武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目：高等代数 科目代码：804
一、设A 为3阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，1det 2A =，求11det(()10*)3A A --.（10分） 二、计算n 阶行列式12
12121200
0n n
n n n a a a a a a a a D a a a a ++++=++，其中0,1,2,,j a j n ≠=.（10分）
三、设A 为m n ⨯矩阵，A 的秩()R A Y =，证明存在m Y ⨯矩阵B 和Y n ⨯矩阵C 且
()()R B R C Y ==，使A BC =.（10分）
四、已知322,22A E B A A E ==-+，证明B 可逆，并求出其逆.（15分）
五、A 为n 阶矩阵，*A 为其A 的伴随矩阵，证明：1det *(det )n A A -=.（20分）
六、设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明：
（1） AB 的特征值全大于零；（10分）
（2） 若AB BA =，则AB 是正定矩阵.（5分）
七、求矩阵1111m n
A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（即A 中的每个元素都为1）的最小多项式.（15分） 八、设V 是复数域上的n 维线性空间，,f g 是V 的线性变换，且fg gf =，证明：
（1）如果λ是f 的特征值，那么V λ（λ的特征子空间）是g 的不变子空间；（8分）
（2）,f g 至少有一个公共的特征向量.（7分）
九、设A 为n 阶方阵，证明：如果()()R A R A E n +-=，则A 可对角化.（20分）
十、 设,A B 是数域K 上的m n ⨯矩阵，且()()R A R B =（()R A 是矩阵A 的秩）。设齐次线性方程组
0AX =和0BX =的解空间分别是,U V 。证明存在K 上的n 阶可逆矩阵T ，使得()()f y T y y U =∀∈是
U 到V 的同构映射.（20分）
