我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。
要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。
既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。
好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。
傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样
again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？
现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：
那什么是function正交呢？假设我们有两个函数f(x)和g(x)，那是什么？我们遵循vector的思路去想，两个vector 求内积，就是把他们相同位置上对应的点的乘积做一个累加。那移过来，就是对每一个x点，对应的f和g做乘积，再累加。不过问题是，f和g都是无限函数阿，x又是一个连续的值。怎么办呢？向量是离散的，所以累加，函数是连续的，那就是…….积分！
我们知道函数内积是这样算的了，自然也就容易证明，按照这个形式去写的傅立叶展开，这些级数确实都是两两正交的。证明过程这里就不展开了。好，下一个问题就是，为什么它们是正交basis如此重要呢？这就牵涉到系数的求解了。我们研究了函数f，研究了级数，一堆三角函数和常数1，那系数呢？a0, a1, a2这些系数该怎么确定呢？好，比如我这里准备求a1了。我现在知道什么？信号f(x)是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求a1呢？很简单，把方程两端的所有部分都求和cosx的内积，即：
然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非a1项全部消失了，因为他们和cosx的内积都是0！所有就简化为
这样，a1就求解出来了。到这里，你就看出正交的奇妙性了吧:)
好，现在我们知道，傅立叶变换就是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，可以是离散的。傅立叶所用的function basis是专门挑选的，是正交的，是利于计算coefficients的。但千万别误解为展开变换所用的basis都是正交的，这完全取决于具体的使用需求，比如泰勒展开的basis就只是简单的非正交多项式。
有了傅立叶变换的基础，接下来，我们就看看什么是小波变换。首先来说说什么是小波。所谓波，就是在时间域或者空间域的震荡方程，比如正弦波，就是一种波。什么是波分析？针对波的分析拉（囧）。并不是说小波分析才属于波分析，傅立叶分析也是波分析，因为正弦波也是一种波嘛。那什么是小波呢？这个”小“，是针对傅立叶波而言的。傅立叶所用的波是什么？正弦波，这玩意以有着无穷的能量，同样的幅度在整个无穷大区间里面振荡，像下面这样：
那小波是什么呢？是一种能量在时域非常集中的波。它的能量是有限的，而且集中在某一点附近。比如下面这样：
这种小波有什么好处呢？它对于分析瞬时时变信号非常有用。它有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题。恩，以上就是通常情况下你能在国内网站上搜到的小波变换文章告诉你的。但为什么呢？这是我希望在这个系列文章中讲清楚的。不过在这篇文章里，我先点到为止，把小波变换的重要特性以及优点cover了，在下一篇文章中再具体推导这些特性。
小波变换的本质和傅立叶变换类似，也是用精心挑选的basis来表示信号方程。每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个scaling function，中文是尺度函数，也被成为父小波。任何小波变换的basis函数，其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移后的集合。下面这附图就是某种小波的示意图：
从这里看出，这里的缩放倍数都是2的级数（例2的3次方等于8），平移的大小和当前其缩放的程度有关。这样的好处是，小波的basis函数既有高频又有低频，同时还覆盖了时域。对于这点，我们会在之后详细阐述。
小波展开的形式通常都是这样（注意，这个只是近似表达，严谨的展开形式请参考第二篇）：
其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是，小波
级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些特性：
1. 小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。这个和傅立叶级数有很大区别。后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。
2. 围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_{j,k}，决定。这个特性是得益于小波变换是二维变换。我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数
是，而小波级数是。
3. 从信号算出展开系数a需要很方便。普遍情况下，小波变换的复杂度是O(Nlog(N))，和FFT相当。有不少很快的变换甚至可以达到O(N)，也就是说，计算复杂度和信号长度是线性的关系。小波变换的等式定义，可以没有积分，没有微分，仅仅是乘法和加法即可以做到，和现代计算机的计算指令完全match。
可能看到这里，你会有点晕了。这些特性是怎么来的？为什么需要有这些特性？具体到实践中，它们到底是怎么给小波变换带来比别人更强的好处的？计算简单这个可能好理解，因为前面我们已经讲过正交特性了。那么二维变换呢？频域和时域定位是如何进行的呢？恩，我完全理解你的感受，因为当初我看别的文章，也是有这些问题，就是看不到答案。要说想完全理解小波变换的这些本质，需要详细的讲解，所以我就把它放到下一篇了。
接下来，上几张图，我们以一些基本的信号处理来呈现小波变换比傅立叶变换好的地方，我保证，你看了这个比较之后，大概能隐约感受到小波变换的强大，并对背后的原理充满期待:)
假设我们现在有这么一个信号：
看到了吧，这个信号就是一个直流信号。我们用傅立叶将其展开，会发现形式非常简单：只有一个级数系数不是0，其他所有级数系数都是0。好，我们再看接下来这个信号：
简单说，就是在前一个直流信号上，增加了一个突变。其实这个突变，在时域中看来很简单，前面还是很平滑的直流，后面也是很平滑的直流，就是中间有一个阶跃嘛。但是，如果我们再次让其傅立叶展开呢？所有的傅立叶级数都为非0了！为什么？因为傅立叶必须用三角波来展开信号，对于这种变换突然而剧烈的信号来讲，即使只有一小段变换，傅立叶也不得不用大量的三角波去拟合，就像这样：
看看上面这个图。学过基本的信号知识的朋友估计都能想到，这不就是Gibbs现象么？Exactly。用比较八股的说法来解释，Gibbs现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛所引起的，即使在N趋于无穷大时，这一现象也依然存在。其实通俗一点解释，就是当变化太sharp的时候，三角波fit不过来了，就凑合出Gibbs了:)
接下来我们来看看，如果用刚才举例中的那种小波，展开之后是这样的：
看见了么？只要小波basis不和这个信号变化重叠，它所对应的级数系数都为0！也就是说，假如我们就用这个三级小波对此信号展开，那么只有3个级数系数不为0 。你可以使用更复杂的小波，不管什么小波，大部分级数系数都会是0。原因？由于小波basis的特殊性，任何小波和常量函数的内积都趋近于0。换句话说，选小波的时候，就需
要保证母小波在一个周期的积分趋近于0。正是这个有趣的性质，让小波变换的计算以及对信号的诠释比傅立叶变换更胜一筹！原因在于，小波变换允许更加精确的局部描述以及信号特征的分离。一个傅立叶系数通常表示某个贯穿整个时间域的信号分量，因此，即使是临时的信号，其特征也被强扯到了整个时间周期去描述。而小波展开的系数则代表了对应分量它当下的自己，因此非常容易诠释。
小波变换的优势不仅仅在这里。事实上，对于傅立叶变换以及大部分的信号变换系统，他们的函数基都是固定的，那么变换后的结果只能按部就班被分析推导出来，没有任何灵活性，比如你如果决定使用傅立叶变换了，那basis f unction就是正弦波，你不管怎么scale，它都是正弦波，即使你举出余弦波，它还是移相后的正弦波。总之你就只能用正弦波，没有任何商量的余地。而对于小波变换来讲，基是变的，是可以根据信号来推导或者构建出来的，只要符合小波变换的性质和特点即可。也就是说，如果你有着比较特殊的信号需要处理，你甚至可以构建一个专门针对这种特殊信号的小波basis function集合对其进行分析。这种灵活性是任何别的变换都无法比拟的。总结来说，傅立叶变换适合周期性的，统计特性不随时间变化的信号; 而小波变换则适用于大部分信号，尤其是瞬时信号。它针对绝大部分信号的压缩，去噪，检测效果都特别好。
在上一篇中讲到，每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。
还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样：
其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。
我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？
在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。
首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：
另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。
其中是母小波，是父小波。需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不
是说小波变换的基就一定必须是正交的。但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？wavelet function背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。
假设我们有这样一个信号：
该信号长度为8，是离散的一维信号。我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。下面是它的一种母小波：
那如何构建基于这个母小波的基呢？刚才提到了，要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是ψ(2n)：
但这样的话，它与自己的内积就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈尔小波的basis function：
同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到4n，8n，…….下的basis function。当然在这个例子里，我们信号长度就是8，所以做到4n就够了。但推广来说，就是这种scaling对母小波的作用为，这是归一化后的表示形式。
平移的话也很简单，我们可以对母小波进行平移，也可以对scale之后的basis function进行平移。比如对上一幅图中的basis function进行平移，就成了
看得出来，平移后的basis function和母小波以及仅仅scale过的小波，都是正交的，附合小波basis的特点。如果我们用ψ(n)来表示这个mother wavelet，那么这些orthonormal basis函数可以写成：
这里的k是可以看成时域的参数，因为它控制着小波基时域的转移，而j是频域的参数，因为它决定了小波基的频率特性。看到这里，你应该会感觉很熟悉，因为这里的平移和变换本质和刚才对scaling function的平移变换是一模一样的。
这样，我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合：
图1
可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层，小波的数量都是上面一层的两倍。在图中，每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。
等等，你可能已经发现了，有问题。这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢？这货明显不是wavelet function 阿。没错，它是之前提到的scaling function，也就是父小波。然后你可能就会问，为啥这个凭空插了一个scaling f unction出来呢？明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。是，确实是，就算不包括scaling function，这些小波函数本身也组成了正交归一基，但如果仅限于此的话，小波变换也就没那么神奇的功效了。引入这个scaling f unction，才能引入我们提到的多解析度分析的理论，而小波变换的强大，就体现在这个多解析度上。那在这里，我们怎么用这个多解析度呢？这个哈尔小波basis组合是怎么通过多解析度推导出来的呢？
话说在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间，对于信号处理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可积函数所组成的函数空间。我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R)空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合，这样就等于对信号提出了一个限制，就是信号能量必须是有限的，否则它就不可积了。小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。这玩意的特性要具体解释起来太数学了，牵涉到太多泛函知识，我就不在这里详述了。而且老实说我也没能力完全讲清楚，毕竟不是学这个的，有兴趣可以参考wiki。总之你记住，小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号，但其应用不限于这种信号，就行了。
对L^2(R)空间做MRA是在干嘛呢？就是说，在L^2(R)空间中，我们可以找出一个嵌套的空间序列，并有下列性质：(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v) 有这样一个方程, 是的orthonormal basis。
我来简单解释一下这些性质。这个V_j都是L^2(R)空间中的子空间，然后他们是由小到大的，交集是{0}，因为这是最小的子空间，并集就是L空间。是不是有点难以理解？没关系，看看下面这个图就清楚了：
这个图是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0，之后分别是V1，V2，V3，V4 。那他们有趣的性质就是，假如有一个函数f(t)他属于一个某空间，那你将其在时域上平移，它还是属于这个空间。但如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。
同时我们还知道，你要形容每一个空间的话，都需要有对应的orthonormal basis，这是必然的，那对于V0来讲，它的orthonormal basis就是
这一系列函数是什么呢？是的时域变换，而且我们刚才也说了，时域上平移，是不会跳出这个空间的。这样，我们就可以说，由这一系列basis所定义的L^2(R)子空间V0被这些basis所span，表示成：
k从负无穷到正无穷。上面的bar表示这是一个闭包空间，也就是说
这样，我们就定义了基本的V0这个子空间。刚才说了，这个子空间的基都是对的整数时域变换，这里我们称
为scaling function，所以换个说法，就是说这里整个子空间V0，由scaling function和其时域变换的兄弟们span。
当然，如果这个scaling function只是用来代表一个子空间的，那它的地位也就不会这么重要了。刚才我们提到，这个嵌套空间序列有一个性质，。这就是这个函数，如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。这个性质就有意思了，它代表什么呢？对于任何一个包含V0的更上一层的空间来讲，他们的基都可以通过对scaling function做频域的scale后再做时域上的整数变换得到！推广开来就是说，当
我们有
这也就意味着，对于任何属于V_j空间的函数f(t)，都可以表示为：
到这里，我们就明白这些个子空间和那个凭空冒出来的scaling function的作用了。scaling的构建这些不同的子空间的基础，当j越大的时候，每一次你对频率变换后的scaling function所做的时域上的整数平移幅度会越小，这样在这个j子空间里面得到的f(t)表示粒度会很细，细节展现很多。反之亦然。通俗点说，就是对scaling function 的变换平移给你不同的子空间，而不同的子空间给你不同的分辨率，这样你就可以用不同的分辨率去看目标信号。
下面就是时候看看什么是MRA equation了，这是更加有趣，也是更加核心的地方。通过刚才的讲解，V0属于V1，那scaling function是在V0中的，自然也在V1中了。我们把他写成V1的基的线性组合，那就是
其中的h(n)是scaling function的系数，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是实数，也可以是虚数。根号2是为了维持norm为1的。看，在这个公式里，我们就把属于V0的函数用V1的基表示出来了。同理，我们可
以循环如此，把属于V0的在V2, V3, …, Vn中表示出来。这些方程就是MRA equation，也叫refinement eq uation，它是scaling function理论的基础，也是小波分析的基础之一。
好，稍微总结一下。到现在，已经讲了关于scaling function的基本理论知识，知道了信号空间可以分为不同精细度的子空间，这些子空间的basis集合就是scaling function或者频率变换之后的scaling function，如下图所示：
上图就是四个子空间的basis集合的展览。通过前面的讨论，我们还知道，一开始的scaling function可以通过更精细的子空间的scaling function（它们都是对应子空间的basis）来构建。比如
对于更加finer的scale：
图2
依此类推。实际上，对于任何scale和translate过的scaling function，都可以用更加精细的scale层面上的scaling function构建出来。
然后，我们有各种scale下的scaling function了，该看看它们分别所对应的嵌套的空间序列了。先看看V0，自然就是以基本的scaling function为基础去span出来的：
这个不新鲜，刚才就讲过了。这个子空间代表什么样的信号？常量信号。道理很简单，这个scaling function在整个信号长度上，没有任何变化。继续往下看：
这个相比V0更加finer的子空间，代表着这样一种信号，它从1-4是常量，从5-8是另一个常量。同理我们有：
V2代表的信号，是分别在1，2; 3，4; 5，6; 7，8上有相同值的信号。那么V3呢？则表示任何信号，因为对于V 3来讲，任何一个时间刻度上的值都可以不一样。而且现在，我们也可以通过上面的一些scaling functions的波形验证了之前提到的多解析度分析中的一个核心性质，那就是：
我们之前讲了一堆多解析度的理论，但直到现在，通过这些图形化的分析，我们可能才会真正理解它。那好，既然我们有一个现成的信号，那就来看看，对这个信号作多解析度分析是啥样子的：
你看，在不同的子空间，对于同一个信号就有不同的诠释。诠释最好的当然是V3，完全不损失细节。这就是多解析度的意义。我们可以有嵌套的，由scaling function演变的basis function集合，每一个集合都提供对原始信号的某种近似，解析度越高，近似越精确。
说到这里，可能你对scaling function以及多解析度分析已经比较理解了。但是，我们还没有涉及到它们在小波变换中的具体应用，也就是还没有回答刚才那个问题：凭空插了一个scaling function到小波basis组合中干嘛。也就是说，我们希望理解scaling function是怎么和小波函数结合的呢，多解析度能给小波变换带来什么样的好处呢。这其实就是是小波变换中的核心知识。理解了这个，后面的小波变换就是纯数学计算了。
好，我们已经知道，对于子空间V0，basis是scaling function：
对应的小波函数是：
然后子空间V1的basis集合是这俩哥们：
看出什么规律了么？多看几次这三个图，你会惊讶地发现，在V0中的scaling function和wavelet function的组合，其实就是V1中的basis！继续这样推导，V1本来的的basis是：
然后V1中对应的wavelet function是
他们的组合，本质上也就是V2的basis（参考图2）。你继续推导下去，会得到同样的结论：在scale j的wavelet function，可以被用来将Vj的basis扩展到V(j+1)中去！这是一个非常非常关键的性质，因为这代表着，对任何一个子空间Vj，我们现在有两种方法去得到它的orthonormal basis：
1. 一种就是它本来的basis ，对任意k。
2. 第二种就是它上一个子空间的basis，对任意k，以及上一级子空间的wavelet function ，对任意k。
第二种选择能给我们带来额外的好处，那就是我们可以循环不断地用上一级子空间的scaling function以及wavelet function的组合来作为当前子空间的基。换句话说，如果针对V3这个子空间，它实际上就有四种不同的，但是等价的orthonormal basis：
1. 本级(V3)的scaling function basis set
2. 上一级(V2)的scaling function + wavelet function;
3 . 上上一级(V1)的scaling function + 上上一级(V1)的wavelet function + 上一级(V2)的wavelet function;
4. 上上上一级(V0)的scaling function + 上上上一级(V0)的wavelet function + 上上一级(V1)的wavelet function + 上一级(V2)的wavelet function
好，看看最后一种选取方式，有没有感到眼熟？对了，它就是我们之前提到的“针对此信号space的哈尔小波basis 组合”，参见图1。现在我们知道了，这个scaling function不是凭空插进去的，而是通过不断的嵌套迭代出来的：）
那为什么我们最后选定的是这种选取方式呢？实际上，刚才介绍的这个性质已经告诉我们，对于任何的scale j0，我们都可以给我们的signal space找到一组orthonormal basis，这个basis是通过组合scale j0上的scaling function 以及所有在scale j，j>=j0上的wavelets得到的。这样，基于这个orthonormal basis，所有信号空间中的信号都可以写成组成这个basis的functions的线性组合：
对应的系数的计算和平常一样：
这，就是最终的，也是最核心的，小波变换形式。不管是信号压缩，滤波，还是别的方式处理，只要是用小波变换，都逃不出这个基础流程：
1. 选取合适的wavelet function和scaling function，从已有的信号中，反算出系数c和d。
2. 对系数做对应处理
3. 从处理后的系数中重新构建信号。
这里的系数处理是区别你的应用的重点。比如图像或者视频压缩，就希望选取能将能量聚集到很小一部分系数中的小波，然后抛弃那些能量很小的小波系数，只保留少数的这些大头系数，再反变换回去。这样的话，图像信号的能量并没有怎么丢失，图像体积却大大减小了。
还有一个没有解释的问题是，为什么要强调尺度函数和小波函数组成一个orthonormal basis呢？计算方便是一方面，还有一个原因是，如果他们满足这个性质，就满足瑞利能量定理，也就是说，信号的能量，可以完全用每个频域里面的展开部分的能量，也就是他们的展开系数表示：
到这里，我们对小波变换的形式就讲完了。虽然是用的最简单的哈尔小波为例子，但举一反三即可。我们着重介绍了多解析度分析以及它给小波变换带来的杀手锏：时域频域同时定位。结束之前，再多说几句小波变换的意义。我们拿刚才例子中V3子空间的第二种可选择的orthonormal basis作为例子：
左边这四个basis组成元素，也就是scaling functions，的系数，表征的是信号的local平均（想想它们和信号的内积形式），而右边的这四个basis组成元素，也就是wavelet functions，的系数则表征了在local平均中丢失的信号细节。得益于此，多解析度分析能够对信号在越来越宽的区域上取平均，等同于做低通滤波，而且，它还能保留因为平均而损失的信号细节，等同于做高通滤波！这样，我们终于可以解释了wavelet function和scaling function背后的物理意义了：wavelet function等同于对信号做高通滤波保留变化细节，而scaling function等同于对信号做低通滤波保留平滑的shape！
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样 again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？ 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：
第五章小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度 ②小波发展史 1910 Harr 小波 80 年代初兴起Meyer—小波解析形式 小波80 年代末 Mallat 多分辨率分析— WT 无须尺度 构造？和小波函数—滤波器组实现 90 年代初 Daubechies 正交小波变换 90 年代中后期 Sweblews 第二代小波变换 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数WT（要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的 5.1连续小波变换 一． CWT 与时频分析 1t b 1.概念： CWT (a, b)S(t) * ()dt a a 2.小波变换与 STFT 用于时频分析的区别 STFT小波变换 基函数 (t )(t mT )e jwt(t)1* ( t b ) a a 时频轴平移 +调制（线性频轴）平移+伸缩 a —尺度—对数频 轴 基函数特包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定 征
时频分辨(t mT )e jwt，[mT,w]附近w0 附近 b, 率 a 适用情况渐变信号突变信号 2 轴spectrogram scalogram 结果复数实数 3.WT 与 STFT 对比举例（ Fig5–6, Fig5–7） 二． WT 几个注意的问题 1.WT 与(t) 选择有关—应用信号分析还是信号复原 2.母小波(t ) 必须满足容许性条件 2 ( w) C dw w ①隐含要求(0) 0,即(t) 具有带通特性 ②利用 C可推出反变换表达式 S(t) 1 1 CWT (a,b) (t b )dadb C a 2 a 3.CWT 高度冗余（与 CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量 b 和尺度进行离散化） 2 m , b n 2 m 1 ( t b ) m (2m t n) a a, b (t ) m,n (t ) 2 2 a a d m,n CWT (2 m , n 2 m ) S(t ) m,n * (t) dt 5.小波变换具有时移不变性 S(t ) C W T(a, b) S(t b0 ) C WT(a,b b0 ) 6.用小波重构信号 S(t) ? ? d m,n m,n (t )正交小波 d m,n m,n (t ) m n mn 中心问题：如何构建对偶框架? m, n
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ
2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分）
（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247
时间序列的小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中， 0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f(t)a )b ,a (W R 2 /1-f ?-= （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；) a b x (-ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，（k=1,2,…,N; t ?
小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式 ?()()i t f f t e dt ωω∞ --∞ =?? （1） 逆变换公式 ? ∞ ∞ -?= dt e f t f t i ωωπ )(?21 )( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频 谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数 )(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信 号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下： (,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞ --∞ =-? （3）
小波变换完美通俗解读 转自： 这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。 记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。当然后来也退学了，不过这是后话。当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA这些东西了。对小波变换的认识也就停留在神秘的"图像视频压缩算法之王"上面。 后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢?说实话，我还在国内的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。看了一些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国内真TNND不是一个档次的。同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂；国内的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。 牢骚就不继续发挥了。在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如 图所示[6] ： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下
《软件开发》 课程设计 题目：小波算法的设计 【题目要求：将小波算法在MATLAB中实现，并将其应用于数字图像处理中。】 学院：数学学院 专业班级：应用数学09-2班 姓名：明 学号：20096312 指导教师：邢燕、何蕾 2013.3.5
小波算法的设计 一、小波变换背景 小波变换是当前应用数学中一个迅速发展的领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力 工具。它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的，具有许多特殊的性能和优点。 小波分析是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析，对它的研究开始于20世纪80年代， 理论基础奠基于20世纪80年代末。经过十几年的发展，它已在信号处理与分析、地震信号处理、信号奇异性监测和谱古迹、计算机视觉、语音信号处理、图像处理与分析，尤其是图像编码等领域取得了突破性进展，成为一个研究开发的前沿热点。 二、小波变换概念 小波变换是一窗口大小固定不变但其形状可改变的时频局部化分析方法。小波变换在信号的高频部分，可以取得较好的时间分辨率；在信号的低频部分，可以取得较好的频率分辨率，从而能有效地从信号〔语音、图像等)中提取信息。 设)(t f 是平方可积分函数，即)()(2R L t f ∈，则该连续函数的小波变换定义为： dt a b t t f a b a WT f )()(1 ),(*-=?+∞ ∞-ψ 0≠a 式中)()(1 ,*t a b t a b a ψψ=-称为母小波)(t ψ（基本小波）生成的位移和尺度伸缩，其中a 为尺度参数，b 为平移参数。 连续小波变换有明确的物理意义，尺度参数a 越大，则)(a t ψ越宽，该函数的时间分辨 率越低。)(t ab ψ前增加因子 a 1是为了使不同的a 下的)(t a b ψ能量相同。而),(b a WT f 在频域可以表示为ωωψωπωd e F a b a WT b j f )()(2),(*?=。)(ωψ是幅频特性比较集中的带通 函数，小波变换具有表征分析信号)(ωF 频域上局部性质的能力。采用不同的a 值做处理时，)(ωψ的中心频率和带宽都不同，但品质因数（中心频率/带宽）却不变。
小波变换的基本原理
10.2 小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.Molet在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1 小波分析的基本原理 小波函数的数学表达 ?Skip Record If...?
小波变换理论及应用 ABSTRACT：小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术，因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率，被称为“数学显微镜”，在数值信号处理领域应用广泛，发展非常快。但其涉及较多的数学知识，以及巧妙的数字计算技巧，对于非数学专业的科研人员，要完全掌握其中的精妙之处，有一定的难度。正是考虑到这一点，本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论，只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识，接着阐述小波变换理论。在理解了小波变换理论的基础上，再举例说明小波变换在实际中的应用。 第一章小波变换理论 这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。 1.1.从傅里叶变换到小波变换 一、傅里叶变换 在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换（Fourier Transform），它架起了时间域和频率域之间的桥梁。图1.1给出了傅里叶分析的示意图。 图1.1 傅里叶变换示意图 定义x(t)的傅里叶变换X(ω)： ?∞∞-- =dt e t x X t jω ω) ( ) ( (1) X(ω)的傅里叶反变换x(t)： ?∞∞- =ω ω π ωd e X t x t j ) ( 2 1 ) ( (2) 对很多信号来说，傅里叶分析非常有用。因为它能给出信号中包含的各种频率成分。但是，傅里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或）特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。这些特性是信号的重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。
二、短时傅里叶变换 为了克服傅里叶变换的缺点，D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed Fourier Transform)。图1.2给出了短时傅里叶变换的示意图。 图1.2短时傅里叶变换 盖博变换把一个时间信号变换为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。盖博变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗的大小都相同。然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。 三、小波变换 小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。图1.3给出了时间域信号、傅 里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换对比的示意图。 时间域频率域 短时傅里叶变换小波变换 图1.3 小波变换示意图 1.2.连续小波变换 什么是小波？小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零）， 且其均值为零。小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好的解决了时
小波分析原理 1.1 小波变换及小波函数的多样性 小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ： 2 ?().R C d ψψωωω+=<∞? 式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，?()ψ ω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。 对于实数对(,)a b ，参数a 为非零实数，函数 1 (,)()x b a b x a a ψψ-??= ??? 称为由小波母函数()x ψ生成的依赖于参数对(,)a b 的连续小波函数，简称小波。其中：a 称为伸缩因子；b 称为平移因子。 对信号()f x 的连续小波变换则定义为 ,1 (,)()(),()f a b R x b W a b f x dx f x x a a ψψ-??==?? ??? ? 其逆变换（回复信号或重构信号）为 *1 ()(,)f R R x b f x W a b dadb C a ψψ?-??= ??? ?? 信号()f x 的离散小波变换定义为 2(2,2)2()(2)j j j j f W k f x x k dx ψ+∞ ---∞=-? 其逆变换（恢复信号或重构信号）为 (2,2)()(2,2)()j j j j f k j k f t C W k x ψ+∞ +∞=-∞=-∞=∑∑ 其中，C 是一个与信号无关的常数。 显然小波函数具有多样性。在MATLAB 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr 小波，Daubecheies （dbN ）小波系，Symlets （symN ）小波系，ReverseBior （rbio ）小波系，Meyer （meyer ）小波，Dmeyer （dmey ）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie （lem ）小波系等。实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。 1.2 小波的多尺度分解与重构 1988年Mallat 在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()f x L R ∈都可以根据分
小波分析及其应用Wavelet Analysis and It’s Applications 同济大学计算机系 宣国荣 2003年6月10日星期二
研究生讲座：小波分析及其应用 1、小波的特点和发展 2、小波分析在一维信号处理中的应用 3 、小波分析在图象分析中的应用 图象特征抽取 图象压缩 数据隐藏和图象水印
1、小波的特点和发展 “小波分析”是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。 例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。
小波的时间和频率特性 时间A时间B 运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。 ?时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。?频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较 高频率成分。
小波的成就 小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世 纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶 分析、函数空间等）。 小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。 在计算机应用、信号处理、图象分析、 非线性科学、地球科学和应用技术等 已有重大突破，预示着小波分析进一 步热潮的到来。
多分辨度分析（MRA）?1988年Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括 语音识别中的镜向滤波，图象处理中 的金字塔方法，地震分析中短时波形 处理等。 ?当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。 例如：
东北大学 研究生考试试卷 考试科目：状态监测与故障诊断 课程编号： 阅卷人： 考试日期：2013.12 姓名：王培军 学号：1300483 注意事项 1．考前研究生将上述项目填写清楚 2．字迹要清楚，保持卷面清洁 3．交卷时请将本试卷和题签一起上交 东北大学研究生院
小波分析的基本理论 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的。小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点。而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。 1 小波变换理论 1.1 连续小波变换 定义1.1 小波函数的定义：设ψ（x ）为一平方可积函数，也即ψ（x ）∈ L 2 （R ），若其傅里叶变换ψ（ω）满足条件： C ψ= |ψ （ω）| |ω| d ω<+∞+∞?∞ 1-1 则称ψ（x ）是一个基本小波或小波母函数（Mother Wavelet ），并称上式为小 波函数的容许性条件。 由定义1.1可知，小波函数具有两个特点： （1）小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。由定义的条件知道任何满足可容许性条件的L 2（R ）空间的函数都可以作为小波母函数（包括实数函数或复数函数、紧支集或非紧支集函数等）。但是在一般的情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的同时具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函，让小波母函数在时域和频域都具有较好的局部特性，这样可以更好的完成实验。 （2）波动性：若设ψ （ω）在点ω=0连续,则由容许性条件得: ψ x dx =ψ 0 =0+∞ ?∞ 1-2 也即直流分量为零,同时也就说明ψ（x ）必是具有正负交替的波动性,这也是其 称为小波的原因。 定义1.2 连续小波基函数的定义:将小波母函数ψ（x ）进行伸缩和平移,设其收缩因子(即尺度因子)为a,平移因子为b,使其平移伸缩后的函数为ψa,b （x ）,则有: ψa ，b x =|a |? 12 ψ x ?b a ，a >0，b ∈R 1-3 称ψa,b （x ）为依赖于参数a,b 的小波基函数。由于伸缩因子a,平移因子b 都是取连续变化的值,因此又称ψa,b （x ）为连续小波基函数。它们是一组函数系列,这组函数系列是由同一母函数ψ（x ）经伸缩和平移后得到的。 定义1.3 若f （x ）∈ L 2（R ）,函数f(x)在小波基下进行展开,则f(x)的连续小波变换(CWT)定义为: W ψf a ，b = f x ，ψa ，b x = a f x ψ x ?b a dx +∞?∞ 1-4 由定义1.3可知,小波基具有收缩因子a 和平移因子b,若将函数在小波基下展开,就是把一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上,把一个一维函数变换为一个二维函数,即连续小波变换W ψf （a,b ）是f （x ）在函数ψa,b （x ）上的“投影”。
基于小波变换的信号降噪研究 2小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2(R)(L 2(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 ()R t dw w C ψψ=<∞?（1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到 一个小波序列： ,()()a b t b t a ψ-=,,0a b R a ∈≠（2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2(R) 的连续小波变换为： ,(,),()()f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= （3）其逆变换为：21 1()(,)()f R R t b f t a b dadb C a a ψψ+-=??（4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3小波降噪的原理和方法 3.1小波降噪原理 从信号学的角度看,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波,但由于在去噪后,还能成功地保留信号特征,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合,其流程框图如图所示[6]： 特征提取 低通滤波 特征信号 重建信号 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式：带噪信号
第3章小波与小波变换 (征求意见稿) 清华大学计算机科学与技术系 智能技术与系统国家重点实验室 林福宗，2001-9-25 小波是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学 工具，是继110多年前的傅立叶(Joseph Fourier)分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。本章企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景材料。 3.1 小波介绍 3.1.1 小波简史 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。 20世纪初，哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现了小波，并被命名为哈尔小波(Haar wavelets)，他最早发现和使用了小波。 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家Jean Morlet提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 进入20世纪80年代，法国的科学家Y.Meyer和他的同事开始为此开发系统的小波分析方法。Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations) 与平移(translations)均为j2(j≥0的整数)的倍数构造了2L(R)空间的规范正交基，使小波得到真正的发展。 小波变换的主要算法则是由法国的科学家Stephane Mallat在1988年提出[1]。他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat算法[1]。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。 Inrid Daubechies，Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。例如，Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系[2]，使离散小波分析变成为现实。在信号处理中，自从S.Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波在信号(如声音信号，图像信号等)处理中得到极其广泛的应用。 经过十几年的努力，这门学科的理论基础已经基本建立，并成为应用数学的一个新领域。这门新兴学科的出现引起了许多数学家和工程技术人员的极大关注，是国际科技界和众多学术团体高度关注的前沿领域。