ，R : 5．设0x >，且1x x b a <<，则A ．01b a <<<B ．01a b <<<C ．1b a <<D ．1a b <<6．设()00,M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是A.(2,)+∞B.(4,)+∞C.(0,2)D.(0,4)7．如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序 UNTIL 后面的条件应为A ．10i <B ．10i ≤C ．9i ≤D ． 9i < 8．若[]2,2-∈k ，则k 的值使得过)1,1(A 可以做两条直线与圆045222=--++k y kx y x 相切的概率等于 A.41 B. 21 C.43D.不确定 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的 表面积为A.π36B. 8πC.π29 D.π82710．设n m ,为空间两条不同的直线，βα,为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若βα//,//m m ，则βα//； ②若βα//,m m ⊥，则βα⊥； ③若n m m //,//α则α//n ； ④若βαα//,⊥m ，则β⊥m ． 其中的正确命题序号是A ．③④B ．①②C ．②④D ． ①③11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度 12．设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线(0)y kx k k =+>与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是A ．]31,41( B ．]41,0( C ．]31,41[ D ．)31,41[第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示平面区域的面积等于2，则a 的值 .14．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若231,,S S S 成等差数列，则}{n a 的公比=q .15．若等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,BC =45ABC ∠=,则AC BD ⋅ 的值为________.16．已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线ex y =垂直的切线，则实数m 的取值范围为 .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，21cos cos sin 32=-C C C ，且3=c （1）求角C ；（2）若向量)sin ,1(A m =与)sin ,2(B n =共线，求a 、b 的值．18．（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,122AD CD AB ===, 点E 为ACACD图2EBACD图1E中点.将ADC ∆沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （1）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （2）求点C 到平面ABD 的距离.19．（本小题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(参考公式: 1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑)20．（本小题满分12分）已知A （-2，0），B （2，0）为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，△APB 面积的最大值为（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线AP 的倾斜角为34π，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．21．（本小题满分12分） 设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax .（1）讨论函数f (x )的单调区间和极值；（2）已知1x e 为自然对数的底数）和x 2是函数f (x )的两个不同的零点，求a 的值并证明：x 2＞e 23.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学(银川一中第四次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =.集合{}3|<=x x A ，{}0log |2<=x x B ，则U A C B ⋂= A. {}13x x << B. {}310|<≤≤x x x 或C. {}3x x <D. {}13x x ≤< 2．若a 是复数ii z -+=211的实部，b 是复数32)1(i z -=的虚部，则ab 等于 52.A 52.-B 32.C 32.-D 3．下列说法错误的是A ．10≠xy 是5≠x 或2≠y 的充分不必要条件B ．若命题:p 012≠++∈∀x x R x ，,则:p ⌝012=++∈∃x x R x ，C ．线性相关系数r 的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强.D ．用频率分布直方图估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之和. 4．执行如图所示的程序，输出的结果为20， 则判断框中应填入的条件为 A ．5a ≥ B ．4a ≥ C ．3a ≥ D ．2a ≥ 5．把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图 象向右平移3π个单位，那么所得图象的一 条对称轴方程为 A ．8π=x B ．4π-=x C ．2π-=x D ．4π=x6．设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为A ．8B ．7C ．2D ．1 7．已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为 2a 的正三角形,俯视图是边长为a 的正六边形,则该几何体的侧 视图的面积为 A ．223a B ．223a C ．23a D ．23a8．函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是 A ．f (x )＝x ＋sinx B ．f (x )＝x ·sinx文科数学试卷 第1页(共6页)C ．f (x )＝x ·cosxD ．f (x )＝x (x －π2)(x －3π2)9．以双曲线1151022=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 A ．0101022=+-+x y x B ．0151022=+-+x y x C ．0151022=+++x y x D ．0101022=+++x y x 10．已知角α在第四象限，且53cos =α，则)2sin()42cos(21παπα+-+等于A ．52 B ．57 C ．514 D ．52- 11．过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点. 若|AF |=3，则∆AOB的面积为 A ．22B ．2C ．223D ．2212．定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[)1,0上单调递减，若方程1)(-=x f 在[)1,0上有实数根，则方程1)(=x f 在区间[]7,1-上所有实根之和是A ．12B ．14C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于________.14．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是________.15．已知四面体P —ABC 中,PA=PB=4,PC=2,AC=2PB ⊥平面PAC,则四面体P —ABC 外接球的表面积为______.16．已知向量)sin ,(cos θθ=a ，向量)1,3(-=b ，则|2a -b |的最大值与最小值的和为______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 4=10，又a 1,a 2,a 6成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式;（2）设n b na n 22+=，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（本小题满分12分）如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形, 侧面PAB 是 正三角形,AB=2,BC=2,PC=6.E 、H 分别为PA 、AB 的中点.（1）求证:PH ⊥AC;（2）求三棱锥P —EHD 的体积.19．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为,,,,A B C D E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（2）若等级,,,,A B C D E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A . 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.文科数学试卷 第3页(共6页)20．（本小题满分12分）平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C 满足OC OA OB αβ=+,其中,R αβ∈,且21αβ-=.(1)求点C 的轨迹方程;(2)设点C 的轨迹与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于两点M,N,且以MN 为直径的圆过原点,求证:2211a b +为定值;(3)在(2)的条件下,求椭圆长轴长的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()2ln 1f x a x x =+-(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若关于x 的不等式()()1f x b x ≥-在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，其中,a b 为实数，求,a b 所满足的关系式及a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD 为圆O 的切线，B ，D 为切点.⑴ 求证：OC AD //；⑵ 若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）.⑴ 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； ⑵ 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲⑴ 已知,a b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；⑵ 已知,,a b c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++++≥.银川一中2015届高三第四次模拟考试数学(文科)参考答案一、选择题二、填空题：13、1 14、2 15、36π 16、4 三、解答题：文科数学试卷 第5页(共6页)17．解：（1）a n =3n-2 …………………6分（2）由（1）知：n b n n 2223+=-．所以，数列{b n }的前n 项和S n =b 1+b 2+…b n ……8分4732(2222)2(12)n n -=++++++++……8分2(18)(1)2182n n n -+=+⋅- ……10分2(81)(1)7nn n =-++ ………12分 1819、解:（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为10.220.130.37540.2550.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………8分（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A ，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ……………………12分 20、解:(1)设(,)C x y ,由OC OA OB αβ=+可得(,)(1,0)(0,2)x y αβ=+-22xx y y αααβββ=⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩代入-2=1有1x y +=,即点C 的轨迹方程为1x y += …………4分(2)由222222222221()201x y a b x a x a a b x y ab +=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，设1122(,),(,)M x y N x y 则2222121222222,a a a b x x x x a b a b-+==++ ∵以MN 为直径的圆过原点O,0OM ON ∴= 121212121212222222220(1)(1)1()22120x x y y x x x x x x x x a a a b a b a b⇒+=⇒+--=-++-=-+=++22222211202a b a b a b ⇒+-=∴+=为定值 …………8分 (3)22222112,21a b a b a +=∴=-222,0121a ab a a a ∴>><>-即22222233,4131,214421a b e e a aa -≤∴=≤∴-≤-≤-即 ，1,122a a a >∴<≤<≤又即∴椭圆长轴的取值范围是 …………12分21、解：（1）求导()'2afx x x=+，()'12f a ∴=+又()10f =所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()21y a x =+-即()220a x y a +---=…………4分 (2)设()()()1g x f x b x =--即()0g x ≥在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，又()10g =有()()1g x g ≥恒成立 即1x =处取得极小值，得()'120g a b =+-=…6分所以2b a =+,从而()()'212a x x g x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=（ⅰ）当12a e ≤时，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()1g x g ≥ 即2a e≤…………8分 （ⅱ）112a e <≤时，()g x 在1,2a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()1,+∞上单调递增，则只需211210a g e e e e⎛⎫=-+-+≥ ⎪⎝⎭解得212a e e e <≤+-…………10分（ⅲ）当12a >时，，()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()1,+∞上单调递增，由()102a g g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭知不符合题意.综上，a 的取值范围是12a e e ≤+-…………12分22.【试题解析】解： (1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，//AD OC .…………5分(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆，AD ABOB OC=，8AD OC AB OB ⋅=⋅=. …………10分23.【试题解析】解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x .∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ.…………5分（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为2|9sin 2cos 2|+-=θθdABM ∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S所以ABM ∆面积的最大值为229+…………10分24.【试题解析】解：（1）证明：33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-.因为,a b 都是正数，所以0a b +>. 又因为a b ≠，所以2()0a b ->.于是2()()0a b a b +->,即3322()()0a b a b ab +-+> 所以3322a b a b ab +>+；…………5分（2）证明：因为2222,0b c bc a +≥≥，所以2222()2a b c a bc +≥. ①同理2222()2b a c ab c +≥. ② 2222()2c a b a b c+≥. ③ ①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++ 从而222222()a b b c c a abc a b c ++≥++.由,,a b c 都是正数，得0a b c ++>，因此222222a b b c c a abc a b c++≥++. …………10分2015年宁夏普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学 答 题 卡(银川一中第四次模拟考试) 考生姓名：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(此图仅供选做22题的考生使用)。

文科数学 第1页(共4页)绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学(银川一中第三次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3,1{=A ，},30|{N x x x B ∈<<=，则=B A IA ．}1{B ．}2,1{C ．}3,2,1{D ． }3,1{2．复数z 满足()1i z i i +=+（其中i 为虚数单位），则z 对应的点在第（ ）象限A ．一 B.二 C ．三 D ．四3．设曲线11x y x +=−在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =A ．2−B ．21− C ．21D ．24．已知向量(3,2)a =−r ，)1,(−=y x 且a r ∥b r ，若,x y 均为正数，则y x 23+的最小值是A ．24B ．8C ．38D ．355．已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a −+=，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则=⋅131b bA ．16B ．8C ．4D ．256．已知双曲线的渐近线方程为x y 21±=，则双曲线的离心率A ．23B ．25C ．25或5D ．23或3文科数学 第2页(共4页) 7．下列选项中，说法正确的是A ．命题为真”“q p ∨是命题为真”“q p ∧的必要条件.B ．若向量,满足0<⋅，则与的夹角为钝角.C ．若22bm am ≤，则b a ≤.D ．命题“0,0200≤−∈∃x x R x ”的否定是“0,2>−∈∃x x R x ”.8．甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是A ．甲是工人,乙是知识分子,丙是农民B ．甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C ．甲是知识分子,乙是工人,丙是农民D ．甲是农民,乙是知识分子,丙是工人 9．已知函数()12,1(0,1)log (1),1x a b x f x a a x x −⎧−≤=>≠⎨−+>⎩，在其定义域上单调，则ab 的值不可能的是A ．1−B ．1C ．2−D ．210．已知,x y 满足103220x y mx y x y +≥⎧⎪−≤⎨⎪−+≥⎩且3z x y =−的最大值为2，则实数m 的值为A ．13B ． 23C. 1 D ．2 11．在ABC Δ中，D 在三角形所在平面内一点，且2131+=,则ABC ABD S S ΔΔ= A ．32 B ．21 C ．31 D ．61 12．设函数()f x 是定义在(),0−∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有 ()()22'f x xf x x +>，则不等式()()220182018x f x ++()420f −−>的解集为A ．()2020,0−B ．(),2020−∞−C ．()2016,0−D ．(),2016−∞− 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知1sin 24α=，则2π2cos 4α⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠__________． 14．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是_______.14题图文科数学 第3页(共4页)15．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为_______.16. 如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内 的概率为31,若直角三角形的两条直角边的长分别为)(,b a b a <， 则=a b . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎞=+><⎜⎟⎝⎠的部分图像 如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC Δ中，角A,B,C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠，且其外接圆的半径R=2，求ABC Δ的面积的最大值.18．（本小题满分12分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．理科：79,81,81,79,94,92,85,89文科：94,80,90,81,73,84,90,80(1)画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．(参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为样本平均数)16题图15题图文科数学 第4页(共4页) 19．（本小题满分12分）在矩形ABCD 所在平面α的同一侧取两点E 、F ，使DE α⊥且AF α⊥，若3AB AF ==，4AD =，1DE =.（1）求证：BF AD ⊥（2）取BF 的中点G ，求证AGC DF 平面//（3）求多面体DCE ABF -的体积.20．（本小题满分12分）已知点P （0，-2），椭圆E ： ()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线PF 的斜率为2，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆O ：x 2+y 2=3截得的弦长为3，且与椭圆E 交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值．21．（本小题满分12分）设函数x x f ln )(=，)(2)1)(2()(x f x a x g −−−=.（1）当1=a 时，求函数)(x g 的单调区间和极值；（2）设)0(1)()(>++=b x b x f x F .对任意2121],2,0(,x x x x ≠∈，都有1)()(2121−<−−x x x F x F ，求实数b 的取值范围. 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为1cos sin x t y t=−+⎧⎨=⎩（t 为参数），圆2C 与圆1C 外切于原点O ，且两圆圆心的距离12||3C C =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）过点O 的直线1l 、2l 与圆2C 异于点O 的交点分别为点A 和点D ，与圆1C 异于点O 的交点分别为点C 和点B ，且12l l ⊥.求四边形ABCD 面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲已知函数()31f x x x =++−的最小值为m .（1）求m 的值以及此时的x 的取值范围；（2）若实数p ，q ，r 满足2222p q r m ++=，证明：()2q p r +≤.。