一种求矩阵逆的方法

第２３卷第４期　Ｎｏ．４　Ｖｏ１．２３　内江师范学院学报　ｊｏＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＮＥＵ　ＩＡＮＧ　Ｎ０ＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　一种求矩阵逆的方法　袁　正　中　（漳州师范学院数学与信息科学系，　福建漳州　３６３０００）　摘要：利用矩阵的分块乘法给出了求逆矩阵的一种方法——递推法，此方法利用　阶可逆矩阵的　一１阶矩　阵块的逆来递推得到原矩阵的逆．　‘　关键词：逆矩阵；分块矩阵；递推公式　中图分类号：Ｏ１５１．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—１７８５（２００８）０４—００１１—０３　１　引言　高等代数中求逆矩阵的两种基本方法——行列　式法和初等变换法．行列式法以公式Ａ－１一号　（口ｄｊ（Ａ）表示Ａ的伴随矩阵）求逆；初等变换法通过　（Ａ，Ｉ　行初等变换　（Ｊ，Ａ　）计算逆，其中Ｊ为与Ａ同　阶的单位矩阵．张贤科　阐述了Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ逆　以及Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ矩阵逆的递推计算法，徐仲等　给　出了加边矩阵逆矩阵的计算定理．笔者在他们的基　础上考虑一般可逆方阵的逆矩阵递推求法，给出了　逆矩阵的递推计算公式．　２　引理　引理１　任何一个　＋１阶可逆方阵都可以只　通过行列互换初等变换化为左上角为　阶可逆块的　分块方阵形式，即对任意　＋１阶可逆方阵Ａ　＋。，存　在互换初等矩阵Ｐ　（Ｐ　一Ｐ　）（ｉ一１，２，…，　）使得　Ｐ１Ｐｚ…　“　（　ｂ　ｍ），　其中，Ｂ　为　阶可逆方阵，￡　为　×１矩阵，　为１　×　矩阵，ｂ　一ｂ　＋１．　＋１，于是　Ａ　｛。一Ｐ　＂＂Ｐ２Ｐ１（　ｂ　ｍ）～Ｐ　…Ｐ　＋。．　、盯卅　，　证明　由Ａ　＋。可逆知，至少有一个　阶子式不　为零，于是可以只通过行列的互换变换将此子式对　应的矩阵换到左上角，得到新矩阵（　ｂ￡埘ｍ）形式，　即存在互换初等矩阵Ｐ　（Ｐ－１一Ｐ　）（ｉ一１，２，…，　）　其中，Ｂ　，￡　，　，ｂ　如条件所设，于是根据互换初等　矩阵性质Ｐ＿　一Ｐ　即可得到定理后半部分结论．　根据引理１，只需要考虑左上角的　阶分块为　可逆矩阵的　＋１阶可逆方阵Ａ　＋。．　引理２　设　＋１阶可逆方阵Ａ　＋　一（　）一　ｆＡ　），其中Ａ　为　阶可逆方阵，　为　×１矩　阵，口　为１×　矩阵，口　一口　＋１．　＋１，贝０口　一口　Ａ　≠０．　证明　由分块矩阵乘法及Ａ　可逆，有　（　：　］ｆ（１）　由Ａ　＋。可逆，即可得到口　一口　Ａ　口　≠０，证毕．　推论令ｃ　一口　一口　Ａ　口　，贝０　ｃ　＝ｌ　Ａ　＋。ＩＩ　Ａ：　Ｉ　—Ｉ　Ａ　＋。ｌｌ　Ａ　Ｉ　一Ｉ　Ａ　＋　Ｉ　Ｉ　Ａ　Ｉ’　证明　在（１）式两边取行列式即得．　３主要结果　根据引理，可得到下面的结论　定理１　Ａ　＋　，Ａ　，　，ａ　，ｎ　，ｃ　如引理及推论　所述，又令　一一Ａ　，　一一口　Ａ：　，则　瞄一　ｏ］＋　］　收稿日期：２００７—１２—２７　作者简介：袁正中（１９８０一），男，四川Ｉ乐山人，漳州师范学院助教，在读研究生　℃｝　，，－ｆ＿Ｉ＼　一　ｎ　Ｐ　Ｐ　＋　卅　Ａ　Ｊ　Ｐ　２　Ｐ　Ｐ　得　

使　维普资讯 http://www.cqvip.com ・　１２　・　内江师范学院学报　第２３卷第４期　一　０。０　１　ｌ　ｌ　ｃｍ＼　，　其中，Ａ¨＿　一（　）．　证明　显然Ａ　一（　），设Ａ　＋　的逆矩阵　Ａ　一ｆＢ，’ｌ　，其中Ｂ　为　阶方阵，　为　×１　＼　ｂ　／　。　…　’　一（　Ｏ　＇ｍ　１１　、　，’ｌ　ｎ，’ｌ　，、　Ｄ，’ｌ　一　。），　ｆＡ　Ｂ　＋　一Ｉ　，　（２）　ＩＡ　￡　＋６　ｐ＝ｏ，　（３）　Ｉ　ａ　Ｂ　＋ｎ　一０，　（４）　【ａ　￡　＋ｎ　ｂ　一ｉ，　（５）　６　一　ｉ　一　１，　（７）　￡　一．－Ａ￣ｌｆｌ：　），　，　（８）　一－＿＝　一：１８　，　（１０）　一　＝　一　～　Ｂ　一Ａ　＋＿１（一Ａ　ｐ　）　，＂　Ａ　一［Ａ０　。０］＋　［ｙ　ｉ］Ｉ　｝　Ｉ　｝　一　０　０。　ｉ／　１　Ｉ　ｆ卅＼　…　所以　Ａ　１＝ｄｉａｇ（ａ￣－　，ｎ　，…，ｎ　１）．　证明此时　一０，　一０，Ｃ　一ｎ　＋１，于是　一　０】＋（　。　１］　Ａ　。　０　０　ｎ，’ｌ；　一ｄｉａｇ（ａ￣　，ｎ　，…，ｎ二　１）．　推论２　设Ａ一（。Ｃ　三）（ｎｄ一６ｃ≠。），则　、　，　Ａ—ｌ一　１　Ｉ—ｄ　－。ｂ）．　证明设ａ￣Ｏ，此时　一（　），　一（一　），　ｙ　一（一鲁），　ａｄ——ｂｃ　Ｃ１一——’　ｎ　ｆ　１　Ａ一　：ｌ“　ｌ　０　：卜　ｂｃｂｎ　２　ｎ　一旦　一１　ｎ　：　ｌ（ｄ　－－。ｂａｄ　ｂｃ　），・　ｒ　疗　／’　上式在ｎ－－－０也成立，证毕．　例　求矩阵Ａ的逆矩阵，其中　Ａ一　１　４　—１　３　８　—２　５　—６　１　解Ａ　。一ｃ　，且　Ａｚ　一｝　＝－－４≠。，于　是　一（～３），），１一（一４），Ｃｌ一一４，　所以　Ａ　一（　：）一　１　Ｉ一１２３　４）　一｛（　８　）；　又　＝～　１（一５８，２６），

　维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年４月　袁正中：一种求矩阵逆的方法　・　１３　・　所以　Ａ一　：　一２　１　Ｏ　３　１　一百０　Ｏ　Ｏ　Ｏ　＋（一２）　一２　１　０　１３　—　１　‘——。　—２—　３‘——。。２——　一２９　１３　—２　Ｏ　２９　●＿一　８　２９　●＿一　２　最后我们给出右下角为ｍ＋１　Ａ　＋　逆矩阵的递推公式．　Ｏ　Ｏ　１３　１　８　４　萼　ｊ２　‘Ｊ　阶可逆矩阵的　定理２设埘＋１阶方阵Ａ　＋ｔ：（　）：ａｍ　１，其　中Ａ　为ｍ阶方阵，　为１×ｍ矩阵，口　为ｍ×１矩　阵，ａ　＝口　则当Ａ　，Ａ　＋。皆可逆时，有　聃＝　卜　］，　其中　一（　）．　参考文献：　Ｅ１３张贤科．矩阵分析及应用ＥＭ］．北京：清华大学出版　社，２００４．　Ｅ２３徐仲，张凯院，陆全．Ｔｏｐｌｉｔｚ矩阵类的快速算法ＥＭ］．　西安：西北工业大学出版社，２００１．　［３１庄瓦金．高等代数教程ＥＭ３．北京：高等教育出版社，　２００４．　Ｅ４］北京大学．高等代数［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版　社，１９７８．　Ｅ５－１张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法ｉ－Ｊ１．平顶山学院　学报，２００７，２２（２）：７１－７３．　［６３黑志坚．一种矩阵求逆方法［Ｊ］．哈尔滨工业大学学报，　２００４，３６（１０）：１３５１－１３５３．　Ａ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｓｏｌｖｉｎｇ　Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｍａｔｒｉｘ　ＹＵＡＮ　Ｚｈｅｎｇ－ｚｈｏｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｚｈａｎｇｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ　３６３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｍａｔｒｉｘ－ｒｅｃｕｒｓｉｒｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｐｒｏｖｉｄｅｄ．ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂｌｏｃｋ　ｍａｔｒｉｘ　ｍｕｌｔｉ—　ｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ａｃｃｏｒｂｉｏｎｇ　ｔｏ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｏｆ　ａｎ　ｎ　ｏｒｄｅｒ　ｍａｔｒｉｘ　ｃａｎ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｆｒｏｍ　ｉｔｓ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ（ｎ一１）ｏｒｄｅｒ　ｂｌｏｃｋ　ｍａｔｒｉｘ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｎｖｅｒｓｅ　ｍａｔｒｉｘ；ｂｌｏｃｋ　ｍａｔｒｉｘ；ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ　ｆｏｒｍｕｌａ　【责任编辑：胡　蓉）　、、ｌＩＪ，　０　１　一　／，ｌ＼　＇　４　一２　一　一　一　一　维普资讯 http://www.cqvip.com