小波变换_mallat

关于⼩波变换和Gabor变换的⼀些知识！1.关于⼩波变换：⼀种多分辨率分析⼯具，为不同尺度上信号的的分析和表征提供了精确和统⼀框架。

它的原理是来源于Fourier变换！但是它⽐传统的Fourier变换有更多优点，⽐如：1）⼩波变换可以覆盖整个频域；2)可以通过选取合适滤波器，减少或除去提取的不同特征之间的相关性；3)具有“变焦”特性，低频段可⽤⾼频率分辨率和低时间分辨率，在⾼频段可⽤低频率分辨率和⾼时间分辨率4)⼩波变换在实现上有快速算法（Mallat⼩波分析算法）。

提到⼩波变换必须提到⼩波函数，简单的说，积分为0的函数都可以作为⼩波函数，还可以通过⼀系列变化得到连续的⼩波变换式。

⼩波变换适⽤⼩波函数族及其相应的尺度函数将原始信号分解成不同的频带。

⼀般所说的⼩波变换仅递归分解信号的低频部分，以⽣成下⼀尺度的各频道输出。

层层分解（图⽚不附了），这样的分解通常称为⾦字塔结构⼩波变换。

如果不仅仅对低通滤波器输出进⾏递归分解，⽽且也对⾼通滤波器的输出进⾏递归分解，则称之为⼩波包分解。

（树状的图形）⼩波变换具有良好的时频局部化、尺度变换和⽅向特征，是分析纹理的有⼒⼯具。

2.Gabor 变换根据模拟⼈类视觉系统⽽产⽣。

通过模拟⼈类视觉系统，可以将视⽹膜成像分解成⼀组滤波图像，每个分解的图像能够反映频率和⽅向在局部范围内的强度变化。

通过⼀组多通道Gabor滤波器，可以获得纹理特征。

Gabor变换的根本就是Gabor滤波器的设计，⽽滤波器的设计⼜是其频率函数（U,V）和Gauss函数参数（⼀个）的设计。

实际上，Gabor变换是为了提取信号Fourier变换的局部信息，使⽤了⼀个Gauss函数作为窗函数，因为⼀个Gauss函数的Fourier变换还是⼀个Gauss函数，所以Fourier逆变换也是局部的。

通过频率参数和⾼斯函数参数的选取，Gabor变换可以选取很多纹理特征，但是Gabor是⾮正交的，不同特征分量之间有冗余，所以在对纹理图像的分析中效率不太⾼。

Matlab中的小波变换与小波包分析方法详解引言近年来，小波变换在信号处理领域中得到了广泛的应用。

小波变换是一种能够捕捉信号时频特性的有效工具，可以用来分析、压缩和去噪各种类型的信号。

本文将详细介绍Matlab中的小波变换和小波包分析方法，以帮助读者更好地理解和应用这一强大的信号处理技术。

一、小波变换（Wavelet Transform）小波变换是一种将信号分解成不同尺度的基函数的技术。

与传统的傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部化特性。

Matlab中提供了丰富的小波分析工具箱，可以方便地进行小波变换的计算。

1.1 小波基函数小波基函数是小波变换的基础。

不同类型的小波基函数适用于不同类型的信号。

在Matlab中，我们可以使用多种小波基函数，如Daubechies小波、Haar小波和Morlet小波等。

1.2 小波分解小波分解是指将信号分解成多个尺度的小波系数。

通过小波分解，我们可以获取信号在不同尺度上的时频特性。

Matlab中提供了方便的小波分解函数，例如'dwt'和'wavedec'。

1.3 小波重构小波重构是指根据小波系数重新构建原始信号。

通过小波重构，我们可以恢复原始信号的时域特性。

在Matlab中，可以使用'idwt'和'waverec'函数进行小波重构。

二、小波包分析（Wavelet Packet Analysis）小波包分析是对小波变换的进一步扩展，它允许对信号进行更精细的分解和重构。

小波包分析提供了一种更灵活的信号分析方法，能够获得更详细的时频特性。

2.1 小波包分解小波包分解是指将信号分解成具有不同频带的小波包系数。

与小波分解相比，小波包分解提供了更高的分辨率和更详细的频谱信息。

在Matlab中，可以使用'wavedec'函数进行小波包分解。

2.2 小波包重构小波包重构是根据小波包系数重新构建原始信号。

基于小波变换的脉冲激光测距孙玉祥 314113002432摘要：从原理上分析了小波变换算法检测脉冲激光测距中信号奇异点的可行性，介绍了Mallat算法及小波基的选取等内容，在理论上验证了了小波变换算法可应用于高精度脉冲激光测距中。

1 引言随着激光的出现以及激光技术的发展，激光测距因激光方向性好、亮度高、波长单一、测程远、测量精度高而渐渐取代传统测距方式。

激光测距方法大体可分为三类：相位激光测距法、脉冲激光测距法、干涉测距法。

脉冲激光以其同等总发射平均光功率情况下，测距量程较大以及测距速度较快且无需合作目标的优点，目前获得了比较广泛的应用。

目前，虽然脉冲激光测距系统的原理和结构已十分成熟，但还存在着一定的不足。

在平行激光测距中，确定回波到达时刻的方法有很多，文献[1]列举了常用的几种方法，并对其确定回波到达时刻的效果进行了仿真,但结果都达不到很高的精度。

众所周知，小波变换已经成功地应用于许多研究领域，如时频分析，子带编码，多速率信号处理，计算机图形和降噪等[2]。

在时频分析领域，相对于传统的傅里叶变换方法，小波变化在时域或频域上都具有良好的局部特性，可以聚焦到分析对象的任意细节，被誉为“信号的显微镜”[3]。

小波变换能够把信号分解到一系列在对数意义上具有相同带宽的频率通道，因此能表示各种不同频率分量的信号。

利用信号与突变的奇异信号的小波系数幅值大小以及在小波域的分布不同，同时利用信号与突变的奇异信号的小波模极大值随尺度的变化快慢不同，可以得到突变的奇异信号在小波域中的位置以及小波系数大小，从而使得小波有着良好地检测奇异信号的优势。

基于小波变换能准确检测脉冲激光测距中回波信号奇异点的特性，可以讲小波变换算法应用于脉冲激光测距，计算出回波信号的奇异点，就可以确定回波的到达时刻。

2 小波变换理论基础2.1 小波变换设f(t)∈L 2(R ),ψ(t)为母小波函数，则称[4]：W f (a,b )=1√a f (t )ψ∗(t −b a )dt =<f (t ),ψa,b (t)> , a >0 为函数f(t)的小波变换。

毕业论文基于小波变换的图像去噪方法的研究学生姓名： 学号：学系 专 指导教师：2011年 5 月基于小波变换的图像去噪方法的研究摘要图像是人类传递信息的主要媒介。

然而,图像在生成和传输的过程中会受到各种噪声的干扰,对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。

寻求一种既能有效地减小噪声,又能很好地保留图像边缘信息的方法,是人们一直追求的目标。

小波分析是局部化时频分析,它用时域和频域联合表示信号的特征,是分析非平稳信号的有力工具。

它通过伸缩、平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析,能有效地从信号中提取信息。

随着小波变换理论的完善,小波在图像去噪中得到了广泛的应用,与传统的去噪方法相比小波分析有着很大的优势,它能在去噪的同时保留图像细节,得到原图像的最佳恢复。

本文对基于小波变换的图像去噪方法进行了深入的研究分析,首先详细介绍了几种经典的小波变换去噪方法。

对于小波变换模极大值去噪法,详细介绍了其去噪原理和算法,分析了去噪过程中参数的选取问题,并给出了一些选取依据;详细介绍了小波系数相关性去噪方法的原理和算法;对小波变换阈值去噪方法的原理和几个关键问题进行了详细讨论。

最后对这些方法进行了分析比较,讨论了它们各自的优缺点和适用条件,并给出了仿真实验结果。

在众多基于小波变换的图像去噪方法中,运用最多的是小波阈值萎缩去噪法。

传统的硬阈值函数和软阈值函数去噪方法在实际中得到了广泛的应用,而且取得了较好的效果。

但是硬阈值函数的不连续性导致重构信号容易出现伪吉布斯现象;而软阈值函数虽然整体连续性好,但估计值与实际值之间总存在恒定的偏差,具有一定的局限性。

鉴于此,本文提出了一种基于小波多分辨率分析和最小均方误差准则的自适应阈值去噪算法。

该方法利用小波阈值去噪基本原理,在基于最小均方误差算法LMS和Stein无偏估计的前提下,引出了一个具有多阶连续导数的阈值函数,利用其对阈值进行迭代运算,得到最优阈值,从而得到更好的图像去噪效果。

第一章绪论小波变换发展到现在在许多不同的研究领域都取得了令人瞩目的研究成果，尤其是在信号分析和图象处理方面，小波变换更显示出其无法比拟的优越性。

与经典的傅立叶分析理论相比，小波分析算是近年来出现一种新的数学分析方法[1]。

它被数学家和工程师们独立地发现，被看作是多元调和分析50年来发展的一个突破性的进展，它反映了大科学时代学科之间相互渗透、交叉、融合的趋势，是纯粹数学与应用数学及工程技术殊途同归的典范。

小波分析属于时频分析的一种，它在时间域和频率域同时具有良好的局部化性质，是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为分析信号的显微镜[2]。

小波分析如今已经广泛地应用于信号处理、图象处理、量子理论、地震勘测、语音识别与合成、雷达、CT成像、机器视觉等科技领域。

任何一个理论的发现和提出都有一个漫长的准备过程，小波分析也不例外。

1910年Harr提出了小波规范正交基，这是最早的小波基[2]，当时并没有出现“小波”这个词。

1936年Littlewood和Paley对Fourier级数建立了二进制频率分量理论：对频率按2j进行划分，其Fourier变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。

1946年Gabor提出了加窗Fourier变换（或称为短时Fourier变换）对弥补Fourier变换的不足起到了一定的作用，但是并没有彻底解决问题。

后来，Calderon、Zygmund、Stern 和Weiss等人将L-P理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论。

1965年，Calderon 给出了再生公式。

1974年，Coifmann对一维空间H P和高维H P空间给出了原子分解。

1975年，Calderon用他早先提出的再生公式给出了抛物形H P的原子分解，这一公式现已成为许多函数分解的出发点，它的离散形式已经接近小波展开。

小波变换微分求导1. 引言小波变换是一种用于信号处理和数据分析的重要工具，它能够将信号从时域转换到时频域，从而提供了更全面、更详细的信号特征信息。

微分是求函数在某一点处的斜率或变化率的运算，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

本文将介绍如何利用小波变换进行微分求导，以及其在信号处理中的应用。

2. 小波变换简介小波变换是一种通过将信号与一组基函数（小波）进行卷积来分析信号的方法。

与傅里叶变换只能提供频域信息不同，小波变换能够同时提供时域和频域信息。

它通过将信号分解成不同尺度（频率）和不同位置上的小波系数来表示原始信号。

小波变换可以表示为以下公式：W(a,b)=∫x∞−∞(t)ψ∗(t−ba)dt其中，W(a,b)是小波系数，x(t)是原始信号，ψ(t)是小波函数，a和b是尺度和位置参数。

3. 小波变换微分求导原理小波变换微分求导是指通过对小波系数进行微分操作，从而得到原始信号在不同尺度和位置上的导数信息。

在小波变换中，尺度参数a控制着小波函数的频率，而位置参数b则控制着小波函数的位移。

对于一维信号x(t)，其小波变换可以表示为：W(a,b)=∫x∞−∞(t)ψ∗(t−ba)dt我们可以对上式关于b进行求导，得到：∂W(a,b)∂b =∫x∞−∞(t)∂∂b[ψ∗(t−ba)]dt利用链式法则，我们可以将上式进一步转化为：∂W(a,b)∂b =−1a∫x∞−∞(t)ψ∗(t−ba)∂∂t[t−ba]dt由于ψ(t)是一个已知的小波函数，我们可以计算出ψ∗(t−ba )∂∂t[t−ba]的值。

然后，我们可以通过对小波系数W(a,b)关于b求导，得到原始信号在不同尺度和位置上的导数信息。

4. 小波变换微分求导算法小波变换微分求导的算法可以总结为以下几个步骤：1.对原始信号进行小波变换，得到小波系数W(a,b)。

2.计算ψ∗(t−ba )∂∂t[t−ba]的值。

3.对小波系数W(a,b)关于b求导，得到∂W(a,b)∂b。

论文题目：图像小波变换实现及EZW编码理论研究专业班级：学号：学生：签名：指导教师：签名：摘要21世纪，人类已进入信息化时代，其中图像信息是人类获得外界信息的主要来源，因此对图像的处理变得更为重要。

而小波变换以其良好的空间——频域局部特性，能对图像进行有效的处理。

本文研究的是小波变换在数字图像处理中的应用，文中介绍了数字图像处理的基本概念和小波变换的基本理论。

基于图像小波理论，对图像小波变换的实现技术——Mallat算法进行了分析，并根据Mallat算法应用VC++编程实现了图像小波变换。

Mallat算法是将计算小波系数与信号处理中滤波器相结合，构成塔式分解算法，大大简化了小波系数的计算。

嵌入式小波零树系数编码（EZW）是将小波变换的各子带系数表示为零树结构。

EZW是一种简单而有效的图像编码算法。

使用这种算法，编码者可在任一点结束编码，所以允许精确达到一个目标比率，而这时仍能产生同样的图像。

【关键词】图像处理、小波变换、压缩编码、EZW【论文类型】软件设计与理论研究Title:The Realization of Image Wavelet Transformation and The Coding Theory Research of EZW Major: Electronic information of science and technology Name: Signature:Name: Signature:ABSTRACTIn the 21st, man being steps into an era of information.In which image information become the main origin of obtain information from outside. So processing image information become more important. Wavelet transform has wonderful space and frequency, so it can deal with the image effectively.The main topic article discuss is wavelet transform the application of image processing. In the article introduces the basic conception of data image processing and the basic theory of wavelet transform. Based on the image wavelet transform theory, the realize of the image wavelet transform technology——analysis on Mallat algorithm, and basis on Mallat algorithm that use the software of VC++ realize of the image wavelet transform. Mallat algorithm is using the wavelet coefficients and the filter of signal processing, so it greatly simplified the computing of wavelet coefficients algorithm. EZW code is the structure which is a simple and effective image coding algorithm with which an encoder can terminate the encoding at any point ther eby allowing a target rate or distortion metric to be met exactly.【Key words】image process, wavelet transform,image compression, EZW【Type of Thesis】software design and theory research前言现在人类已经进入信息化时代，而人类从自然界获取信息中，其中图像信息是人类获得外界信息的主要来源，因为大约有70％的信息是通过人眼获得的，而人眼获得的都是图像信息。

小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。

而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。

展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。

这也就是相似性检测的思想。

但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。

因此，小波在实轴上是紧的。

而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。

而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。

此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。

（时频能量守恒）。

二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。

但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。

第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。

第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。

这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。

借此，计算机的处理才成为可能。

所有满足容许性条件（从-INF到+INF 积分为零）的函数，都可以成为小波。

小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。

但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。

用更为专业的俗语，叫再生核。

也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。

这就叫冗余性。

这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。

但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。

为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。

第一步，尺度离散化。

一般只将a二进离散化，此时b是任意的。

这样小波被称为二进小波。

第二步，离散b。

怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。