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探索简单的概率问题概率问题一直是数学中的重要内容之一，也是我们日常生活中经常遇到的情境。
无论是赌场中的赌博游戏，还是购买彩票，都离不开概率的计算和运用。
本文将从几个简单的概率问题入手，探索概率的基本概念和应用。
一、硬币的正反面硬币抛掷是最常见的实验之一，也是研究概率问题的入门之一。
通常，硬币被抛掷后会出现两种可能的结果：正面或反面，分别用H和T表示。
那么在一次抛币中，出现正反面的概率是相等的。
现在假设我们抛掷一枚硬币三次，问出现三次正面的概率是多少？这是一个典型的概率计算问题。
我们可以列出每一次抛掷的结果，并列出出现三次正面的所有可能的情况：HHHHHTHTHHTTTHHTHTTTHTTT可见，出现三次正面的情况只有一种，即HHH。
而总共的可能情况有8种。
因此，出现三次正面的概率是1/8。
二、扑克牌的概率扑克牌是另一个常见的概率应用场景。
一副扑克牌总共有52张牌，其中有4种花色（红桃、黑桃、方块、梅花），每种花色有13张牌（A、2、3、…，J、Q、K）。
现在假设我们从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红桃A的概率是多少？这是一个条件概率问题。
我们可以计算出红桃A的可能情况有1种，而总共的可能情况有52种。
因此，抽到红桃A的概率是1/52。
三、骰子游戏的概率骰子游戏是另一个常见的概率应用场景。
通常，骰子有6个面，在投掷时，每个面的出现概率都是相等的。
现在假设我们同时投掷两个骰子，问投掷结果中出现两个六的概率是多少？我们可以列出投掷结果的所有情况：(1,1)(1,2)(1,3)...(6,4)(6,5)(6,6)可见，出现两个六的情况只有一种，即(6,6)。
而总共的可能情况有36种。
因此，投掷结果中出现两个六的概率是1/36。
结语通过以上几个简单的概率问题，我们可以看到概率计算的基本思路和方法。
在实际应用中，概率问题可能会更加复杂，需要运用更高级的概率理论和方法进行求解。
但是对于初学者来说，掌握基本的概念和计算方法是非常重要的。
生活中的概率问题小引1. 目前最受彩民欢迎的足彩实际上也是一种数字组合型玩法，不过计算方法相对比较简单，13场比赛均选“3、1、0”可组合出3的13次方1594323注单式号码，一等奖的中奖概率为1/1594323，换句话说，每销售320万元的足彩，平均就可能诞生一个一等奖。
而如果将足彩竞猜的场次增加到14场，足彩的头奖中奖概率则降低为1/4782969，难度增加了3倍。
2. 我们通常认为一位怀孕妇女所生的婴儿男女概率应该是均等的，也就是1：1，而经过大量统计，事实并非如此。
我们生活中还隐藏着很多像这样奇妙的概率问题，等待着我们去发现与探索。
此篇论文将就生活中的小概率事件做一些探究。
什么是小概率事件？“小概率事件”简单的来说有以下几种解释：1、在概率论中我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。
2、在概率论中我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件，一般多采用0.01-0.05两个值即事件发生的概率在0.01以下或0.05以下的事件称为小概率事件这两个值称为小概率标准。
3、概率论把这些概率很小的随机事件称为小概率事件.具体概率小到何种程度才算小概率.概率论中不作具体规定而是指出不同的场合有不同的标准。
概率的基本算法小概率事件彼此也可以相差很大的。
例如，同样是发生里氏5级以上地震，在日本和在山西洪洞的概率就明显不同。
日本几乎每年都会发生至少一次里氏5级以上地震，而山西洪洞发生里氏5级以上地震的概率大约是200年～300年一遇（同一地震序列中的几次5级以上地震按一次计算）。
又如同样是干旱地区，吐鲁番和南美洲智利阿塔卡马沙漠的暴雨概率也大为不同。
1958年8月14日，吐鲁番突降36.0毫米的暴雨，引发山洪泛滥；这种暴雨在有记录以来的阿塔卡马沙漠地区还从未出现；相反，阿塔卡马沙漠曾创造了1845-1936年间整整91年没有降水的纪录。
概率论中几个有趣的例子概率论中几个有趣的例子转载】概率论中几个有趣的例子[ 2021-6-3 13:06:00 | By: Byron ]作者: ni1985 (妮子||从东方席地卷来一团野火), 原发新水木Mathematics已经酝酿很长时间的本文终于出场了。
写本文的主要目的：1 很多人看了我前面大量的历史日志后，对我的数学水平产生了怀疑；2 有高中的校友师妹咨询关于大学数学学习的问题；3 概率论是数学中一个重要而美的分支，可惜多数同学尚没有机会看到其冰山一角。
本文的读者适用范围：最低标准是学过工科专业的高等数学和概率论，最高标准不清楚（也许水平比我高的人就不屑于读了）当我跟皇上提到要写这篇文章的想法时，我提到：试图用比较短的篇幅让只要有初等概率论基础的人，也能看懂，从而对较深的概率论的研究对象和有趣的结论有一个初步的了解，激发其进一步深入学习概率论的兴趣。
皇上说：那可不容易，相当于一个毕业设计了。
我觉得，确实如此，本文是基本失败还是基本成功，还要看读者的评价。
要想引入本文的内容，首先从数学美的定义说起。
关于数学美，我比较欣赏的有两种观点，一是Birkhoff 的观点，数学美=逻辑的复杂程度/表述的复杂程度；二是Von Neumann的观点，数学的活力依赖于与它有联系的科学分支的多寡与分支的活力。
也许做应用的人更喜欢后者，但我是比较喜欢前者的。
因此，我下面的主要内容就是介绍一些概率论中的基本例子，这些例子的表述是相当简单的，但得到这些例子的手段却比较复杂。
我将试图把每个例子表述清楚，让只要有初等概率论基础的读者就知道在说什么，但对得到这些结果的证明过程则一律省略，只简要提出涉及的基本工具，但其中有些比较简单的细节会给大家留为习题。
这些例子一律来自伟大的Durrett 的著作：Probability theory and examples——我认为最优秀的概率论教材。
例1. Coupon collector问题：X1,X2,…是独立同分布，均匀的取自集合{1，…，n}的随机变量序列。
转载】概率论中几个有趣的例子[ 2007-6-3 13:06:00 | By: Byron ]推荐作者: ni1985 (妮子||从东方席地卷来一团野火), 原发新水木Mathematics已经酝酿很长时间的本文终于出场了。
写本文的主要目的：1 很多人看了我前面大量的历史日志后，对我的数学水平产生了怀疑；2 有高中的校友师妹咨询关于大学数学学习的问题；3 概率论是数学中一个重要而美的分支，可惜多数同学尚没有机会看到其冰山一角。
本文的读者适用范围：最低标准是学过工科专业的高等数学和概率论，最高标准不清楚（也许水平比我高的人就不屑于读了）当我跟皇上提到要写这篇文章的想法时，我提到：试图用比较短的篇幅让只要有初等概率论基础的人，也能看懂，从而对较深的概率论的研究对象和有趣的结论有一个初步的了解，激发其进一步深入学习概率论的兴趣。
皇上说：那可不容易，相当于一个毕业设计了。
我觉得，确实如此，本文是基本失败还是基本成功，还要看读者的评价。
要想引入本文的内容，首先从数学美的定义说起。
关于数学美，我比较欣赏的有两种观点，一是Birkhoff 的观点，数学美=逻辑的复杂程度/表述的复杂程度；二是Von Neumann的观点，数学的活力依赖于与它有联系的科学分支的多寡与分支的活力。
也许做应用的人更喜欢后者，但我是比较喜欢前者的。
因此，我下面的主要内容就是介绍一些概率论中的基本例子，这些例子的表述是相当简单的，但得到这些例子的手段却比较复杂。
我将试图把每个例子表述清楚，让只要有初等概率论基础的读者就知道在说什么，但对得到这些结果的证明过程则一律省略，只简要提出涉及的基本工具，但其中有些比较简单的细节会给大家留为习题。
这些例子一律来自伟大的Durrett的著作：Probability theory and examples——我认为最优秀的概率论教材。
例1. Coupon collector问题：X1,X2,…是独立同分布，均匀的取自集合{1，…，n}的随机变量序列。
小谈生活中有趣的数学概率现象一、概率学科起源与发展关于概率的应用与研究很早就有，但真正正式关于随机现象的概率论的研究出现在15世纪之后，当时保险业已经蓬勃发展但很不成熟，保险公司要承担很大的不确定性风险，渴望有精确的计算方法指导保险风险计算，这新方法的渴望却因为15世纪末大规模赌博现象的出现而得到解决。
法国数学家帕斯卡和费马系统分析了赌徒朋友提出的“分赌注”问题，并在讨论中形成了概率论中的一个重要概念—数学期望。
荷兰数学家惠更斯在听闻他们的讨论过程后整理出版了一本书《赌博中的计算》。
之后伯努利发表了《猜度术》，棣莫弗最早使用正态曲线，拉格朗日提出了误差理论，到了1812年拉普拉斯总结之前概率论的众多论述发表了《概率的解析理论》，将古典概率论和数学强有力的结合在一起，并做了很多数学证明，并在书中讨论了概率在保险业、天文学、度量衡甚至法律等方面的应用，自此概率论开始广泛使用在生活中各个方面。
二、概率统计中的一些常用概念（1）小概率事件小概率事件一般就是指发生概率很小的事件，在具体的事件中小概率有不同的标准，一般根据事件的重要程度多采用0.01和1/ 50.05两个阈值，这两个值也被成为小概率标准。
小概率事件和不可能事件是有很大区别的，小概率事件虽然发生的可能性很小，但依旧存在发生的概率，下面通过一个简单的计算分析下两者的不同。
假设事件甲发生的可能性很小，为小概率事件，可能性为P甲，很小接近于零，但只要这个事件重复进行下去就总会有可能发生。
因为这件事上一次不发生的概率为P=（1-P甲），前n 次都不发生的概率为（1-P甲）n，当事件重复进行下去，即n→∞，则前n次发生事件甲的概率则为1-（1-P甲）n→1，事件甲必然会发生。
（2）墨菲定律墨菲定理是由美国人爱德华·墨菲提出的，它其实是一种心理效应，如果有一种选择方式将导致事件结果变坏，那么无论这种方式被采纳的可能性有多小，则必定有人会做出这种选择。
概率在现实生活中的趣味应用摘要：概率论是一门研究随机现象的数学学科它最早起源于赌徒提出的问题早在15-16世纪意大利数学家就开始讨论赌博等概率问题。
近几年来概率论已经被广泛的应用到自然科学、工程技术、经济理论、经济管理等许多方面。
由此可见概率论作为一门基础科学在社会发展中的巨大作用。
本文主要通过几个生活中的几个的几个趣味概率事件说明概率论的实用性一：概率在猜拳游戏中的应用我们大家在日常生活中经常玩猜拳，并且依据我们的经验，有的人猜拳的“水平”比较高，赢多于输，而有的人却输多于赢。
那么，在剪刀石头布的猜拳游戏中,有必胜的方法吗?或者说有胜算高的方法吗?我们先来看一下猜拳规则。
首先,两人共同伸出一只手,握拳成石头状。
然后,在一齐喊“剪刀、石头、布”后,各自出拳。
大家最初都握成石头状,因此胜负的关键在与之后出什么拳。
规则一：规定起始拳据心理学家研究发现,在剪刀石头布的猜拳中,大多数人都不会连续出同一种拳。
这也就是说,对方下一拳很有可能出石头以外的拳,即剪刀或布。
如果对方出剪刀或布的概率较大,那我们就出剪刀。
如果对方出布,我们就赢了。
如果对方出剪刀,只是平局,我们至少不会输。
如果双方都出剪刀打成平局,接下来对方出剪刀以外的拳,即石头或布的概率会比较大,因此那我们要出布。
如果对方出石头,我们就赢了。
如果对方出布,则是平局,再继续。
因此,大家都从握拳成石头状态开始,之后我们应该出剪刀。
如果出剪刀打成平局,我们再出布。
这也就是说,出拳的顺序应该是:石头、剪刀、布。
如果出布再打成平局,那就再出石头,然后还是剪刀、布、石头、剪刀、布，照这样的顺序出拳,获胜的概率会比较高。
如果要总结规律,那就是这次出的拳,那就是这次出的拳应该是上次输给对手的拳。
具体而言,如果对手上次出的是石头,我们这次就应该出剪刀;如果对手上次出剪刀,我们这次就应该出布,等等以此类推。
当然,如果遇到喜欢连续出同一种拳的人我们刚才的方法就会让你输的很惨。
浅谈生活中有趣的数学概率问题作者：付强来源：《试题与研究·教学论坛》2012年第12期所谓概率，通俗点说就是有多大的可能性。
生活中这类实例是很多的，让我们先举一个简单的例子：投一枚正反两面的硬币，结果正面向上的概率是多少？不用计算就能知道，这种可能性为一半，也就是说其概率为1[]2。
当然，即便生活中的概率问题也不都是这么简单，对于较复杂点的就需要我们动动脑筋了。
下面就让我们一起来看一看现实生活中有趣的几类问题吧！一、彩票问题“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大蛊惑性的话是大英帝国彩票的广告词。
买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要你花上1英镑，就有可能获得2200万英镑！一点小小的投资竟然可能得到天文数字般的奖金，这没办法不让人动心，很多人都会想：也许真如广告所说，下一个赢家就是我呢！因此，自从1994年9月开始发行到现在，英国已有超过90%的成年人购买过这种彩票，并且也真的有数以百计的人成为百万富翁。
如今在世界各地都流行着类似的游戏，在我国各省各市也发行了各种福利彩票、体育彩票，各地充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡，因此吸引了不计其数的人踊跃购买。
很简单，只要花2元的人民币，就可以拥有这么一次尝试的机会，试一下自己的运气。
但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我们以大英帝国彩票为例来计算一下。
大英帝国彩票的规则是49选6，即在1至49的49个号码中选6个号码。
买一张彩票，你只需要选6个号、花1英镑而已。
在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出6个标有数字的小球，如果6個小球的数字都被你选中了，你就获得了头等奖。
可是，当我们计算一下在49个数字中随意组合其中6个数字的方法有多少种时，我们会吓一大跳：从49个数中选6个数的组合有13983816种方法！这就是说，假如你只买了一张彩票，六个号码全对的机会是大约一千四百万分之一，这个数小得已经无法想象，大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总统的机会。
生活中有趣的概率论例子•相关推荐生活中有趣的概率论例子概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等。
在我们的生活中无处不在。
自然界的现象分为确定性现象和随机现象两大类。
对于确定性现象就是在一定条件下必然发生的`现象，例如：太阳东升西落，水从高处流向低处等，也就是描述条件决定结果。
而随机现象是指在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，例如：抛掷一枚硬币，可能是正面也有可能是反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，可能是1，2，3，4，5，6点中任意一点，也就是条件不能完全决定结果。
概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科。
随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系，其数量关系无法用函数加以描述。
随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性，但在大量试验或观察中，这种结果的出现具有一定的统计规律性，概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科。
随机现象又是由随机试验来进行研究的。
随机试验要求试验能在相同条件下重复进行多次；每次可能结果不止一个，并且事先能知道所有的结果；每次试验之前，并不知道哪个试验结果会发生。
随机试验在我们生活中无处不在。
例如：记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数；从一批灯泡中任取一只，测试其寿命等等。
我们把随机试验所有可能的结果组成的集合称之为样本空间。
所以在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间。
我们所研究一般的问题在概率论中称之为事件，它是样本空间的子集。
随机试验、样本空间与随机事件的关系就是每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件。
我们知道如果一个函数满足对任意事件的函数值大于等于0，样本空间的函数值为1并且对于可列个两两互不相容的事件满足函数的可列可加性，这个函数就记为事件的概率。
在概率中古典概型是经典模型。
有趣的概率问题解决关于概率的有趣问题有趣的概率问题解析概率问题一直以来都是数学中的重要分支，它关乎我们对未知事件发生可能性的预估和分析。
而在这个过程中，我们常常会遇到一些有趣的概率问题。
本文将介绍几个有趣的概率问题，并对其进行详细解析。
问题一：生日悖论假设有一个房间里有23个人，那么至少有两个人的生日相同的概率有多大？这个问题看似简单，但是答案可能会让你惊讶。
解析：要解决这个问题，我们可以先考虑相反的情况，即所有23个人的生日都不相同。
那么第一个人的生日可以是任意一天，第二个人的生日就不能与第一个人相同，概率为364/365，同理第三个人的生日也不能与前两个人相同，概率为363/365。
依此类推，第23个人的生日不能与前22个人相同，概率为(365-22)/365。
所以所有人的生日都不相同的概率为(365/365) × (364/365) × ... × (343/365)。
而我们所求的是至少有两个人生日相同的概率，因此用1减去所有人生日都不相同的概率即可，即1 - [(365/365) × (364/365) × ... ×(343/365)]，计算结果约为0.507297。
也就是说，至少有两个人生日相同的概率达到了50.73%。
这个结果让很多人感到意外，因为我们通常以为需要至少有365个人才能有50%以上的概率有两个人生日相同。
这个概率问题就是生日悖论。
问题二：三门问题在电视节目中，主持人让参赛者选择三扇门中的一扇，其中一扇门后有奖品。
主持人会在参赛者选择后，打开剩下两扇门中的一扇，这扇门后没有奖品。
然后，参赛者可以选择是否更换选择，以获得奖品。
那么参赛者更换选择后获得奖品的概率比原来的概率大吗？解析：这个问题引发了很多争议和困惑，但实际上更换选择后获得奖品的概率确实大于原来的概率。
首先，我们考虑参赛者最初选择到奖品所在门的概率。
由于一开始有三扇门，所以参赛者选择到奖品的概率为1/3。
浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题摘要概率论是数学中的一门基础学科，不仅可以研究古老难题，解决应试的需求，更广泛应用于现实生活中的各个方面。
尤其在解决带有偶然性的问题时，其独特的思维方法使得问题浅显易懂，从而变的简单易解。
现实生活中那些趣味性的随机问题更离不开概率论的思想。
关键词概率论偶然性趣味性随机On probability on the several interestingrandom chance problemAbstract Probability thoery is a basic study in mathematics.Not only can be studied old problem, should try to solve the demand, the more widely used in real life in all aspects.Especially in solving the problem with contingency, its unique thinking methods make simple problem, thus become simple easy solution.Real life those interesting problems more from probability theory of random thoughts.Keywords probability thoery；contingency；interesting；random2002年8月在北京举行国际数学家大会（ICM2002）期间，陈省身大师为儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。
也许这会让很多学生不解，数学如何好玩？更有学生会坦言在所有学科里面最让人头疼的就是数学，它怎么可能会好玩？陈省身先生之所以说它好玩是因为他是数学大师，他乐于其中。
然而我们这种出于对应试需求的一种学习当然会认为它枯燥、难理解等等。
其实不然，陈省身大师在他十几岁的时候就觉得数学好玩，他是因为觉得好玩才专研其中，并不是因为专研其中才觉得数学好玩的。
这就如同世间上的很多事情，只有感受体验才能食髓知味。
就比方酒，“酒仙”李白写到“但得此中味，勿为醒着传”，不体会是不能理解诗人所传达的意境与乐趣的。
概率论是研究随机现象的数量规律学科。
17、18世纪，数学获得了巨大的进步。
数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，至此数学领域里出现了众多崭新的生长点。
概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已经开始从数学角度研究赌博问题。
他们的研究不仅包含赌博还涉及到当时的人口、保险业等，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。
真正的概率论的历史开始于17世纪中叶，最初概率论是起源于对赌博问题的研究。
据说，1654年左右爱好赌博的法国人梅雷（A.G.C.de Mere,1610-1685）写信向帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）请教。
两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢，现在一个人赢了a （a<s ）局另外一个人赢了b 局（b<s ）,如果赌博提前中断，改如何在两赌徒间分配赌金？于是帕斯卡和费马（P.de Fermat,1601-1665）在通信中讨论了“点数问题”，“骰子问题”等问题。
他们把一些日常赌博问题变成了真正的数学问题，用排列组合理论得出正确答案，并提出数学期望这一核心概念。
他们也被大家公认为是概率论的创立者。
数学的有趣性体现于此，它能把生活中的问题转化为数学问题，用数学的思想与方法解决。
与上述案例大致相同的一例有关概率论的赌博游戏就是著名的两个吸收壁的随机游戏问题，也叫做赌徒输光问题。
原题如下：设袋中有a 个白球b 个黑球。
甲、乙两赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道袋中哪种球多。
他们约定：每次有放回从袋中摸一个球，如果摸到白球甲给乙11元，如果摸到黑球，乙给甲1元，知道两个人有一个人输光为止。
求甲输光的概率。
由题知，甲赢1元的概率为ba b p +=，输1元的概率为p q -=1，设n y 为甲输光的概率，t x 表示赌t 次（摸t 次球）后甲的赌金，τ=inf {}m n x x t t t +==或0:，即τ表示最终摸球次数。
如果{}=+==m n x x t t t 或0:Φ（Φ为空集），则令τ=∞。
设A=“第一局（次）甲赢”，则P(A)=p ，q A P =)(，且在第一局甲赢的条件下（因为甲有n+1元）甲最终输光的概率为1+n y ，在第1局甲输的条件下甲最终输光的概率为1-n y ，由全概率公式，得齐次一元二阶常系数差分方程与界条件 11-++=n n n qy py y (1) 0,10==+m n y y (2) 解具有边界条件（2）的差分方程（1）有两种方法，其解分别介绍如下。
解法一：令n n y λ=，由（1）得关于λ的代数方程q p q p +=+2)(λλ （3） （Ⅰ）当)(b a p q ≠≠即时，方程（3）有两个解p q ==21,1λλ，故方程（1）有两个特解：1与（pq ），从而方程（1）通解为 n n q p C C y )(21+= 由边界条件（2）得m n m n m n p q C p q pq C +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11,1)(21故得 m n nn p q p q y +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111 (Ⅱ) 当p=q 时，方程（3）有两个相等的解121==λλ，故方程（1）有通解n C C y n 21+=，再由边界条件（2）得nm C C +-==1,121 从而得 mn n y n +-=1 综合（Ⅰ）与（Ⅱ）得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-≠---+=q p m n n q p p q p q y m n n n ,1,)(1)(11 （4）解法二：（Ⅰ）当q p ≠时，由方程（1）得()11-+-=-n n n n y y p q y y （递推）=()......)(212=---n n y y pq =()()1101-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y p q y y p q n n （5） 又因 ()∑-+=++-=-=-1101m n k k k m n y y y y =()()11111101--⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∑y pq p q y p q mn m n k k 所以m n p q pqy +⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-1111，从而由（5）得n y =1111-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n mn n y p q pqp q（递推） =∑-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---10011n k kmn p q p q p qy =mn np q p q+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--111（Ⅱ）当q p =时，由方程（1）得110111-=-=-=--+y y y y y y y n n n n （递推） 又因 ()()∑∑-+=+=+-=-=-101-m 01111m n k n k k k y y y =()()11-+y m n 所以，m n y +-=-111，从而()11111--++-=-+=n n n y m n y y y（递推）=mn n y m n n +-=++-10 从而，亦得（4）。
这样我们就圆满的算出了所要求的量，而且每个步骤都是非常的清晰，使人一看就很明了，我们在此题中也是充分的运用了概率论的知识。
这样的题目现在已经从大学的课本中“下放”到高中的知识，相信还是会有同学不觉得概率论有趣，不过下面这一例问题相信会改变一些同学会概率论的看法——蒲丰（Buffon ）投针问题，题目如下：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都是a 。
向此平面随意投一长度为l(l<a)的针，试求此针与任一平行线相交的概率。
刚看到此题的时候如果不是要求所求的答案为概率是不是很难想象的到它能和概率论结合在一起？甚至根本不会联系到概率呢？这就是概率的有趣之处，随后我们将详细的展现它的有趣。
解：以x 表示针的中点到最近一条平行线的距离，以δ表示针与平行线的交角，针与平行线的位置关系见图1-1.显示样本空间为图1-1很多对数学有偏见甚至讨厌数学的人依然会说这不还是计算题吗？不还是一样的数学死模版：分析—假设—大胆求证—得出正确的结果，还是数学的那一套模式也逃不出数学求解的框框，最终还是那么的讨厌。
也许像这样出现数字，明显一看就是算数的题目不会引起对数学反感之人的兴趣，那么也就无从谈起概率论的有趣。
可是如果概率论和《红楼梦》“扯”上关系，是不是从文学的方面能说明概率论的有趣，也能引起对数字反感之人的兴趣？a Mδsin 2l x众所周知《红楼梦》的问世过程比较复杂，一经流传就受到极大地关注。
“红学”的影响很深，至今仍有很多的学者为之陶醉，沉迷于研究不曾自拔。
要说这《红楼梦》的内容，在各类小说横行的今天看来已经没有太多的新颖，可是为什么大家还是那么的热衷它，还是那么的废寝忘食研究？因为《红楼梦》不但只是我国的四大名著之一，它里面所暗含的内容已经远远超出人们的想象，甚至敢于说出那个年代人们忌讳的话语。
霍国玲女士曾经提出《红楼梦》中有暗喜雍正归天之意，在“红学”界，认为有暗骂雍正的看法。
其实在此之前已经有多种版本的论说，在此我们只论霍国玲女士提出的骂雍正的一条具体例证，并用概率统计的思想方法加以讨论，认为可信概率很大，也就是说很可能就是曹雪芹自己的意思。
相信读过《红楼梦》的人对曹氏家族与两个黄帝之间的关系都非常的了解，就现代的思想来看曹雪芹骂雍正正是绝对有动机的，这一点毋庸置疑。
可是想必大家都清楚，在清朝中期“文字狱”就像一个魔鬼一样住在每个文人的心中，稍加不注意的文人就会被捕风捉影的人按上“藐视朝廷”、“轻视皇上”诸如此类的罪过，轻则打入地牢重则杀头甚至满门抄斩。
试想一下在这样的坏境下又怎么可能容得下骂皇上？可曹雪芹却在小说《红楼梦》中多次暗骂皇上。
其中暗喜雍正归天就是显著地一例。
可以简单的概括为：八月二十三日=雍正死亡日=曹雪芹欢欣鼓舞之日就当时的情形而言，曹雪芹肯定不能明目张胆的表达出自己的欢喜之情，那么他用了怎样的手法呢？若写的显而易见，便有灭顶之灾；若忽略则难以表达曹家的怨恨，于是使用了多种隐蔽的技巧，下面我们便对大家一一的详解。
史书记载，雍正的死亡之日是8月22日深夜与8月23日凌晨之间，这一年曹雪芹21岁，他必会记住这个日期，又因为有抄家的怨恨内心欢喜是必然的。
