2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程教学案

第2讲 基本初等函数、函数与方程

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1．掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质．

2．以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理．

3．能利用函数解决简单的实际问题．

[真题体验]

1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.

解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)．且f(3)＝1，∴f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7.

答案：－7

2．(全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )

A．－12 B.13

C.12 D．1

解析：C [x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－1ex－1＝e2x－1－1ex－1，当g′(x)＝0时，x＝1，当x＜1时，g′(x)＜0函数单调递减，当x＞1时，g′(x)＞0，函数单调递增，当x＝1时，函数取得最小值g(1)＝2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1，若－a＞0，函数h(x)，和ag(x)没有交点，当－a＜0时，－ag(1)＝h(1)时，此时函数h(x)和ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝12，故选C.]

3．(2019·全国Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )

A．a＜b＜c B．a＜c＜b

C．c＜a＜b D．b＜c＜a

解析：B [∵a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，

0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.选B.]

4．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ ex，x≤0，ln x，x>0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )

A．[－1,0) B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)

解析：C [令g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，则f(x)＝－x－a，

要使g(x)存在2个零点，则需y＝f(x)与y＝－x－a有两个交点，画出函数f(x)和y＝－x－a的图象如图所示，则需－a≤1，∴a≥－1.]

[主干整合]

1．指数式与对数式的七个运算公式

(1)am·an＝am＋n；

(2)(am)n＝amn；

(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(4)logaMN＝logaM－logaN；

(5)logaMn＝nlogaM；

(6)alogaN＝N；

(7)logaN＝logbNlogba(注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0)．

2．指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象和性质，分0＜a

＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．

3．函数的零点问题

(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．

4．应用函数模型解决实际问题的一般程序

读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.

热点一 基本初等函数的图象与性质

[例1] (1)(2019·济南三模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )

[解析] B [由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，

∴a＞1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．

因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.]

(2)(2019·郑州三模)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝ 4x，x≤12，log|a|x，x＞12在R上有最大值，则a的取值范围为( )

A.－22，－12 B.－1，－12

C.－22，－12 D.－22，0∪0，12

[解析] A [∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，

∴ a＜0，－2a－1≥0，∴a≤－12，∵a(a＋1)≠0，

∴|a|∈12，1∪(1，＋∞)．当x≤12时，g(x)＝4x∈(0,2]，

又g(x)＝ 4x，x≤12，log|a|x，x＞12在R上有最大值，则当x＞12时，log|a|x≤2，且|a|∈12，1，∴log|a|12≤2，∴|a|2≤12，则|a|≤22，又a≤－12，∴－22≤a≤－12.]

(3)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )

A．a＜c＜b B．a＜b＜c

C．b＜c＜a D．c＜a＜b

[解析] A [利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．

a＝log52＜log55＜12，

b＝log0.50.2＞log0.50.25＝2，

0．51＜0.50.2＜0.50，故12＜c＜1，

所以a＜c＜b.故选A.]

基本初等函数的图象与性质的应用技巧

(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数；当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．

(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．

(1)

(2020·银川模拟)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

解析：B [∵函数y＝logax过点(3,1)，

∴1＝loga3，解得a＝3，

由于y＝3－x不可能过点(1,3)，故选项A错误；

由于y＝x3过定点(1,1)，故选项B正确；

由于y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1,1)，故选项C错误；由于y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，故选项D错误．故选B.]

(2)(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )

A．flog314＞f2－32＞f2－23

B．flog314＞f2－23＞f2－32

C．f2－32＞f2－23＞flog314

D．f2－23＞f2－32＞flog314

解析：C [本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．∵f(x)是R的偶函数，∴flog314＝f(log34)．

∴log34＞1＝20＞2－23＞2－32，又f(x)在(0，＋∞)单调递减，f(log34)＜f2－23＜f2－32，

∴f2－32＞f2－23＞flog314，故选C.]

热点二 函数的零点与方程的根

确定函数零点的个数或其存在区间

[例2－1] (1)(2019·南昌调研)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析] B [(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12x图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图象，易知有2个交点．]

(2)(2020·兰州模拟)方程ln(x＋1)－2x＝0(x＞0)的根存在的大致区间是( )

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2，e) D．(3,4)

[解析] B [设f(x)＝ln(x＋1)－2x，

易f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2＜0，

而f(2)＝ln 3－1＞0，

所以函数f(x)的零点所在区间为(1,2)．

所以B选项正确．]

判断函数零点个数的方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．

(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．

(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．

根据零点情况求参数范围

[例2－2] (1)(2020·四川凉山诊断)已知函数f(x)＝ 2x－a，x≤0，3x－a，x＞0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )

A．(0,1] B．[1，＋∞)

C．(0,1)∪(1,2) D．(－∞，1)

[解析] A [∵函数f(x)＝ 2x－a，x≤0，3x－a，x＞0(a∈R)在R上有两个零点，且x＝a3是函数f(x)的一个零点，

∴方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解，

再根据当x∈(－∞，0]时，0＜2x≤20＝1，可得0＜a≤1.故选A.]

(2)(2019·山东济南三模)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝1fx，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．

[解析]

∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝1fx，

且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，

∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝1fx－1＝f(x)，

∴函数f(x)的周期为2，在区间[－1,3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．

当0＜a＜1时，函数图象无交点，数形结合可得a＞1且 loga3＜1，loga5＞1，解得3＜a＜5.

[答案] (3,5)