概率论lecture1.3-1.4
第1章 1.3-1.4
主要讲解内容：概率的概念、古典概率的运算
本节考研大纲：理解概率的概念、掌握概率的基本性质、会计算古典概率。
讲课过程（80分钟）：
二、教学过程与教学组织设计
本节课内容讲解及时间分配 （80分钟）
问题：本课程的对象是概率，那么概率是什么，是如何定义的呢？
关于概率有不同的定义。
1.笼统定义：（5分钟）
概率是随机事件发生大小的可能性的数字表征，即：概率是事件的函数。
复习：什么是函数？函数是数到数的映射（mapping ）
随机事件的概率是集合到数的映射。【0，1】
2．概率的统计定义（频率派）（30分钟）
A ：独立重复做n 次试验，若其中事件A 发生了k 次，事件A 发生的次数k 称为事件A 发生的频数。比值k/n 称为事件A 发生的频率，并记成fn(A).
当n → 时，fn 就会在某个值p 附近晃动，我们把这个值成为事件A 的概率，记为P(A)=p.
概率的公理化定义：
设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A 的概率，如果集合函数P(A)满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A ，有01)(≤≤A p
（2）规范性：对于必然事件S ，有P(S)=1
（3）可列可加性：若A1,A2,…,Ak 两两互不相容，则P （
A j k i 1=）=∑=k i i A p 1)( 则：P ：S —>【0.1】称为S 上的一个概率。
概率性质
性质1：P(φ)=0 性质2（有限可加性）若A1,A2,…,An 是两两互不相容的事件，则有P （A j k
i 1
=）= ∑=k i i A p 1)
(
性质3：设A,B 是两个事件，若A ?B,则有P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)≥p(A)
性质4：对于任一事件A ，P(A)≤1
性质5：（逆事件的概率）对任一事件A ，有P(
Ch1-83
例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中
有放回地取球两次,每次取1球. 事件的独立性
设第 i 次
求 取得白球为事件 A
i ( i =1, 2 ) .
,)(
12AAP,)(
12AAP,)(,)(
21APAP
解
,8/3)(
12AAP,8/3)(
12AAP,)(8/3)(
21APAP
)()()(
12212AAPAPAAP§1.4 事件的独立性
Ch1-84
事件 A
1 发生与否对 A
2 发生的概率没有影
响可视为事件A
1与A
2相互独立
)()()8/3()(
1212
21AAPAPAAP
定义 设 A , B 为两事件，若
)()()(BPAPABP
则称事件 A 与事件 B 相互独立 )()(
21APAP
Ch1-85
两事件相互独立的性质
两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的
若 )()(,0)(ABPBPAP则
若 )()(,0)(BAPAPBP则
若 ,0)(,0)(BPAP
则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和
“事件 A 与 事件 B 互斥”
不能同时成立 (自行证明)
Ch1-86
四对事件 BABABABA,;,;,;,
任何一对相互独立,则其它三对也相互独立
试证其一 独立独立BABA,,
事实上
)()()()(BAPAPBAAPABP
)()()(1)(BPAPBPAP)()()(BPAPAP
Ch1-87 三事件 A, B, C 相互独立
是指下面的关系式同时成立：
注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出
2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 )()()()()()()()()(
CPBPBCPCPAPACPBPAPABP
(1)
)()()()(CPBPAPABCP(2)
A, B, C 相互独立 A, B, C 两两独立 定义
Ch1-88
例2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下
桂林电子科技大学备课纸 概率论 第1章
1
第二讲
Ⅰ 授课题目
§1.4 古典概型
Ⅱ 教学目的与要求
1、 了解频率与概率的统计定义
2、 掌握古典概率的计算
3、 了解概率的公理化定义，掌握用概率的性质求概率的方法
Ⅲ 教学重点与难点
重点：用有关性质、定理、公式计算概率
难点：概率的计算
Ⅳ 讲授内容：
在概率论的发展历史上，人们曾针对不同的问题，从不同的角度给出里定义概率和计算概率的各种方法。本节先介绍概率的古典定义、统计定义，最后将给出概率的数学定义及其性质。
§1.4 古典概型
一、古典概型：
在古代较早的时候，人们利用研究对象的物理或几何性质所具有的对称性确定了计算概率的一种方法，称为概率的古典定义。
1、定义：如果随机试验E满足下述条件：
(1).试验结果的个数是有限的，即样本空间的元素（即基本事件）只有有限个，设Ω={0，1，„，n}
(2).每个基本事件{0}，{1}，„，{n}的出现（发生）是等可能的。则称这个问题为古典概型（或称这种数学模型为古典概型）。则任一随机事件A所包含的基本事件数K与基本事件总数n的比值，叫做随机事件A的概率，记作P（A），即
P（A）=）—（基本事件总数包含的基本事件数事件11ANK
我们称由（1-1）给出的概率为古典概率，概率的这种定义，称为概率的古典定义。
2,注意：
（1）判断是否古典概型的关键是等可能性，而有限性较容易看出。但等可能性较难判定，一般在包含有n个元素的样本空间中，如果没有理由认为某些基本事件发桂林电子科技大学备课纸 概率论 第1章
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生的可能性比另一些基本事件发生的可能性大时，我们就可以认为每个基本事件出现的可能性相等，即都等于1/n。
（2）要弄清楚样本空间是怎样构成的，要把事件A包含的基本事件数，数准、数够。对于较简单情况，可以把试验E的所有基本事件全列出，这样就容易应用公式（1—1）式求之。当n较大时,不可能全列出,这就要求读者具有分析想象能力,还应熟悉关于排列与组合的基本知识,事件间的关系及运算亦要熟,才能去计算古典概率.
概率论1.4习题答案
概率论1.4习题答案
概率论是一门研究随机现象的数学学科，它在现代科学中扮演着重要的角色。在学习概率论的过程中，我们经常会遇到各种习题，这些习题既是对我们知识掌握的检验，也是对我们思维能力的锻炼。本文将为大家提供一些概率论1.4习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用概率论的知识。
1. 一个骰子被投掷两次，求得到的两个数之和为7的概率。
解答：骰子投掷两次，每次都有6个可能的结果，所以总的可能结果有6 * 6 =
36种。而得到两个数之和为7的结果有(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)这6种情况，所以概率为6/36 = 1/6。
2. 一副扑克牌中，从中抽取5张牌，求其中至少有一张红心的概率。
解答：一副扑克牌中有52张牌，其中红心有13张。从中抽取5张牌，共有C(52,5)种可能的结果。而其中没有红心的情况是从黑桃、方块和梅花中抽取5张牌，共有C(39,5)种可能的结果。所以至少有一张红心的情况是总的可能结果减去没有红心的情况，即C(52,5) - C(39,5)。所以概率为(C(52,5) -
C(39,5))/C(52,5)。
3. 有两个袋子，第一个袋子中有3个白球和2个黑球，第二个袋子中有4个白球和1个黑球。先随机选择一个袋子，然后从袋子中随机抽取一球，求抽到白球的概率。
解答：先选择第一个袋子的概率为1/2，选择第二个袋子的概率也为1/2。所以抽到白球的概率可以分为两种情况：一是选择第一个袋子，然后从中抽到白球；二是选择第二个袋子，然后从中抽到白球。第一种情况的概率为(1/2) * (3/5)，第二种情况的概率为(1/2) * (4/5)。所以总的概率为(1/2) * (3/5) + (1/2) * (4/5) =
7/10。
4. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个进行检验，求其中恰好有2个次品的概率。
解答：一批产品中有10%的次品，所以有90%的产品是合格品。从中抽取5个进行检验，其中恰好有2个次品的概率可以用组合数来表示，即C(5,2) *
