高考总复习数学课件：第八章 第2讲 空间几何体的表面积和体积

解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
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2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 因为侧面展开图是一个半圆， 所以πl＝2πr，即l＝2r， 所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面 直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
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训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点， 得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出 的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图

4πR2＝814π.
答案(dá àn)：A
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(3)(2013 年新课标Ⅰ)如图 8-2-7，有一个水平放置的透明无 盖的正方体容器(róngqì)，容器(róngqì)高 8 cm，将一个球放在容器(róngqì)口，再向容
容器厚度(hòudù)，则球的体积为( )
器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计
A.5030πcm3
图 8-2-7
B.8636πcm3
C.13732πcm3 D.20438πcm3
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解析(jiě xī)：如图 8-2-8，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝
2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm).
图 8-2-8 设球的半径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42. ∴R＝5.∴V 球＝43π×53＝5030π(cm3). 答案(dá àn)：A
(2)圆台的母线 l、高 h 和上、下底面圆的半径 r，R 组成直
角梯形.圆台的计算(jìsuàn)一般归结为解这个直角梯形，关系式是 l2＝
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3.球的截面性质：球的截面是圆面，球面被经过球心的平 面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做 球的小圆；球心和截面圆心的连线垂直于截面；r＝ R2－d2 (其 中 r 为截面圆半径，R 为球的半径，d 为球心 O 到截面圆的距 离，即 O 到截面圆心 O1 的距离).
体积
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h ＝13π(r21＋r22＋r1r2)h V＝Sh V＝13Sh
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝43πR3
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圆柱
圆锥
侧面展开图
圆台
侧面积公式 S圆柱侧＝ 2πrl
S圆锥侧＝ πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称 几何体
表侧＋2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
体积
V＝__S_h_ 1
V＝_3_S_h_
台体 (棱台和圆台)
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积 例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体， 其三视图如图所示，则该几何体的体积为 答案 解析
A.13＋23π
B.13＋ 32π
C.13＋ 62π
D.1＋ 62π
由三视图知，半球的半径 R＝ 22，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为 1，
5.(2016·成都一诊)如图为一个半球挖去一个圆锥 后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分 的体积之比为__1_∶__1___. 答案 解析
由三视图可知半球的半径为 2，圆锥底面圆的半径为 2，高为 2， 所以 V 圆锥＝13×π×23＝83π，V 半球＝12×43π×23＝136π， 所以 V 剩余＝V 半球－V 圆锥＝83π，故剩余部分与挖去部分的体积之比为 1∶1.
答案 解析
该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体 的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1， 所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋ 2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋ 1×2π×1＝26.
2
题型二 求空间几何体的体积
几何体的表面积是 答案 解析
A.90 cm2
B.129 cm2
C.132 cm2

解析 (1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-
A1B1C1D1的体积V锥=
1 3
·A1
B12
·PO1=13
×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1
的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=
2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
3)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和.
考法一 空间几何体的表面积和体积 1.求空间几何体表面积的方法 1)求多面体的表面积:把各个面的面积相加; 2)求简单旋转体的表面积:公式法; 3)求组合体的表面积:注意重合部分的处理,防止漏算或多算. 2.求空间几何体体积的方法 1)求简单几何体(柱体、锥体、台体或球)的体积:公式法. 2)求组合体的体积:不能直接利用公式求解,常用转换法、分割法、补形 法等进行求解.
设∠OBC=θ
0
θ
4
,∵tan
θ=
R r
,∴r=
R tan
θ
,∵OD⊥AB,OE⊥BC,
∴∠DBE+∠DOE=π,又∠AOD+∠DOE=π,
∴∠AOD=∠DBE=2θ,∴AD=Rtan 2θ,
∴l+r=AD+BD+r=AD+2r=Rtan 2θ+ 2R ,
tan θ
则圆锥表面积S1=πr(l+r)=
答案 A
例3 (202X课标Ⅲ,16,5分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内
半径最大的球的体积为
.
解析 如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.