广东省深圳市2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

广东省深圳市2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设i为虚数单位，则复数i2015等于（）

A． 1 B． ﹣1 C． i D．﹣i

2．（5分）平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于（）

A． 4 B． ﹣4 C． ﹣1 D．2

3．（5分）下列四个函数中，在闭区间[﹣1，1]上单调递增的函数是（）

A． y=x2 B． y=2x C． y=log2x D．y=sin2x

4．（5分）如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（）

A． 8+π B． 8+4π C． 16+π D．16+4π

5．（5分）若实数x，y满足约束条件，则2x+y的取值范围是（）

A． [0，6] B． [1，6] C． [1，5] D．[0，5]

6．（5分）如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入a3，a2，a1，a0的值依次是1，﹣3，3，﹣1，则输出v的值为（）

A． ﹣2 B． 2 C． ﹣8 D．8

7．（5分）从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取5个，组成五位数，则不同的五位数共有（）

A． 50个 B． 60个 C． 100个 D．120个

8．（5分）设X是直角坐标平面上的任意点集，定义X*={（1﹣y，x﹣1）|（x，y）∈X}．若X*=X，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x﹣1}，C={（x，y）||x﹣1|+|y|=1}，其中“关于运算*对称”的点集个数为（）

A． 0 B． 1 C． 2 D．3

二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．（5分）不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为．

10．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（0＜X≤1）=0.3，则P（X≥2）=．

11．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于．

12．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=15，S9=153，则S6=．

13．（5分）已知△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，则“ab＞c2”是“∠C＜”的条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．

三、（坐标系与参数方程选做题）

14．（5分）在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线C：（t为参数）相交于A、B两点，则|AB|=．

四、（几何证明选讲选做题）

15．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C．若∠BAC=60°，BC=6，则⊙O的半径为．

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（12分）设函数f（x）=cos（2x+ϕ）（其中0＜ϕ＜π，x∈R）．已知．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若角θ满足，且0≤θ＜π，求角θ的值．

17．（12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：

申请意向

年龄 摇号 竞价（人数） 合计

电动小汽车（人数） 非电动小汽车（人数）

30岁以下

（含30岁） 50 100 50 200

30至50岁

（含50岁） 50 150 300 500

50岁以上 100 150 50 300

合计 200 400 400 1000

（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；

（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；

（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

18．（14分）如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．

（1）证明：OA=OB；

（2）证明：平面PAB⊥平面POC；

（3）若，，求二面角P﹣OA﹣B的余弦值．

19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=an+1﹣n•2n+3﹣4，n∈N*，且a1，S2，2a3+4成等比数列．

（1）求a1、a2、a3的值．

（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的通项公式

（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜1．

20．（14分）已知平面上的动点P与点N（0，1）连线的斜率为k1，线段PN的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2=﹣（m＞1），动点P的轨迹为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）是否存在同时满足一下条件的圆：①以曲线C的弦AB为直径；②过点N；③直径|AB|=|NB|．若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由．

21．（14分）已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，

其中a，b为常数．

（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；

（2）已知0＜a＜1，求证：；

（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．

广东省深圳市2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设i为虚数单位，则复数i2015等于（）

A． 1 B． ﹣1 C． i D．﹣i

考点： 虚数单位i及其性质．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 利用复数的周期性及其运算法则即可得出．

解答： 解：∵i4=1，

∴复数i2015=（i4）503•i3=﹣i，

故选：D．

点评： 本题考查了复数的周期性及其运算法则，属于基础题．

2．（5分）平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于（）

A． 4 B． ﹣4 C． ﹣1 D．2

考点： 平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．

专题： 计算题；平面向量及应用．

分析： 根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可．

解答： 解：∵平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），

且∥，

∴1•x﹣（﹣2）•（﹣2）=0，

解得x=4．

故选：A．

点评： 本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．

3．（5分）下列四个函数中，在闭区间[﹣1，1]上单调递增的函数是（）

A． y=x2 B． y=2x C． y=log2x D．y=sin2x

考点： 函数单调性的判断与证明．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据y=x2，y=2x，y=log2x，y=sin2x性质判断即可．

解答： 解：①y=x2在[﹣1，0]单调递减，故A不正确；

②y=2x在闭区间[﹣1，1]上单调递增，故B正确；

③y=log2x在[﹣1，0]无意义，故C不正确；

④y=sin2x在[，1]单调递减，故D不正确；

故选；B

点评： 本题考查了基本函数的单调性的判断，对于指数，对数，幂函数性质掌握好，属于容易题．

4．（5分）如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（）

A． 8+π B． 8+4π C． 16+π D．16+4π

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，结合图中数据求出它的体积即可．

解答： 解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，

且下部长方体的长、宽、高分别为4、2、2，

上部圆柱体的底面圆半径为1，高为1；

∴该几何体的体积（容积）为

V=V长方体+V圆柱体

=4×2×2+π×12×1

=16+π．

故选：C．

点评： 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．

5．（5分）若实数x，y满足约束条件，则2x+y的取值范围是（）

A． [0，6] B． [1，6] C． [1，5] D．[0，5]

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：

设z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（0，1）时，直线的截距最小，

此时z最小，为z=0+1=1，

当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线的截距最大，

此时z最大，