第01讲一元二次方程的定义与解法（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
二．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
三．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
四．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
初中精品试卷
2.2 一元二次方程的解法
公式法
一、填空题
1.配方法解一元二次方程的基本思路是：
（1）先将方程配方
（2）如果方程左右两边均为非负数则两边同时开平方， 化为两个 __________
（3）再解这两个 __________
2
2.用配方法解一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠ 0)时：
移项得 ________
配方得 __________
即（ x+__________）2=__________
当_________时，原方程化为两个一元一次方程 __________和 __________
∴ x1=_________,x2=____________
3.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为 __________，确定
__________的值，当__________时，把 a,b,c 的值代入公式， x1，2=____________
求得方程的解 .
方程 2－8=7x 化为一般形式是 _____，a=______,b=________,c=________,
4. 3x
方程的根 x1=________,x2=________.
二、选择题
1.用公式法解方程 3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
1 2 12 12 2 3 4 A.x 、 = 2
1 2 12 122 3 4 B.x 、 = 2
C.x1、 2= 12 122 3 4
2 初中精品试卷
D.x1、 ( 12) ( 12) 2 4 3 4
2= 2 3
2.方程 x2+3x=14 的解是（ ）
A.x= 3 65 B.x= 3 65
2 2
3 23
D.x= 3 23
C.x= 2 2
第02讲 一元二次方程的解法（配方法和因式分解法）
【人教版】
·模块一 配方法解一元二次方程
·模块二 因式分解法解一元二次方程
·模块三 课后作业
配方法解一元二次方程：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；①移项——把常数项移项到等号的右边；①配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；①开方，即降次；①解一次方程。
【【【1 【【【【【【【【【
①①1.1①方程4𝑥2−𝑚𝑥+1=0的左边是一个完全平方式，则m等于（ ）
A．−4 B．−4或4 C．−2或−2 D．4
①①1.2①把方程𝑥2−12𝑥−3=0化成配方式(𝑥−ℎ)2=𝑘的形式，则下列符合题意的是（ ）
A．(𝑥−6)2=33 B．(𝑥−6)2=39 C．(𝑥−12)2=147 D．(𝑥−12)2=141
①①1.3①将代数式𝑥2−10𝑥+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．−20 B．−10 C．−5 D．0
①①①1.1①用配方法解方程𝑥2−8𝑥=3时，方程的两边同时加上一个实数_____________，使得方程左边配成一个完全平方式．
①①①1.2①已知x2－8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A．x2－8x+（－4）2=31 B．x2－8x+（－4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2－4x+4=－11
①①①1.3①填上适当的数使下面各等式成立：
①𝑥2−5𝑥+____=(𝑥−____)2； ①𝑥2+4𝑥+____=(𝑥+____)2； 模块一 配方法解一元二次方程 ①𝑥2+23𝑥+_____=(𝑥+____)2； ①𝑥2−𝑏𝑎𝑥+____=(𝑥−____)2.
【【【2 【【【【【【【【【【【
①①2.1①用配方法解下列方程，其中应在两边都加上16的是( )
新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法
知识点一、配方法解一元二次方程
()002≠=++a c bx ax 222
442a ac b a b x -=??? ??+? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、试用配方法说明322
+-x x 的值恒大于0。
例2、已知x 、y 为实数，求代数式7422
2+-++y x y x 的最小值。
例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y
x 的值。
例4、分解因式：31242
++x x
一元二次方程的解法（二）
针对练习：
★★1、试用配方法说明47102
-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+
x x x x ，则=+x x 1 .
★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--+
+b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。 知识点二、根的判别式
从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到
的右边的项为2244a ac b - ；而当0442
2<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。而2244a
ac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-； 所以：当042>-ac b
时，方程有两个不相等的实数根；
当042
=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；
当042
<-ac b 时，方程没有实数根。
由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示；
即：ac b 42-=? 根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
