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课题：实数完备性问题与确界原理
(一)引入主题
数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数．为此，先来讨论实数.
我们在中学数学中已经知道实数由有理数与无理数两部分组成,并知道实数有如下一
些主要性质:
1．实数集R
对加、减、乘、除 ( 除数不为0 ) 四则运算是封闭的，即任意两个实
数的和、差、积、商 ( 除数不为0 ) 仍然是实数．
2．实数集是有序的，即任意两实数 必满足下述三个关系之一： ba,
bababa>=<,,
.
3. 实数的大小关系具有传递性，即若 ，则有 ．
4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何 cbba>>,ca>
R∈ba,
，若 ，则存在
正整数 ，使得 .
5．实数集0>>ab
nbna>
R
具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数， 且既有
有理数，也有无理数．
6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点 O 作为原点，指定一个方向为正向
( 通常把向右的方向规定为正向 )，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴．任一实数
都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数
集R与数轴上的点有着1-1对应关系．
提问: 在出现了无理数的情形下，你们对以上性质有什么疑问? ( 要善于
提出疑问!请作简短讨论 )
总结: 至少有三处存疑——
1) 对于无理数（无限十进不循环小数），如何进行性质1中所说的四则运
算？
2）在性质2、3、4中出现了比较大小关系的不等式，然而如何对无理数
进行大小比较呢？
3）在性质6中所说的：“数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数”，为
什么一定是这样? 为什么在数轴上除实数点外不再有别的空隙？( 这就是实数
的完备性，是实数与有理数的根本区别.)
这些问题正是我们数学专业的学人必须正视的、不可回避的根本问题, 也
就是这一单元教学的主题.
（ 其中第一个问题这里不去说它，有兴趣的同学可以去细
数学学院2024年研究生考试大纲
815《数学分析》考试大纲（学术型）
注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。
第一章 实数集与函数
一．考核知识点
1. 实数
2．数集与确界原理
3．函数概念
4. 具有某些特性的函数
二．考核要求
(一) 实数
1．实数及其性质（包括：有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系等）。
2．绝对值的定义及性质，利用绝对值的性质证明简单的不等式。
3．比较实数的大小，在数轴上表示不等式的解。
4．利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，解简单的不等式。
（二）数集与确界原理
1．区间与邻域定义及表示法，用区间表示不等式的解。
2．有界集、无界集的定义，数集的有界性的证明。
3. 确界的定义，数集的上（下）确界的求解，数集的上（下）确界问题的证明等。
4．确界原理及其在数集的有界性的证明中的应用。
（三）函数概念
1．函数的定义、表示法、函数概念的两大要素。整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数等。
2. 函数的四则运算及能够进行四则运算的条件。
3. 复合函数、分段函数定义、表达式及其图像。
4. 反函数定义、存在的条件及其求解。
5．六类基本初等函数的定义及图像。
6. 求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，证明有关的不等式，建立简单应用问题的函数关系。
（四）具有某些特性的函数
1．有界函数和无界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数等的定义及其图像的性质。
2．判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等。
3．利用函数的各种特性解决简单的应用问题。
第二章 数列极限
一．考核知识点
1．数列极限概念
2．收敛数列的性质
3．数列极限存在的条件
二．考核要求
(一) 数列极限概念
1．数列的收敛性概念，数列极限的N定义，数列极限的几何意义。
戴德金分割公理
介绍
戴德金分割公理是集合论中的一个基本原理，用来描述实数的性质。它是由德国数学家戴德金在19世纪末提出的，对于实数的完备性起到了重要的作用。本文将详细介绍戴德金分割公理的含义、应用以及相关概念。
一、戴德金分割公理的含义
戴德金分割公理是说，如果将实数集合划分为两个非空的部分，其中一个部分的上界小于另一个部分的下界，那么存在一个实数，它将这两个部分严格分隔开来。
二、戴德金分割公理的应用
戴德金分割公理是建立实数体系的基础之一，它可以用来证明很多实数性质。下面将介绍一些常见的应用。
1. 实数的存在性
通过戴德金分割公理，可以证明实数集合是存在的。实数集合是一个无限的集合，包括有理数和无理数。有理数是可以用两个整数的比表示的数，而无理数是不能表示成有理数的数。实数的存在性是数学中的一个重要问题，通过戴德金分割公理，我们可以确信实数是存在的。
2. 实数的完备性
实数的完备性是指实数集合中任意一个非空的有上界的子集都有最小上界，任意一个非空的有下界的子集都有最大下界。这个性质是由戴德金分割公理推导出来的。实数的完备性使得我们可以对实数进行各种运算，比如加法、乘法等，而不会出现无解的情况。
3. 实数的无理数性质
通过戴德金分割公理，可以证明无理数的存在性和性质。无理数是指不能表示成有理数的实数，它们的十进制表示是无限不循环的。无理数的存在性可以通过戴德金分割公理来证明，而无理数的性质则可以通过戴德金分割公理和其他数学定理来推导。
4. 实数的连续性
戴德金分割公理还可以用来证明实数的连续性。连续性是指实数集合中不存在任何间隙，任意两个实数之间都存在其他的实数。通过戴德金分割公理，可以证明实数集合是连续的，这个性质在数学分析中起到了重要的作用。 三、戴德金分割公理的相关概念
在讨论戴德金分割公理时，还涉及到一些相关的概念，下面将对这些概念进行介绍。
1. 上界和下界
在戴德金分割公理中，上界是指一个集合中的元素中的最大元素，下界是指一个集合中的元素中的最小元素。如果一个集合存在上界，则称该集合有上界；如果一个集合存在下界，则称该集合有下界。
实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理：
实数存在性定理（Completeness Axiom）：实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。
实数唯一性定理：实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。
实数无理数定理：实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。
实数有理数定理：实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。
实数连续性定理：实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。
实数的稠密性定理：实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。
这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用，它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。
