北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的应用导数与函数的综合问题最值教学案理解析版

[考纲传真] １．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.２．能根据导数定义求函数y＝C （C为常数），y＝x，y＝x２，y＝x３，y＝错误!，y＝错误!的导数.３．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数．１．导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率．相应地，切线方程为y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0）．２．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝C（C为常数）f′（x）＝0f（x）＝xα（α是实数）f′（x）＝αxα—１y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝—sin xf（x）＝e x f′（x）＝e xf（x）＝a x（a＞0，a≠１）f′（x）＝a x ln_af（x）＝ln x f′（x）＝错误!f（x）＝log a xf′（x）＝错误!（a＞0，且a≠１）（１）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；（２）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；（３）错误!′＝错误!（g（x）≠0）．４．复合函数的导数复合函数y＝f（φ（x））的导数和函数y＝f（u），u＝φ（x）的导数间的关系为y x′＝[f（φ（x））]′＝f′（u）·φ′（x）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率．（）（２）f′（x0）与[f（x0）]′表示的意义相同．（）（３）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（）（４）函数f（x）＝sin（—x）的导数是f′（x）＝cos x．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×２．已知f（x）＝x ln x，若f′（x0）＝２，则x0等于（）Ａ．e２Ｂ．eＣ．错误!Ｄ．ln ２B[∵f′（x）＝ln x＋x·错误!＝ln x＋１，由f′（x0）＝ln x0＋１＝２得ln x0＝１，∴x0＝e.]３．有一机器人的运动方程为s（t）＝t２＋错误!（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t＝２时的瞬时速度为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意知，机器人的速度方程为v（t）＝s′（t）＝２t—错误!，故当t＝２时，机器人的瞬时速度为v（２）＝２×２—错误!＝错误!.]４．曲线y＝x２＋错误!在点（１,２）处的切线方程为________．x—y＋１＝0 [∵y′＝２x—错误!，∴y′|x＝１＝１，即曲线在点（１,２）处的切线的斜率k＝１，∴切线方程为y—２＝x—１，即x—y＋１＝0．]５．设f（x）＝ln（３—２x）＋cos ２x，则f′（0）＝________.—错误![∵f′（x）＝错误!—２sin ２x，∴f′（0）＝—错误!.]导数的计算１．已知f（x）＝x２＋２xf′（１），则f′（0）＝________.—４[∵f′（x）＝２x＋２f′（１），∴f′（１）＝２＋２f′（１），∴f′（１）＝—２．∴f′（0）＝２f′（１）＝２×（—２）＝—４．]２．求下列函数的导数：（１）y＝（x＋１）（x＋２）（x＋３）；（２）y＝sin 错误!错误!；（３）y＝错误!.[解] （１）因为y＝（x２＋３x＋２）（x＋３）＝x３＋6x２＋１１x＋6，所以y′＝３x２＋１２x＋１１．（２）因为y＝sin 错误!错误!＝—错误!sin x，所以y′＝错误!′＝—错误!（sin x）′＝—错误!cos x.（３）y′＝错误!′＝错误!＝—错误!.[规律方法] 导数计算的技巧１求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量.２复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.►考法１求切线方程【例１】（２0１8·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）Ａ．y＝—２xＢ．y＝—xＣ．y＝２xＤ．y＝xD[因为函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax为奇函数，所以f（—x）＝—f（x），所以（—x）３＋（a—１）（—x）２＋a（—x）＝—[x３＋（a—１）x２＋ax]，所以２（a—１）x２＝0，因为x∈R，所以a＝１，所以f（x）＝x３＋x，所以f′（x）＝３x２＋１，所以f′（0）＝１，所以曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选Ｄ．]►考法２求切点坐标【例２】已知曲线y＝错误!—３ln x的一条切线的斜率为—错误!，则切点的横坐标为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．错误!B[因为y＝错误!—３ln x，所以y′＝错误!—错误!.再由导数的几何意义，令错误!—错误!＝—错误!，解得x＝２或x＝—３（舍去）．故选Ｂ．]►考法３切线的条数问题【例３】过点A（２,１）作曲线f（x）＝x３—３x的切线最多有（）Ａ．３条Ｂ．２条Ｃ．１条Ｄ．0条A[由题意得，f′（x）＝３x２—３，设切点为（x0，x错误!—３x0），那么切线的斜率为k＝３x错误!—３，利用点斜式方程可知切线方程为y—（x错误!—３x0）＝（３x错误!—３）（x—x0），将点A（２,１）代入可得关于x0的一元三次方程２x错误!—6x错误!＋7＝0，令y＝２x错误!—6x错误!＋7，则y′＝6x错误!—１２x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝２．当x0＝0时，y＝7＞0；x0＝２时，y＝—１＜0．结合函数y＝２x错误!—6x错误!＋7的单调性可得方程２x错误!—6x错误!＋7＝0有３个解，故过点A（２,１）作曲线f（x）＝x３—３x的切线最多有３条，故选Ａ．]►考法４求参数的值（范围）【例４】（２0１6·全国卷Ⅱ）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋２的切线，也是曲线y＝ln（x＋１）的切线，则b＝________.１—ln ２[设直线y＝kx＋b与两曲线的切点分别为P１（x１，ln x１＋２），P２（x２，ln（x２＋１））．∵y′１＝错误!，y′２＝错误!，∴错误!＝错误!，∴x１＝x２＋１．此时切点P１（x２＋１，ln（x２＋１）＋２）．故切线斜率k＝错误!＝２．由错误!＝２，得切点P１的坐标为错误!，∴切线方程为y—２＋ln ２＝２错误!.令x＝0，得y＝１—ln ２，即b＝１—ln ２．][规律方法] １求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f x在点P x0，f x0处的切线方程是y—f x0＝f′x0x—x0；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.２处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：１切点处的导数是切线的斜率；２切点在切线上；３切点在曲线上.切线方程为（）Ａ．y＝x—１Ｂ．y＝２x—１Ｃ．y＝２x—２Ｄ．y＝x（２）若曲线y＝ln x＋ax２（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（0，＋∞）Ｄ．[0，＋∞）（３）（２0１9·青岛模拟）已知函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，则曲线y＝f （x）在点P处的切线方程是________．（１）C（２）D（３）x—y—２＝0 [（１）∵f（x）＝ln（２x—１），∴f′（x）＝错误!.∴f′（１）＝２，又∵f（１）＝0，∴切线方程是：y＝２x—２，故选Ｃ．（２）由题意得y′＝错误!＋２ax（x＞0）．因为曲线不存在斜率为负数的切线，则y′≥0恒成立，即a≥错误!m ax.因为x＞0，所以—错误!＜0，即a≥0，故选Ｄ．（３）根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f（x）在点P处的切线的斜率k＝f′（２）＝１，又过点P（２,0），所以切线方程为x—y—２＝0．]１．（２0１6·全国卷Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当x<0时，f（x）＝ln（—x）＋３x，则曲线y＝f （x）在点（１，—３）处的切线方程是________．y＝—２x—１[因为f（x）为偶函数，所以当x>0时，f（x）＝f（—x）＝ln x—３x，所以f′（x）＝错误!—３，则f′（１）＝—２．所以y＝f（x）在点（１，—３）处的切线方程为y＋３＝—２（x—１），即y＝—２x—１．]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）曲线y＝（ax＋１）e x在点（0,１）处的切线的斜率为—２，则a＝________.—３[y′＝（ax＋１＋a）e x，由曲线在点（0,１）处的切线的斜率为—２，得y′|x＝0＝（ax＋１＋a）e x|x＝0＝１＋a＝—２，所以a＝—３．]。

[考纲传真] １．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.２．会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．１．函数的单调性（１）单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f（x）的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x１，x２∈A当x１＜x２时，都有f（x１）＜f（x２），那么就说函数f（x）在区间A上是增加的当x１＜x２时，都有f（x１）＞f（x２），那么就说函数f（x）在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y＝f（x）在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．２．函数的最值前提函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件（１）对于任意的x∈D，都有f（x）≤M；（２）存在x0∈D，使得f（x0）＝M（３）对于任意的x∈D，都有f（x）≥M；（４）存在x0∈D，使得f（x0）＝M结论M为函数y＝f（x）的最大值，记作y max＝f（x0）M为函数y＝f（x）的最小值，记作y min＝f（x0）１．对任意x１，x２∈D（x１≠x２），错误!＞0⇔f（x）在D上是增函数，错误!＜0⇔f（x）在D上是减函数．２．对勾函数y＝x＋错误!（a＞0）的增区间为（—∞，—错误!]和[错误!，＋∞），减区间为[—错误!，0）和（0，错误!]．３．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．４．函数f（g（x））的单调性与函数y＝f（u）和u＝g（x）的单调性的关系是“同增异减”．５．函数最值存在的两条结论（１）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．（２）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝错误!的递减区间是（—∞，0）∪（0，＋∞）．（）（２）若定义在R上的函数f（x）有f（—１）＜f（３），则函数f（x）在R上为增函数．（）（３）函数y＝f（x）在[１，＋∞）上是增函数，则函数的递增区间是[１，＋∞）．（）（４）闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√２．下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（）Ａ．y＝ln（x＋２）Ｂ．y＝—错误!Ｃ．y＝错误!xＤ．y＝x＋错误!A[y＝ln（x＋２）在（—２，＋∞）上是增函数，故A正确．]３．若函数f（x）＝ax＋１在R上递减，则函数g（x）＝a（x２—４x＋３）的递增区间是（）Ａ．（２，＋∞）Ｂ．（—∞，２）Ｃ．（—２，＋∞）Ｄ．（—∞，—２）B[由题意可知a＜0，而函数g（x）＝a（x２—４x＋３）＝a（x—２）２—a，∴g（x）＝a（x２—４x＋３）的递增区间为（—∞，２）．]４．若函数f（x）是R上的减函数，且f（a２—a）＜f（a），则a的取值范围是（）Ａ．（0,２）Ｂ．（—∞，0）∪（２，＋∞）Ｃ．（—∞，0）Ｄ．（２，＋∞）B[由题意得a２—a＞a，解得a＞２或a＜0，故选Ｂ．]５．（教材改编）已知函数f（x）＝错误!，x∈[２,6]，则f（x）的最大值为________，最小值为________．２错误![易知函数f（x）＝错误!在x∈[２,6]上为减函数，故f（x）max＝f（２）＝２，f（x）min＝f（6）＝错误!.]确定函数的单调性（区间）【例１】（１）（２0１9·石嘴山模拟）函数y＝ln（—x２＋２x＋３）的减区间是（）Ａ．（—１,１] Ｂ．[１,３）Ｃ．（—∞，１] Ｄ．[１，＋∞）（２）试讨论函数f（x）＝错误!（a≠0）在（—１,１）上的单调性．（１）B[令t＝—x２＋２x＋３，由t＞0得—１＜x＜３，故函数的定义域为（—１,３），要求函数y＝ln（—x２＋２x＋３）的减区间，由复合函数单调性可知，只需求t＝—x２＋２x＋３在（—１,３）上的减区间，即[１,３）．]（２）[解] 法一：设—１＜x１＜x２＜１，f（x）＝a错误!＝a错误!，f（x１）—f（x２）＝a错误!—a错误!＝错误!，由于—１＜x１＜x２＜１，所以x２—x１＞0，x１—１＜0，x２—１＜0，故当a＞0时，f（x１）—f（x２）＞0，即f（x１）＞f（x２），函数f（x）在（—１,１）上递减；当a＜0时，f（x１）—f（x２）＜0，即f（x１）＜f（x２），函数f（x）在（—１,１）上递增．法二：f′（x）＝错误!＝错误!＝—错误!.当a＞0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（—１,１）上递减；当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（—１,１）上递增．[规律方法] １求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.２１函数单调性的判断方法有：a.定义法；b.图像法；c.利用已知函数的单调性；d.导数法.,２函数y ＝f g x的单调性应根据外层函数y＝f t和内层函数t＝g x的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.Ａ．y ＝错误! Ｂ．y ＝sin xＣ．y ＝２—xＤ．y ＝log 错误!（x ＋１）（２）y ＝—x ２＋２|x |＋３的递增区间为________．（１）A （２）（—∞，—１]，[0,１] [（１）A 项是[—１，＋∞）上的增函数，B 项不是单调函数，C 项是R 上的减函数，D 项是（—１，＋∞）上的减函数． （２）由题意知，当x ≥0时，y ＝—x ２＋２x ＋３＝—（x —１）２＋４；当x＜0时，y ＝—x ２—２x ＋３＝—（x ＋１）２＋４，二次函数的图像如图． 由图像可知，函数y ＝—x ２＋２|x |＋３的递增区间为（—∞，—１]，[0,１]．]求函数的最值【例２】 （１）若函数f （x ）＝错误!的最小值为f （0），则实数a 的取值范围是（ ） Ａ．[—１,２] Ｂ．[—１,0] Ｃ．[１,２]Ｄ．[0,２]（２）函数f （x ）＝错误!x—log ２（x ＋２）在区间[—１,１]上的最大值为________． （３）函数y ＝错误!—x （x ≥0）的最大值为________．（１）D （２）３ （３）错误! [（１）当x ＞0时，f （x ）＝x ＋错误!＋a ≥２＋a ，当且仅当x ＝错误!，即x ＝１时，等号成立．故当x ＝１时取得最小值２＋a ，∵f （x ）的最小值为f （0）， ∴当x ≤0时，f （x ）＝（x —a ）２递减，故a ≥0， 此时的最小值为f （0）＝a ２， 故２＋a ≥a ２得—１≤a ≤２． 又a ≥0，得0≤a ≤２．故选Ｄ．（２）∵f （x ）＝错误!x —log ２（x ＋２）在区间[—１,１]上是递减，∴f （x ）max ＝f （—１）＝３—log ２１＝３．（３）令t ＝错误!，则t ≥0，所以y ＝t —t ２＝—错误!２＋错误!，当t ＝错误!，即x ＝错误!时，y max ＝错误!.][规律方法] 求函数最值值域的常用方法及适用类型１单调性法：易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值值域.２图像法：能作出图像的函数，用图像法，观察其图像最高点、最低点，求出最值值域.３基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量如x，y的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值值域.４导数法：若f x是三次、分式以及含e x，ln x，sin x，cos x结构的函数且f′x可求，可用导数法求函数的最值值域.（２）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝错误!设函数f（x）＝—x＋３，g（x）＝log２x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．（１）8 （２）１[（１）f（x）＝错误!＝错误!＝（x—１）＋错误!＋２≥２错误!＋２＝8，当且仅当x—１＝错误!，即x＝４时，f（x）min＝8．（２）法一：在同一坐标系中，作函数f（x），g（x）图像，依题意，h（x）的图像如图所示．易知点A（２,１）为图像的最高点，因此h（x）的最大值为h（２）＝１．法二：依题意，h（x）＝错误!当0＜x≤２时，h（x）＝log２x是增函数，当x＞２时，h（x）＝３—x是减函数，所以h（x）在x＝２时取得最大值h（２）＝１．]函数单调性的应用►考法１比较大小【例３】已知函数f（x）的图像向左平移１个单位后关于y轴对称，当x２＞x１＞１时，[f（x２）—f（x）]（x２—x１）＜0恒成立，设a＝f错误!，b＝f（２），c＝f（３），则a，b，c的大小关系为（）１Ａ．c＞a＞bＢ．c＞b＞aＣ．a＞c＞bＤ．b＞a＞cD[根据已知可得函数f（x）的图像关于直线x＝１对称，且在（１，＋∞）上是减函数．所以a＝f错误!＝f错误!，f（２）＞f（２．５）＞f（３），所以b＞a＞c.]►考法２解抽象不等式【例４】f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（３）＝１，则不等式f（x）＋f（x—8）≤２的解集为________．（8,9] [因为２＝１＋１＝f（３）＋f（３）＝f（9），由f（x）＋f（x—8）≤２可得f[x（x—8）]≤f（9），f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有错误!解得8<x≤9．]►考法３求参数的取值范围【例５】已知f（x）＝错误!满足对任意x１≠x２，都有错误!＞0成立，那么a的取值范围是（）Ａ．（１,２）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[由已知条件得f（x）为增函数，所以错误!解得错误!≤a＜２，所以a的取值范围是错误!.故选Ｃ．][规律方法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略１比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.２解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.３利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.２（）Ａ．（—∞，２] Ｂ．[２，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意可知错误!即—错误!＜a≤２．故选Ｄ．]１．（２0１7·全国卷Ⅱ）函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的递增区间是（）Ａ．（—∞，—２）Ｂ．（—∞，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（４，＋∞）D[由x２—２x—8>0，得x>４或x<—２．设t＝x２—２x—8，则y＝ln t为增函数．要求函数f（x）的递增区间，即求函数t＝x２—２x—8的递增区间．∵函数t＝x２—２x—8的递增区间为（４，＋∞），∴函数f（x）的递增区间为（４，＋∞）．故选Ｄ．]２．（２0１５·全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝ln（１＋|x|）—错误!，则使得f（x）>f（２x—１）成立的x 的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!∪（１，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．错误!∪错误!A[∵f（—x）＝ln（１＋|—x|）—错误!＝f（x），∴函数f（x）为偶函数．∵当x≥0时，f（x）＝ln（１＋x）—错误!，在（0，＋∞）上y＝ln（１＋x）递增，y＝—错误!也递增，根据单调性的性质知，f（x）在（0，＋∞）上递增．综上可知：f（x）>f（２x—１）⇔f（|x|）>f（|２x—１|）⇔|x|>|２x—１|⇔x２>（２x—１）２⇔３x２—４x＋１<0⇔错误!<x<１．故选Ａ．]。

§3.3导数与函数的极值、最值课标要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．知识梳理1.函数的极值(1)函数的极大值若函数y＝f(x)在区间(a，x0)上单调递增，在区间(x0，b)上单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.(2)函数的极小值若函数y＝f(x)在区间(a，x0)上单调递减，在区间(x0，b)上单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(√)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(×)(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(√)2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A解析由导函数f ′(x )的图象知，在x ＝－2处，f ′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以x ＝－2是f (x )的极大值点；在x ＝－1处，f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，所以x ＝－1是f (x )的极小值点；在x ＝2处，f ′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以x ＝2是f (x )的极大值点．综上，f (x )的极小值点的个数为1.3．若函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有两个极值点，则实数a 的取值范围是________________．答案(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有两个变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0，解得a >6或a <－ 6.4．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在区间[0,3]上的最大值是________，最小值是________．答案4－43解析f ′(x )＝x 2－4，令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝2时，f (x )＝13x 3－4x ＋4有极小值，并且极小值为f (2)＝－43.又由于f (0)＝4，f (3)＝1，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在区间[0,3]上的最大值是4，最小值是－43.题型一利用导数求解函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(多选)(2023·连云港模拟)如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，下列说法正确的是()A．f(1)为函数f(x)的极大值B．当x＝－1时，f(x)取得极小值C．f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减D．当x＝3时，f(x)取得极小值答案BC解析由图象知，当x∈(－2，－1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2，－1)上单调递减，当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－1,2)上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故A错误，B正确；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，即f(x)在(2,4)上单调递减，故C正确，D错误．命题点2求已知函数的极值例2设函数f(x)＝(x2＋ax＋a)e x，讨论f(x)的单调性并判断f(x)有无极值，若有极值，求出f(x)的极值．解f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax＋a)e x＝(x＋2)(x＋a)e x当a＝2时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在R上是增函数，无极值；当a≠2时，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝－a，不妨令x1<x2(x1是－2与－a中较小的一个，x2是较大的一个)，列表如下：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗当－a>－2，即a<2时，取x1＝－2，x2＝－a，其单调区间如表所示，极大值为f(－2)＝(4－a)e－2，极小值为f(－a)＝a e－a.当－a <－2，即a >2时，取x 1＝－a ，x 2＝－2，其单调区间如表所示，极小值为f (－2)＝(4－a )e －2，极大值为f (－a )＝a e －a .命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2024·成都模拟)若函数f (x )＝x (x ＋a )2在x ＝1处有极大值，则实数a 的值为()A ．1B ．－1或－3C ．－1D ．－3答案D解析函数f (x )＝x (x ＋a )2，f ′(x )＝(x ＋a )2＋2x (x ＋a )＝(x ＋a )(3x ＋a )，由函数f (x )＝x (x ＋a )2在x ＝1处有极大值，可得f ′(1)＝(1＋a )(3＋a )＝0，解得a ＝－1或a ＝－3，当a ＝－1时，f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当x f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，f (x )在x ＝1处有极小值，不符合题意．当a ＝－3时，f ′(x )＝(x －3)(3x －3)，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，f (x )在x ＝1处有极大值，符合题意．综上可得，a ＝－3.(2)(2023·威海模拟)若函数f (x )＝e x －ax 2－2ax 有两个极值点，则实数a 的取值范围为()－12，答案D解析由f (x )＝e x －ax 2－2ax ，得f ′(x )＝e x －2ax －2a .因为函数f (x )＝e x －ax 2－2ax 有两个极值点，所以f ′(x )＝e x －2ax －2a 有两个变号零点，令f ′(x )＝0，得12a ＝x ＋1ex ，设g (x )＝x ＋1e x，y ＝12a ；则g ′(x )＝－xex ，令g ′(x )＝0，即－xe x ＝0，解得x ＝0，当x >0时，g ′(x )<0；当x <0时，g ′(x )>0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．当x →－∞时，g (x )→－∞；当x →＋∞时，g (x )→0.分别作出函数g (x )＝x ＋1ex 与y ＝12a 的图象，如图所示，由图可知，0<12a <1，解得a >12，所以实数a 思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a ＋b 的值为()A ．－1或3B ．1或－3C ．3D ．－1答案C解析因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a ，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值10，所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，①f (1)＝1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，②联立①②，解得a ＝－2，b ＝1或a ＝－6，b ＝9.当a ＝－2，b ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)·(3x －1)，f (x )∞(1，＋∞)上单f (x )在x ＝1处取得极小值10，不符合题意；当a ＝－6，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝(x －1)·(3x －9)，f (x )在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极大值10，符合题意．综上可得，a ＝－6，b ＝9.则a ＋b ＝3.(2)(2023·商丘模拟)已知函数f (x )＝x 2－a ln(2x ＋1)在定义域内不存在极值点，则实数a 的取值范围是__________．答案－∞，－18解析函数f (x )－12，＋且f ′(x )＝2x －2a2x ＋1＝4x 2＋2x －2a 2x ＋1＝2(2x 2＋x －a )2x ＋1，因为f (x )在定义域内不存在极值点，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0－12，＋即2x 2＋x －a ≥0或2x 2＋x －a ≤0－12，＋因为2x 2＋x －a ≤0－12，＋所以2x 2＋x －a ≥0－12，＋即a ≤2x 2＋x ＝－18，所以a ≤(2x 2＋x )min ＝－18，故a ∞，－18.题型二利用导数求函数的最值问题命题点1不含参函数的最值例4(2022·全国乙卷)函数f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为()A ．－π2，π2B ．－3π2，π2C ．－π2，π2＋2D ．－3π2，π2＋2答案D解析f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1，x ∈[0,2π]，则f ′(x )＝－sin x ＋sin x ＋(x ＋1)·cos x ＝(x ＋1)cos x ，x ∈[0,2π]．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1(舍去)或x ＝π2或x ＝3π2.因为f cos π2＋π2＋1＝2＋π2，f cos 3π2＋3π2＋1＝－3π2，又f (0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f (2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，所以f (x )max ＝f 2＋π2，f (x )min ＝f ＝－3π2.故选D.命题点2含参函数的最值例5已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x ．当a >0时，f (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a 的取值范围．解f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x ＝(ax －1)(2x －1)x(x >0，a >0)，当0<1a ≤1，即a ≥1时，f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝－2，符合题意．当1<1a <e ，即1e <a <1时，若x ∈1f ′(x )<0，f (x )单调递减；若x e，则f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )min ＝f f (1)＝－2，不符合题意．当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，f (x )单调递减，所以f (x )min ＝f (e)<f (1)＝－2，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)．思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案1解析函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x ，12上单调递减，所以f (x )min ＝f 2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1.(2)(2024·上饶模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋1.当0<x ≤e 2时，g (x )＝f (x )－ax 2－3＋ax 有最小值2，求a 的值．解g (x )＝f (x )－ax 2－3＋a x ＝ln x ＋ax－2，其中0<x ≤e 2，则g ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2.若a ≤0，则g ′(x )>0，g (x )在(0，e 2]上单调递增，函数g (x )无最小值，不符合题意；若a >0，当x >a 时，g ′(x )>0，当0<x <a 时，g ′(x )<0.①当a ≥e 2时，对任意的x ∈(0，e 2]，g ′(x )≤0，函数g (x )在(0，e 2]上单调递减，则g (x )min ＝g (e 2)＝ln e 2＋a e 2－2＝ae 2＝2，解得a ＝2e 2，符合题意；②当0<a <e 2时，函数g (x )在(0，a ]上单调递减，在(a ，e 2]上单调递增，所以g (x )min ＝g (a )＝ln a ＋aa －2＝2，解得a ＝e 3，不符合题意．综上所述，a 的值为2e 2.课时精练一、单项选择题1．函数f (x )＝13x 3＋x 2－3x －1的极小值点是()A ．1C ．－3D ．(－3,8)答案A解析f ′(x )＝x 2＋2x －3，由x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3或x ＝1，所以函数f (x )＝13x 3＋x 2－3x －1在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝1处有极小值，极小值点为1.2．(2023·淮阳模拟)函数f (x )＝x cos x －sin x 在区间[－π，0]上的最大值为()A ．1B ．π C.32D.3π2答案B解析由题意得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，当x ∈[－π，0]时，sin x ≤0，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－π，0]上单调递减，故函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值为f (－π)＝π.3．(2023·郑州模拟)若当x ＝1时，函数f (x )＝a ln x ＋b ＋1x 取得极小值4，则a ＋b 等于()A ．7B ．8C ．9D ．10答案A解析f (x )＝a ln x ＋b ＋1x ，f ′(x )＝a x －b ＋1x 2，根据题意有f ′(1)＝a －(b ＋1)＝0，且f (1)＝b ＋1＝4，解得a ＝4，b ＝3，a ＋b ＝7.此时f ′(x )＝4x －4x 2＝4(x －1)x 2，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，满足题意，故a ＋b ＝7.4．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1在[1,2]上的最大值也是其在[1,2]上的极大值，则a 的取值范围是()A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．[2,4]D ．(2,4)答案D解析f ′(x )＝a －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝a 2，当x <a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >a2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因此x ＝a2是f (x )的极大值点，由于只有一个极值点，因此也是最大值点，由题意得a2∈(1,2)，所以a∈(2,4)．5．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋bx取得最大值－2，则f′(2)等于()A．－1B．－12C.12D．1答案B解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，1)＝－2，(1)＝0，而f′(x)＝ax－bx2，＝－2，－b＝0，＝－2，＝－2，所以f′(x)＝－2x＋2x2，因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时，函数f(x)取得最大值，满足题意．所以f′(2)＝－1＋12＝－12.6．(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝e x＋x，g(x)＝3x，且f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为() A．1－ln2B．2(1－ln2)C.13(2－ln2) D.23(1－ln2)答案D解析由f(m)＝g(n)，得e m＋m＝3n，所以3n－3m＝e m－2m；令h(m)＝e m－2m(m∈R)，则h′(m)＝e m－2，令e m－2＝0，解得m＝ln2.当m∈(－∞，ln2)时，h′(m)<0，即h(m)在(－∞，ln2)上单调递减；当m∈(ln2，＋∞)时，h′(m)>0，即h(m)在(ln2，＋∞)上单调递增；即h(m)min＝h(ln2)＝2－2ln2，故(n－m)min＝23(1－ln2)．二、多项选择题7．对于函数f (x )＝x 3－3x ，下列结论中正确的是()A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增C ．f (x )在x ＝－1处取得极大值2D ．f (x )的值域是[－2,2]答案ABC 解析对于A ，因为对∀x ∈R ，f (－x )＝－x 3＋3x ＝－f (x )，故A 正确；对于B ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )>0可得x <－1或x >1，令f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，故B 正确；对于C ，由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，结合选项B 可知，x ＝－1是函数f (x )的极大值点，此时函数f (x )的极大值为f (－1)＝－1＋3＝2，故C 正确；对于D ，由B 选项可知，函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，作出f (x )的大致图象如图所示，所以f (x )无最大值，无最小值，故D 错误．8．(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f (x )＝a ln x ＋b x ＋c x2(a ≠0)既有极大值也有极小值，则()A ．bc >0B ．ab >0C ．b 2＋8ac >0D ．ac <0答案BCD 解析函数f (x )＝a ln x ＋b x ＋c x 2的定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝a x －b x 2－2c x 3＝ax 2－bx －2c x 3，因为函数f (x )既有极大值也有极小值，则函数f ′(x )在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a ≠0，因此方程ax 2－bx －2c ＝0有两个不相等的正实数根x 1，x 2，＝b2＋8ac>0，1＋x2＝ba>0，1x2＝－2ca>0，即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确．三、填空题9．(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________.答案sin x(答案不唯一)解析正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且存在极值．10．(2024·襄阳模拟)若函数f(x)＝e2xx在区间14，a上的最小值为2e，则a的取值范围是________．答案12，＋∞解析由f(x)＝e2xx，得f′(x)＝e2x(2x－1)x2，所以函数f(x)且f2e，所以12∈14，a，即a≥12，所以a的取值范围是12，＋11．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝2x－3＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．答案4解析商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)2x－3＋10(x－6)2＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)．故当x∈(3,4)时，f′(x)＞0，当x∈(4,6)时，f′(x)＜0.则函数f (x )在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，∴当x ＝4时，函数f (x )取得最大值f (4)＝42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．12．(2024·湛江模拟)若函数f (x )＝e x －ax 2－a 存在两个极值点x 1，x 2，且x 2＝2x 1，则a ＝________.答案1ln 2解析f (x )＝e x －ax 2－a ，定义域为R ，所以f ′(x )＝e x －2ax ，故1e x －2ax 1＝0，2e x －2ax 2＝0；又x 2＝2x 1，所以12ex －4ax 1＝0.又1e x >0，故1e x ＝2，所以x 1＝ln 2，所以a ＝11e 2x x ＝1ln 2.四、解答题13．设函数f (x )＝a ln x ＋3x＋2a 2x －4a ，其中a >0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．解(1)f ′(x )＝a x －3x 2＋2a 2＝2a 2x 2＋ax －3x 2＝(2ax ＋3)(ax －1)x 2，x >0，∵a >0，∴－32a <0<1a.∴f ′(x )<0，f (x)单调递减；f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，f(x )(2)由(1)可知，f (x )min ＝f ＝a ln1a ＋3a ＋2a －4a ＝a ln 1a＋a ＝a (1－ln a )，∵y ＝f (x )的图象与x 轴没有公共点，∴1－ln a >0，∴0<a <e.∴a 的取值范围为(0，e)．14．已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解(1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x，由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e]时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1－ax x，①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e>0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1－ax x＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e时，∴x f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴f (x )又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f 1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2，符合题意；当e ≤1a ，即0<a ≤1e时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e，舍去．综上，存在a符合题意，此时a＝e2.。

利用导数解决函数的极值问题►考法１根据函数图像判断函数极值的情况【例１】设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（１—x）f′（x）的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）Ａ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（１）Ｂ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（１）Ｃ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（—２）Ｄ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（２）D[由题图可知，当x＜—２时，f′（x）＞0；当—２＜x＜１时，f′（x）＜0；当１＜x＜２时，f′（x）＜0；当x＞２时，f′（x）＞0．由此可以得到函数f（x）在x＝—２处取得极大值，在x＝２处取得极小值．]►考法２求已知函数的极值【例２】已知函数f（x）＝（x—２）（e x—ax），当a＞0时，讨论f（x）的极值情况．[解] ∵f′（x）＝（e x—ax）＋（x—２）（e x—a）＝（x—１）（e x—２a），∵a＞0，由f′（x）＝0得x＝１或x＝ln ２a.１当a＝错误!时，f′（x）＝（x—１）（e x—e）≥0，∴f（x）递增，故f（x）无极值．２当0＜a＜错误!时，ln ２a＜１，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（—∞，ln ２a）ln ２a（ln ２a,１）１（１，＋∞）f′（x）＋0—0＋f（x）↗极大值↘极小值↗２３当a＞错误!时，ln ２a＞１，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：２综上，当0＜a＜错误!时，f（x）有极大值—a（ln ２a—２）２，极小值a—e；当a＝错误!时，f（x）无极值；当a＞错误!时，f（x）有极大值a—e，极小值—a（ln ２a—２）２.►考法３已知函数极值求参数的值或范围【例３】（１）已知f（x）＝x３＋３ax２＋bx＋a２在x＝—１时有极值0，则a—b＝________.（２）若函数f（x）＝e x—a ln x＋２ax—１在（0，＋∞）上恰有两个极值点，则a的取值范围为（）Ａ．（—e２，—e）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，—e）（１）—7 （２）D[（１）由题意得f′（x）＝３x２＋6ax＋b，则错误!解得错误!或错误!经检验当a＝１，b＝３时，函数f（x）在x＝—１处无法取得极值，而a＝２，b＝9满足题意，故a—b＝—7．（２）∵f′（x）＝e x—错误!＋２a，（x＞0）∴由f′（x）＝0得a＝错误!.令g（x）＝错误!（x＞0）．由题意可知g（x）＝a在（0，＋∞）上恰有两个零点．又g′（x）＝—错误!（x＞0），由g′（x）＞0得0＜x＜１，且x≠错误!.由g′（x）＜0得x＞１．∴函数g（x）在错误!，错误!上递增，在（１，＋∞）上递减．又g（0）＝0，g（１）＝—e，结合图形（图略）可知a∈（—∞，—e），故选Ｄ．][规律方法] １．利用导数研究函数极值问题的一般流程２．已知函数极值点和极值求参数的两个要领（１）列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解．（２）验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．２Ａ．２或6 Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．6（２）（２0１9·广东五校联考）已知函数f（x）＝x（ln x—ax）有极值，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）D（２）A[（１）法一：f′（x）＝（x—c）（３x—c），当f′（x）＝0时，x１＝错误!，x＝c.２因为极大值点是x＝２，所以c＞0，并且错误!＜c.当x∈错误!时，f′（x）＞0，当x∈错误!时，f′（x）＜0，当x∈（c，＋∞）时，f′（x）＞0，所以x＝错误!是极大值点，错误!＝２，解得c＝6．故选Ｄ．法二：因为f′（x）＝（x—c）（３x—c）．又因为f（x）在x＝２处取极值，所以f′（２）＝0，即（２—c）（6—c）＝0．所以c＝２或c＝6．当c＝6时，f′（x）＝３（x—２）（x—6），易知x∈（—∞，２）和x∈（6，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x∈（２,6）时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，此时x＝２为极大值点．当c＝２时，f′（x）＝３（x—２）错误!，易知x∈错误!和x∈（２，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x∈错误!时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，此时x＝２是极小值点．因此c＝6．故选Ｄ．（２）f（x）＝x ln x—ax２（x＞0），f′（x）＝ln x＋１—２ax.令g（x）＝ln x＋１—２ax，则g′（x）＝错误!—２a＝错误!.∵函数f（x）＝x（ln x—ax）有极值，∴g（x）＝0在（0，＋∞）上有实根．当a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，＋∞）上递增，当x趋向于0时，g（x）趋向于—∞，当x趋向于＋∞时，g（x）趋向于＋∞，故存在x0∈（0，＋∞），使得f（x）在（0，x0）上递减，在（x0，＋∞）上递增，故f（x）存在极小值f（x0），符合题意．当a＞0时，令g′（x）＝0，得x＝错误!.当0＜x＜错误!时，g′（x）＞0，函数g（x）递增；当x＞错误!时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，∴x＝错误!时，函数g（x）取得极大值．∵当x趋向于0和x趋向于＋∞时，均有g（x）趋向于—∞，要使g（x）＝0在（0，＋∞）上有实根，且f（x）有极值，必须g错误!＝ln 错误!＞0，解得0＜a＜错误!.综上可知，实数a的取值范围是错误!，故选Ａ．]利用导数解决函数的最值问题【例４】已知函数f（x）＝ln x—ax（a∈R）．（１）求函数f（x）的单调区间；（２）当a＞0时，求函数f（x）在[１,２]上的最小值．[解] （１）f′（x）＝错误!—a（x＞0），１当a≤0时，f′（x）＝错误!—a＞0，即函数f（x）的递增区间为（0，＋∞）．２当a＞0时，令f′（x）＝错误!—a＝0，可得x＝错误!，当0＜x＜错误!时，f′（x）＝错误!＞0；当x＞错误!时，f′（x）＝错误!＜0，故函数f（x）的递增区间为错误!，递减区间为错误!.综上可知，当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，＋∞）；当a＞0时，函数f（x）的递增区间为错误!，递减区间为错误!.（２）１当0＜错误!≤１，即a≥１时，函数f（x）在区间[１,２]上是减函数，所以f（x）的最小值是f（２）＝ln ２—２a.２当错误!≥２，即0＜a≤错误!时，函数f（x）在区间[１,２]上是增函数，所以f（x）的最小值是f （１）＝—a.３当１＜错误!＜２，即错误!＜a＜１时，函数f（x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．又f（２）—f（１）＝ln ２—a，所以当错误!＜a＜ln ２时，最小值是f（１）＝—a；当ln ２≤a＜１时，最小值为f（２）＝ln ２—２a.综上可知，当0＜a＜ln ２时，函数f（x）的最小值是f（１）＝—a；当a≥ln ２时，函数f（x）的最小值是f（２）＝ln ２—２a.[规律方法] 求函数f x在[a，b]上的最大值、最小值的步骤１求函数在a，b内的极值.２求函数在区间端点的函数值f a，f b.３将函数f x的极值与f a，f b比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.（１）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（２）求函数f（x）在区间错误!上的最大值和最小值．[解] （１）因为f（x）＝e x cos x—x，所以f′（x）＝e x（cos x—sin x）—１，f′（0）＝0．又因为f（0）＝１，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝１．（２）设h（x）＝e x（cos x—sin x）—１，则h′（x）＝e x（cos x—sin x—sin x—cos x）＝—２e x sin x.当x∈错误!时，h′（x）<0，所以h（x）在区间错误!上递减．所以对任意x∈错误!有h（x）<h（0）＝0，即f′（x）<0．所以函数f（x）在区间错误!上递减．因此f（x）在区间错误!上的最大值为f（0）＝１，最小值为f错误!＝—错误!.利用导数研究生活中的优化问题【例５】已知一企业生产某产品的年固定成本为１0万元，每生产千件需另投入２．7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）＝错误!（１）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式．（２）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入—年总成本）[解] （１）由题意得W＝错误!即W＝错误!（２）１当0＜x≤１0时，W＝8．１x—错误!x３—１0则W′＝8．１—错误!x２＝错误!＝错误!，因为0＜x≤１0所以当0＜x＜9时，W′＞0，则W递增；当9＜x≤１0时，W′＜0，则W递减．所以当x＝9时，W取最大值错误!＝３8．6万元．２当x＞１0时，W＝98—错误!≤98—２错误!＝３8．当且仅当错误!＝２．7x，即x＝错误!＞１0时取最大值３8．综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．[规律方法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步１分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f x.２求函数的导数f′x，解方程f′x＝0.,３比较函数在区间端点和f′x＝0的点的函数值的大小，最大小者为最大小值.,４回归实际问题，结合实际问题作答.为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为１00元/平方米，底面的建造成本为１60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为１２000π元（π为圆周率）．（１）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域．（２）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解] （１）因为蓄水池侧面的总成本为１00×２πrh＝２00πrh元，底面的总成本为１60πr２元，所以蓄水池的总成本为（２00πrh＋１60πr２）元．又根据题意得２00πrh＋１60πr２＝１２000π，所以h＝错误!（３00—４r２），从而V（r）＝πr２h＝错误!（３00r—４r３）．由h＞0，且r＞0可得0＜r ＜５错误!，故函数V（r）的定义域为（0,５错误!）．（２）因为V（r）＝错误!（３00r—４r３），所以V′（r）＝错误!（３00—１２r２）．令V′（r）＝0，解得r１＝５，r２＝—５（因为r２＝—５不在定义域内，舍去）．当r∈（0,５）时，V′（r）＞0，故V（r）在（0,５）上为增函数；当r∈（５,５错误!）时，V′（r）＜0，故V（r）在（５,５错误!）上为减函数．由此可知，V（r）在r＝５处取得最大值，此时h＝8，即当r＝５，h＝8时，该蓄水池的体积最大．。

利用导数解决函数的极值问题（多维探究）角度一根据图象判断函数的极值设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（１—x）·f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）Ａ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（１）Ｂ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（１）Ｃ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（—２）Ｄ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（２）【解析】由题图可知，当x<—２时，１—x>３，此时f′（x）>0；当—２<x<１时，0<１—x<３，此时f′（x）<0；当１<x<２时，—１<１—x<0，此时f′（x）<0；当x>２时，１—x<—１，此时f′（x）>0，由此可以得到函数f（x）在x＝—２处取得极大值，在x＝２处取得极小值．【答案】D错误!知图判断函数的极值的情况；先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点．角度二求函数的极值（２0２0·湖南省五市十校联考）已知函数f（x）＝ln x—错误!ax２＋x，a∈R.（１）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（１，f（１））处的切线方程；（２）令g（x）＝f（x）—（ax—１），求函数g（x）的极值．【解】（１）当a＝0时，f（x）＝ln x＋x，则f（１）＝１，所以切点为（１，１），又f′（x）＝错误!＋１，所以切线斜率k＝f′（１）＝２，故切线方程为y—１＝２（x—１），即２x—y—１＝0．（２）g（x）＝f（x）—（ax—１）＝ln x—错误!ax２＋（１—a）x＋１，则g′（x）＝错误!—ax＋（１—a）＝错误!，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，＋∞）上是增函数，函数g（x）无极值点．当a＞0时，g′（x）＝错误!＝—错误!，令g′（x）＝0得x＝错误!.所以当x∈错误!时，g′（x）＞0；当x∈错误!时，g′（x）＜0．因为g（x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．所以x＝错误!时，g（x）有极大值g错误!＝ln错误!—错误!×错误!＋（１—a）·错误!＋１＝错误!—ln a.综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值错误!—ln a，无极小值．错误!利用导数研究函数极值问题的一般流程角度三已知函数的极值求参数设函数f（x）＝[ax２—（４a＋１）x＋４a＋３]e x.（１）若曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线与x轴平行，求a；（２）若f（x）在x＝２处取得极小值，求a的取值范围．【解】（１）因为f（x）＝[ax２—（４a＋１）x＋４a＋３]e x，所以f′（x）＝[ax２—（２a＋１）x＋２]e x.f′（１）＝（１—a）e.由题设知f′（１）＝0，即（１—a）e＝0，解得a＝１．此时f（１）＝３e≠0．所以a的值为１．（２）由（１）得f′（x）＝[ax２—（２a＋１）x＋２]e x＝（ax—１）（x—２）e x.若a>错误!，则当x∈错误!时，f′（x）<0；当x∈（２，＋∞）时，f′（x）>0．所以f（x）在x＝２处取得极小值．当a≤错误!，则当x∈（0，２）时，x—２<0，ax—１≤错误!x—１<0，所以f′（x）>0．所以２不是f（x）的极小值点．综上可知，a的取值范围是错误!.错误!已知函数极值点或极值求参数的两个要领（１）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．（２）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．１．（２0２0·安徽毛坦厂中学４月联考）已知函数f（x）＝２ln x＋ax２—３x在x＝２处取得极小值，则f（x）的极大值为（）Ａ．２Ｂ．—错误!Ｃ．３＋ln ２Ｄ．—２＋２ln ２解析：选Ｂ．由题意得，f′（x）＝错误!＋２ax—３，因为f（x）在x＝２处取得极小值，所以f′（２）＝４a—２＝0，解得a＝错误!，所以f（x）＝２ln x＋错误!x２—３x，f′（x）＝错误!＋x—３＝错误!，所以f（x）在（0，１），（２，＋∞）上是增加的，在（１，２）上是减少的，所以f（x）的极大值为f（１）＝错误!—３＝—错误!.故选Ｂ．２．已知函数f（x）＝ln x.（１）求f（x）的图象过点P（0，—１）的切线方程；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx＋错误!存在两个极值点x１，x２，求m的取值范围．解：（１）由题意得，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!.设切点坐标为（x0，ln x0），则切线方程为y＝错误!x＋ln x0—１．把点P（0，—１）代入切线方程，得ln x0＝0，所以x0＝１，所以过点P（0，—１）的切线方程为y＝x—１．（２）因为g（x）＝f（x）—mx＋错误!＝ln x—mx＋错误!，所以g′（x）＝错误!—m—错误!＝错误!＝—错误!，令h（x）＝mx２—x＋m，要使g（x）存在两个极值点x１，x２，则方程mx２—x＋m＝0有两个不相等的正数根x１，x２.故只需满足错误!即可，解得0<m<错误!.利用导数研究函数的最值（师生共研）（２0１9·高考全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝２x３—ax２＋b.（１）讨论f（x）的单调性；（２）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，１]的最小值为—１且最大值为１？若存在，求出a，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解】（１）f′（x）＝6x２—２ax＝２x（３x—a）．令f′（x）＝0，得x＝0或x＝错误!.若a>0，则当x∈（—∞，0）∪错误!时，f′（x）>0；当x∈错误!时，f′（x）<0．故f（x）在（—∞，0），错误!上是增加的，在错误!上是减少的；若a＝0，f（x）在（—∞，＋∞）上是增加的；若a<0，则当x∈错误!∪（0，＋∞）时，f′（x）>0；当x∈错误!时，f′（x）<0．故f（x）在错误!，（0，＋∞）上是增加的，在错误!上是减少的．（２）满足题设条件的a，b存在．（ⅰ）当a≤0时，由（１）知，f（x）在[0，１]上是增加的，所以f（x）在区间[0，１]的最小值为f（0）＝b，最大值为f（１）＝２—a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝—１，２—a＋b＝１，即a＝0，b＝—１．（ⅱ）当a≥３时，由（１）知，f（x）在[0，１]上是减少的，所以f（x）在区间[0，１]的最大值为f（0）＝b，最小值为f（１）＝２—a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当２—a＋b＝—１，b＝１，即a＝４，b＝１．（ⅲ）当0<a<３时，由（１）知，f（x）在[0，１]的最小值为f错误!＝—错误!＋b，最大值为b 或２—a＋b.若—错误!＋b＝—１，b＝１，则a＝３错误!，与0<a<３矛盾．若—错误!＋b＝—１，２—a＋b＝１，则a＝３错误!或a＝—３错误!或a＝0，与0<a<３矛盾．综上，当且仅当a＝0，b＝—１或a＝４，b＝１时，f（x）在[0，１]的最小值为—１，最大值为１．错误!求函数f（x）在闭区间[a，b]内的最大值和最小值的思路（１）若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f（x）求导，并求f′（x）＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（２）若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f（x）求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f（x）的最值．[提醒] 求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．已知函数f（x）＝错误!＋k ln x，k<错误!，求函数f（x）在错误!上的最大值和最小值．解：因为f（x）＝错误!＋k ln x，f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.（１）若k＝0，则f′（x）＝—错误!在错误!上恒有f′（x）<0，所以f（x）在错误!上是减少的．所以f（x）min＝f（e）＝错误!，f（x）max＝f错误!＝e—１．（２）若k≠0，f′（x）＝错误!＝错误!.１若k<0，则在错误!上恒有错误!<0，所以f（x）在错误!上是减少的，所以f（x）min＝f（e）＝错误!＋k ln e＝错误!＋k—１，f（x）max＝f错误!＝e—k—１．２若k>0，由k<错误!，得错误!>e，则x—错误!<0，所以错误!<0，所以f（x）在错误!上是减少的．所以f（x）min＝f（e）＝错误!＋k ln e＝错误!＋k—１，f（x）max＝f错误!＝e—k—１．综上，k<错误!时，f（x）min＝错误!＋k—１，f（x）max＝e—k—１．函数极值与最值的综合问题（师生共研）已知函数f（x）＝错误!（a>0）的导函数y＝f′（x）的两个零点为—３和0．（１）求f（x）的单调区间；（２）若f（x）的极小值为—e３，求f（x）在区间[—５，＋∞）上的最大值．【解】（１）f′（x）＝错误!＝错误!.令g（x）＝—ax２＋（２a—b）x＋b—c，因为e x>0，所以y＝f′（x）的零点就是g（x）＝—ax２＋（２a—b）x＋b—c的零点，且f′（x）与g（x）符号相同．又因为a>0．所以当—３<x<0时，g（x）>0，即f′（x）>0，当x<—３或x>0时，g（x）<0，即f′（x）<0，所以f（x）的增区间是（—３，0），减区间是（—∞，—３），（0，＋∞）．（２）由（１）知，x＝—３是f（x）的极小值点，所以有错误!解得a＝１，b＝５，c＝５，所以f（x）＝错误!.因为f（x）的增区间是（—３，0），减区间是（—∞，—３），（0，＋∞），所以f（0）＝５为函数f（x）的极大值，故f（x）在区间[—５，＋∞）上的最大值取f（—５）和f（0）中的最大者，而f（—５）＝错误!＝５e５>５＝f（0），所以函数f（x）在区间[—５，＋∞）上的最大值是５e５.错误!求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．（２0２0·河南百校联盟模拟）已知函数f（x）＝e x—ax，a>0．（１）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（２）若对任意实数x，恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．解：（１）函数f（x）的定义域是（—∞，＋∞），f′（x）＝e x—a.令f′（x）＝0，得x＝ln a，易知当x∈（ln a，＋∞）时，f′（x）>0，当x∈（—∞，ln a）时，f′（x）<0，所以函数f（x）在x＝ln a处取极小值，g（a）＝f（x）极小值＝f（ln a）＝e ln a—a ln a＝a—a ln a.g′（a）＝１—（１＋ln a）＝—ln a，当0<a<１时，g′（a）>0，g（a）在（0，１）上是增加的；当a>１时，g′（a）<0，g（a）在（１，＋∞）上是减少的．所以a＝１是函数g（a）在（0，＋∞）上的极大值点，也是最大值点，所以g（a）max＝g（１）＝１．（２）显然，当x≤0时，e x—ax≥0（a>0）恒成立．当x>0时，由f（x）≥0，即e x—ax≥0，得a≤错误!.令h（x）＝错误!，x∈（0，＋∞），则h′（x）＝错误!＝错误!，当0<x<１时，h′（x）<0，当x>１时，h′（x）>0，故h（x）的最小值为h（１）＝e，所以a≤e，故实数a的取值范围是（0，e]．f（a）＝e a—a２，a∈（0，e]，f′（a）＝e a—２a，易知e a—２a≥0对a∈（0，e]恒成立，故f（a）在（0，e]上是增加的，所以f（0）＝１<f（a）≤f（e）＝e e—e２，即f（a）的取值范围是（１，e e—e２]．[基础题组练]１．（２0２0·辽宁沈阳一模）设函数f（x）＝x e x＋１，则（）Ａ．x＝１为f（x）的极大值点Ｂ．x＝１为f（x）的极小值点Ｃ．x＝—１为f（x）的极大值点Ｄ．x＝—１为f（x）的极小值点解析：选Ｄ．由f（x）＝x e x＋１，可得f′（x）＝（x＋１）e x，令f′（x）>0可得x>—１，即函数f（x）在（—１，＋∞）上是增函数；令f′（x）<0可得x<—１，即函数f（x）在（—∞，—１）上是减函数，所以x＝—１为f（x）的极小值点．故选Ｄ．２．函数y＝错误!在[0，２]上的最大值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．0 Ｄ．错误!解析：选Ａ．易知y′＝错误!，x∈[0，２]，令y′>0，得0≤x<１，令y′<0，得１＜x≤２，所以函数y＝错误!在[0，１]上是增加的，在（１，２]上是减少的，所以y＝错误!在[0，２]上的最大值是y|x＝１＝错误!，故选Ａ．３．（２0２0·广东惠州４月模拟）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x ＝—２处取得极小值，则函数y＝x·f′（x）的图象可能是（）解析：选Ｃ．因为函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝—２处取得极小值，所以当x>—２时，f′（x）>0；当x＝—２时，f′（x）＝0；当x<—２时，f′（x）<0．所以当—２<x<0时，xf′（x）<0；当x＝—２时，xf′（x）＝0；当x<—２时，xf′（x）>0．故选Ｃ．４．（２0２0·河北石家庄二中期末）若函数f（x）＝（１—x）（x２＋ax＋b）的图象关于点（—２，0）对称，x１，x２分别是f（x）的极大值点与极小值点，则x２—x１＝（）Ａ．—错误!Ｂ．２错误!Ｃ．—２错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由题意可得f（—２）＝３（４—２a＋b）＝0，因为函数图象关于点（—２，0）对称，且f（１）＝0，所以f（—５）＝0，即f（—５）＝6（２５—５a＋b）＝0，联立错误!解得错误!故f（x）＝（１—x）（x２＋7x＋１0）＝—x３—6x２—３x＋１0，则f′（x）＝—３x２—１２x—３＝—３（x２＋４x＋１），结合题意可知x１，x２是方程x２＋４x＋１＝0的两个实数根，且x１>x２，故x２—x１＝—|x１—x２|＝—错误!＝—错误!＝—２错误!.５．已知函数f（x）＝x３＋３x２—9x＋１，若f（x）在区间[k，２]上的最大值为２8，则实数k的取值范围为（）Ａ．[—３，＋∞）Ｂ．（—３，＋∞）Ｃ．（—∞，—３）Ｄ．（—∞，—３]解析：选Ｄ．由题意知f′（x）＝３x２＋6x—9，令f′（x）＝0，解得x＝１或x＝—３，所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（—∞，—３）—３（—３，１）１（１，＋∞）f′（x）＋0—0＋f（x）极大值极小值又f k≤—３．6．函数f（x）＝x３＋bx２＋cx＋d的大致图象如图所示，则x错误!＋x错误!＝________．解析：函数f（x）的图象过原点，所以d＝0．又f（—１）＝0且f（２）＝0，即—１＋b—c＝0且8＋４b＋２c＝0，解得b＝—１，c＝—２，所以函数f（x）＝x３—x２—２x，所以f′（x）＝３x２—２x—２，由题意知x１，x２是函数的极值点，所以x１，x２是f′（x）＝0的两个根，所以x１＋x２＝错误!，x１x２＝—错误!，所以x错误!＋x错误!＝（x１＋x２）２—２x１x２＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!7．若函数f（x）＝x３—３ax在区间（—１，２）上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为________．解析：因为f′（x）＝３（x２—a），所以当a≤0时，f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上递增，f（x）没有极值点，不符合题意；当a>0时，令f′（x）＝0得x＝±错误!，当x变化时，f′（x）与f （x）的变化情况如下表所示：答案：[１，４）8．函数f（x）＝x３—３a２x＋a（a>0）的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．解析：f′（x）＝３x２—３a２＝３（x＋a）（x—a），由f′（x）＝0得x＝±a，当—a<x<a时，f′（x）<0，函数递减；当x>a或x<—a时，f′（x）>0，函数递增，所以f（x）的极大值为f（—a），极小值为f（a）．所以f（—a）＝—a３＋３a３＋a>0且f（a）＝a３—３a３＋a<0．解得a>错误!.所以a的取值范围是错误!.答案：错误!9．已知函数f（x）＝错误!x３—错误!（a２＋a＋２）x２＋a２（a＋２）x，a∈R.（１）当a＝—１时，求函数y＝f（x）的单调区间；（２）求函数y＝f（x）的极值点．解：（１）当a＝—１时，f（x）＝错误!x３—x２＋x，f′（x）＝x２—２x＋１＝（x—１）２≥0，所以函数f（x）是R上的增函数，增区间为（—∞，＋∞），无递减区间．（２）因为f′（x）＝x２—（a２＋a＋２）x＋a２（a＋２）＝（x—a２）·[x—（a＋２）]，１当a＝—１或a＝２时，a２＝a＋２，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）为增函数，无极值点．２当a＜—１或a＞２时，a２＞a＋２，可得当x∈（—∞，a＋２）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（a＋２，a２）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x∈（a２，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．所以当x＝a＋２时，函数f（x）有极大值f（a＋２）；当x＝a２时，函数f（x）有极小值f（a２）．３当—１＜a＜２时，a２＜a＋２，可得当x∈（—∞，a２）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（a２，a＋２）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x∈（a＋２，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．所以当x＝a＋２时，函数f（x）有极小值f（a＋２）; 当x＝a２时，函数f（x）有极大值f（a２）．综上所述，当a＝—１或a＝２时，f（x）无极值点；当a＜—１或a＞２时，f（x）的极大值点为x＝a＋２，极小值点为x＝a２；当—１＜a＜２时，f（x）的极大值点为x＝a２，极小值点为x＝a＋２．１0．已知函数f（x）＝错误!—１．（１）求函数f（x）的单调区间；（２）设m>0，求函数f（x）在区间[m，２m]上的最大值．解：（１）因为函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝错误!，由错误!得0<x<e；由错误!得x>e.所以函数f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，＋∞）．（２）１当错误!，即0<m≤错误!时，[m，２m]⊆（0，e），函数f（x）在区间[m，２m]上是增加的，所以f（x）max＝f（２m）＝错误!—１；２当m<e<２m，即错误!<m<e时，[m，e）⊆（0，e），（e，２m]⊆（e，＋∞），函数f（x）在区间[m，e）上是增加的，在（e，２m]上是减少的，所以f（x）max＝f（e）＝错误!—１＝错误!—１；３当m≥e时，[m，２m]⊆（e，＋∞），函数f（x）在区间[m，２m]上是减少的，所以f（x）max＝f（m）＝错误!—１．综上所述，当0<m≤错误!时，f（x）max＝错误!—１；当错误!<m<e时，f（x）max＝错误!—１；当m≥e时，f（x）max＝错误!—１．[综合题组练]１．（２0２0·重庆模拟）已知函数f（x）＝２e f′（e）ln x—错误!（e是自然对数的底数），则f（x）的极大值为（）Ａ．２e—１Ｂ．—错误!Ｃ．１Ｄ．２ln ２解析：选Ｄ．由题意知f′（x）＝错误!—错误!，所以f′（e）＝错误!—错误!，f′（e）＝错误!，所以f′（x）＝错误!—错误!，令f′（x）＝0，得x＝２e，所以f（x）在（0，２e）上是增加的，在（２e，＋∞）上是减少的，所以f（x）的极大值为f（２e）＝２ln（２e）—２＝２ln ２，选Ｄ．２．若函数f（x）＝错误!x３＋x２—错误!在区间（a，a＋５）上存在最小值，则实数a的取值范围是（）Ａ．[—５，0）Ｂ．（—５，0）Ｃ．[—３，0）Ｄ．（—３，0）解析：选Ｃ．由题意，f′（x）＝x２＋２x＝x（x＋２），故f（x）在（—∞，—２），（0，＋∞）上是增函数，在（—２，0）上是减函数，作出其大致图象如图所示，令错误!x３＋x２—错误!＝—错误!得，x＝0或x＝—３，则结合图象可知，错误!解得a∈[—３，0）．３．（２0２0·河南驻马店模拟）已知函数f（x）＝错误!在[—２，２]上的最大值为３，则实数a的取值范围是（）Ａ．（ln ３，＋∞）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，ln ３]解析：选C.由题意，当x≤0时，f（x）＝２x３＋３x２＋２，可得f′（x）＝6x２＋6x＝6x（x＋１），所以当—２≤x<—１时，f′（x）>0，函数f（x）在[—２，—１）上是增加的，当—１<x≤0时，f′（x）≤0，函数f（x）在（—１，0]上是减少的，所以函数f（x）在[—２，0]上的最大值为f（—１）＝３．要使函数f（x）在[—２，２]上的最大值为３，则当x∈（0，２]时，e ax的值必须小于或等于３．又y＝e ax 单调，因此当x＝２时，e２a的值必须小于或等于３，即e２a≤３，解得a≤错误!ln ３．故选Ｃ．４．若x＝—２是函数f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１的极值点，则a＝________，f（x）的极小值为________．解析：因为f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１，所以f′（x）＝（２x＋a）e x—１＋（x２＋ax—１）e x—１＝[x２＋（a＋２）x＋a—１]e x—１.因为x＝—２是函数f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１的极值点，所以—２是x２＋（a＋２）x＋a—１＝0的根，所以a＝—１，f′（x）＝（x２＋x—２）e x—１＝（x＋２）（x—１）e x—１.令f′（x）>0，解得x<—２或x>１，令f′（x）<0，解得—２<x<１，所以f（x）在（—∞，—２）上是增加的，在（—２，１）上是减少的，在（１，＋∞）上是增加的，所以当x＝１时，f（x）取得极小值，且f（x）极小值＝f（１）＝—１．答案：—１—１５．（２0２0·石家庄市质量检测）已知函数f（x）＝a e x—sin x，其中a∈R，e为自然对数的底数．（１）当a＝１时，证明：对任意的x∈[0，＋∞），f（x）≥１；（２）若函数f（x）在错误!上存在极值，求实数a的取值范围．解：（１）证明：当a＝１时，f（x）＝e x—sin x，于是f′（x）＝e x—cos x.当x∈[0，＋∞）时，e x＞１且cos x≤１．故当x∈[0，＋∞）时，e x—cos x＞0，即f′（x）＞0．所以函数f（x）＝e x—sin x为[0，＋∞）上的增函数，因为f（0）＝１，所以对任意的x∈[0，＋∞），f（x）≥１．（２）法一：由f（x）在错误!上存在极值，得f′（x）＝a e x—cos x在错误!上存在零点．１当a∈（0，１）时，f′（x）＝a e x—cos x为错误!上的增函数，注意到f′（0）＝a—１＜0，f′错误!＝a·e错误!＞0，所以，存在唯一实数x0∈错误!，使得f′（x0）＝0成立．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为（0，x0）上的减函数；当x∈错误!时，f′（x）＞0，f（x）为错误!上的增函数．所以x0错误!为函数f（x）的极小值点．２当a≥１时，f′（x）＝a e x—cos x≥e x—cos x＞0在错误!上恒成立．所以f（x）在错误!上是增加的，所以f（x）在错误!上没有极值．３当a≤0时，f′（x）＝a e x—cos x＜0在错误!上恒成立，所以f（x）在错误!上是减少的，所以f（x）在错误!上没有极值．综上所述，若f（x）在错误!上存在极值，则实数a的取值范围是（0，１）．法二：由函数f（x）在错误!上存在极值，得f′（x）＝a e x—cos x在错误!上存在零点，即a＝错误!在错误!上有解．设g（x）＝错误!，x∈错误!，则g′（x）＝错误!＜0在错误!上恒成立，所以g（x）为错误!上的减函数．所以g（x）的值域为（0，１），所以当实数a∈（0，１）时，f′（x）＝a e x—cos x在错误!上存在零点．下面证明，当a∈（0，１）时，函数f（x）在错误!上存在极值．事实上，当a∈（0，１）时，f′（x）＝a e x—cos x为错误!上的增函数，注意到f′（0）＝a—１＜0，f′错误!＝a·e错误!＞0，所以存在唯一实数x0∈错误!，使得f′（x0）＝0成立．当x∈错误!时，f′（x）＜0，f（x）为（0，x0）上的减函数；当x∈错误!时，f′（x）＞0，f（x）为错误!上的增函数．即x0错误!为函数f（x）的极小值点．综上所述，若函数f（x）在错误!上存在极值，则实数a的取值范围是（0，１）．6．已知函数f（x）＝a ln x＋错误!（a>0）．（１）求函数f（x）的单调区间和极值；（２）是否存在实数a，使得函数f（x）在[１，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为{x|x>0}，f′（x）＝错误!—错误!（a>0）．（１）由f′（x）>0，解得x>错误!，所以函数f（x）的增区间是错误!；由f′（x）<0，解得x<错误!，所以函数f（x）的减区间是错误!.所以当x＝错误!时，函数f（x）有极小值f错误!＝a ln 错误!＋a＝a—a ln a.（２）不存在．理由如下：由（１）可知，当x∈错误!时，函数f（x）是减少的；当x∈错误!时，函数f（x）是增加的．１若0<错误!≤１，即a≥１时，函数f（x）在[１，e]上为增函数，故函数f（x）的最小值为f（１）＝a ln １＋１＝１，显然１≠0，故不满足条件．２若１<错误!≤e，即错误!≤a<１时，函数f（x）在错误!上为减函数，在错误!上为增函数，故函数f（x）的最小值为f（x）的极小值f错误!＝a ln 错误!＋a＝a—a ln a＝a（１—ln a）＝0，即ln a＝１，解得a＝e，而错误!≤a<１，故不满足条件．３若错误!>e，即0<a<错误!时，函数f（x）在[１，e]上为减函数，故函数f（x）的最小值为f（e）＝a ln e＋错误!＝a＋错误!＝0，即a＝—错误!，而0<a<错误!，故不满足条件．综上所述，不存在这样的实数a，使得函数f（x）在[１，e]上的最小值为0．。

3.3利用导数研究函数的极值、最值中心考点·精确研析考点一用导数解决函数的极值问题命 1. 考什么 : (1) 考察求值、解方程、解不等式等问题.题 (2) 考察数学运算、直观想象、逻辑推理的中心修养及数形联合、分类与整合等数学思想.精 2. 怎么考 : 与函数图像、方程、不等式、函数单一性等知识联合考察求函数极值、知函数极值求参数等解问题.读 3. 新趋向 : 函数极值、导数的几何意义及函数图像等知识交汇考察为主1. 求函数 f(x) 极值的一般解题步骤(1) 确立函数的定义域 ;学 (2) 求导数 f ′(x);霸 (3) 解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的全部根;(4)列表查验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右双侧好值的符号 .方 2. 已知函数极值点或极值求参数的两个要领法 (1) 列式 : 依据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组, 利用待定系数法求解.(2)考证 : 由于导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 , 因此利用待定系数法求解后一定考证根的合理性 .由图像判断函数的极值【典例】 (2020 ·咸阳模拟 ) 已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如下图, 则=.【分析】 f ′(x)=3ax 2+2bx+c;依据图像知 ,x=-1,2是 f(x) 的两个极值点 ;因此 x=-1,2 是方程3ax2+2bx+c=0 的两实数根 ;依据根与系数的关系得,因此 2b=-3a,c=-6a,因此===1.答案 :1由函数 f(x)的图像确立极值点的主要依照是什么?提示 : 局部最高 ( 低 ) 点的横坐标是极大( 小 ) 值点 .求已知函数的极值【典例】已知函数f(x)=x-1+(a ∈ R,e 为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴 , 求 a 的值 .(2)求函数 f(x) 的极值 .【分析】 (1) 由 f(x)=x-1+, 得 f′(x)=1 -.又曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴 ,因此 f′(1)=0,即1-=0, 解得 a=e.(2)f′(x)=1 -,当 a≤ 0 时 ,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数, 因此函数f(x) 无极值 .当 a>0 时 , 令 f ′(x)=0, 得 e x=a, 即 x=ln a, 当x∈ (- ∞,ln a) 时, f ′(x)<0;当 x∈ (ln a,+ ∞) 时 , f′(x)>0,因此 f(x) 在 (- ∞,ln a) 上单一递减 ,在 (ln a,+ ∞) 上单一递加, 故 f(x)在x=ln a处获得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.当 a>0 时 ,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.已知函数极值状况求参数值(范围)【典例】设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令 g(x)=f ′(x), 求 g(x) 的单一区间 .(2)已知 f(x) 在 x=1 处获得极大值 , 务实数 a 的取值范围 .【分析】 (1) 由 f ′(x)=l n x-2ax+2a,可得 g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).因此 g′(x)= -2a=.当 a≤ 0,x ∈(0,+ ∞) 时,g ′(x)>0, 函数g(x) 单一递加 ;当 a>0,x ∈时,g′(x)>0,函数g(x)单一递加,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单一递减.因此当 a≤0 时 ,g(x)的单一增区间为(0,+∞);当 a>0 时 ,g(x)的单一增区间为, 单一减区间为.(2) 由 (1) 知,f ′(1)=0.①当 a≤ 0 时,f ′(x) 在(0,+ ∞) 内单一递加,因此当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单一递减;当 x∈(1,+ ∞) 时,f ′(x)>0,f(x) 单一递加 .因此 f(x) 在 x=1 处获得极小值 , 不合题意 .②当 0<a< 时,>1, 由 (1) 知 f ′(x) 在内单一递加,可适当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈时,f ′(x)>0.因此 f(x) 在 (0,1)内单一递减,在内单一递加,因此f(x)在x=1处获得极小值,不合题意.③当 a= 时 ,=1,f ′(x) 在 (0,1) 内单一递加 , 在(1,+ ∞) 内单一递减, 因此当 x∈(0,+ ∞) 时,f ′(x) ≤0,f(x) 单一递减 , 不合题意 .④当 a> 时,0<<1, 当 x∈时,f′(x)>0,f(x)单一递加, 当 x∈(1,+ ∞) 时,f ′(x)<0,f(x)单一递减 .因此 f(x) 在 x=1 处获得极大值 , 切合题意 .综上可知 , 实数 a 的取值范围为.1. 设函数 f(x) 在 R上可导 , 其导函数为 f ′(x), 且函数y=(1- x)f ′(x) 的图像如下图, 则以下结论中必定成立的是()A. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B. 函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1)C. 函数 f(x)有极大值f(2)和极小值 f(-2)D. 函数 f(x)有极大值f(-2)和极小值 f(2)【分析】选 D.由题图可知 , 当 x<-2 时 ,1-x>3,此时f′(x)>0;当-2<x<1时,0<1-x<3,此时f′(x)<0;当1<x<2时 ,-1<1-x<0,此时f′(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f′(x)>0,由此能够获取函数f(x)在x=-2处获得极大值 , 在 x=2 处获得极小值.2. 设函数 f(x)=ln x+ax2-x, 若 x=1 是函数 f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为.【分析】函数f(x)=ln x+ax2-x, 函数定义域为 (0,+ ∞),f ′(x)=+2ax-.若 x=1 是函数 f(x) 的极大值点 , 则f ′(1)=0, 解得a= ;f ′(x)= + x- ==;当 f ′(x)>0 时 ,0<x<1 或 x>2;函数在 (0,1) 和(2,+ ∞) 上单一递加;当 f ′(x)<0 时 ,1<x<2, 函数在 (1,2) 上单一递减 ;因此函数在x=1 时有极大值 ; 函数在 x=2 时有极小值为f(2)=ln 2-2.答案 :ln 2-23.(2019 ·荆门模拟 ) 已知函数f(x)=x2+2x-2xe x.求函数f(x)的极值.【分析】由于函数f(x)=x2+2x-2xe x(x∈R),因此 f ′(x)=2x+2 -2e x -2xe x=(2x+2)(1-e x ),由 f ′(x)=0, 得 x=-1 或 x=0,列表议论 , 得:x(-∞,-1) - 1(-1,0)0(0,+ ∞)f ′(x) -0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘因此当 x=-1 时 ,f(x)极小值=f(-1)=1-2+2×= -1,当 x=0 时 ,f(x)极大值=f(0)=0.x设函数 f(x)=e (sin x-cos x)(0≤ x≤2 016π), 则函数 f(x)的各极大值之和为() A. B.C. D.【分析】选 D. 由于函数f(x)=e x(sin x-cos x),因此 f ′(x)=[e x (sin x-cos x)] ′=e x(sin x-cos x)+e x(cos x+sin x)=2e x sin x;令 f ′(x)=0, 解得x=kπ(k ∈ Z);因此当 2kπ<x<2kπ+π,f ′(x)>0,原函数增 , 当 2kπ+π<x<2kπ+2π,f ′(x)<0,原函数减 ; 因此当 x=2kπ+π, 函数 f(x)获得极大 , 此 f(2k π+π)=e 2kπ+π [sin(2k π+π)- cos(2k π+π)]=e 2kπ+π ;又因 0≤x≤ 2 016π, 因此 0 和 2 016π都不是极点 , 因此函数f(x) 的各极大之和 :eπ +e3π +e5π +⋯ +e2 015π =.考点二用数解决函数的最【典例】 (2019 ·黄模 ) 已知函数f(x)=-ax, 曲 y=f(x)在x=1的切点(2,-1).(1)求数 a 的 ;(2)b>1, 求 f(x)在区上的最大和最小.【解思】序号目拆解利用求的方法求出函数利用数的几在切点的切斜率, 再利(1)何意求参数用切点坐与切的斜率之的关系求出 a 的利用 x 分的方法,研究函数 f(x)合 b 的取范 , 用求的性(2)的方法判断函数的性求函数 f(x) 的从而求出函数的极, 而最求出函数的最【分析】 (1)f(x)的函数f ′(x)=? f ′(1)==1-a,依意 , 有=1-a,即=1-a, 解得 a=1.(2) 由 (1) 得 f ′(x)=,当 0<x<1 时,1-x 2>0,-ln x>0,因此 f ′(x)>0, 故 f(x) 在 (0,1) 上单一递加 ;当 x>1 时 ,1-x 2<0,-ln x<0,因此 f ′(x)<0, 故 f(x) 在(1,+ ∞) 上单一递减,因此 f(x) 在区间 (0,1) 上单一递加 , 在区间 (1,+ ∞) 上单一递减.由于 0< <1<b, 因此 f(x)的最大值为f(1)=-1.设 h(b)=f(b)-f=ln b-b+,此中 b>1 则 h′=ln b>0,故 h(b) 在区间 (1 ,+ ∞) 上单一递加 .当 b→ 1 时 ,h(b) → 0? h(b)>0 ? f(b)>f.故 f(x)的最小值为f=-bln b-.求函数 f(x) 在闭区间 [a,b]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间 [a,b] 不含参数 , 则只要对函数 f(x) 求导 , 并求 f ′(x)=0 在区间 [a,b] 内的根 , 再计算使导数等于零的根的函数值, 把该函数值与f(a),f(b)比较,此中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值 .(2)若所给的闭区间 [a,b] 含参数 , 则需对函数 f(x) 求导 , 经过对参数分类议论 , 判断函数的单一性 , 从而获取函数f(x) 的最值 .(2019 ·南昌模拟 ) 设函数 f(x)=ln x-2mx2-n(m,n∈R).(1)议论 f(x) 的单一性 .【分析】 (1) 函数 f(x) 的定义域为 (0,+ ∞),f ′(x)= -4mx=,当 m≤ 0 时,f ′(x)>0,因此 f(x) 在(0,+ ∞) 上单一递加;当 m>0时 , 令 f ′(x)>0, 得 0<x<,令 f ′(x)<0得x>, 因此 f(x)在上单一递加,在上单一递减.(2) 由 (1) 知, 当 m>0时 ,f(x)在上单一递加,在上单一递减.因此 f(x)max=f=ln-2m·-n=-ln 2-ln m--n=-ln 2,因此 n=- ln m- , 因此 m+n=m- ln m-,令 h(x)=x-ln x-(x>0),则h′(x)=1 -=, 因此 h(x) 在上单一递减,在上单一递加 , 因此 h(x) min=h= ln 2,因此 m+n的最小值为ln 2.考点三用导数解决生活中的优化问题【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工, 每千克蘑菇的成本为20 元 , 而且每千克蘑菇的加工费为t 元(t为常数 , 且 2≤ t ≤ 5). 设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x 元(25 ≤ x≤ 40), 依据市场检查, 日销售量q 千克与 e x 成反比 , 当每千克蘑菇的出厂价为30 元时 , 日销售量为100 千克 .(1)求该工厂的每天收益 y 元与每千克蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式 .(2) 若 t=5, 当每千克蘑菇的出厂价x 为多少时 , 该工厂的每天收益y 最大 ?并求最大值 .序号联想解题依据已知条件得出日销量函数表达式q= (k ≠ 0), 将 x=30,q=100(1)待定系数法求函数关系k 的值 , 从而获取收益 y 与出厂价 x代入日销量函数表达式中求出之间的函数关系式 .经过求函数最值 , 解答实质将 t=5 代入函数中 , 依据导数求得函数的单一区间, 从而得函数的(2)最值 .问题【分析】 (1) 设日销量q=(k ≠ 0),则=100, 因此 k=100e 30, 因此日销量q=,因此 y=(25 ≤ x≤ 40).(2) 当 t=5 时 ,y=,y′=.由 y′≥ 0 得 x≤ 26, 由 y′≤ 0, 得 x≥26,因此 y 在区间 [25,26] 上单一递加 , 在区间 [26,40] 上单一递减 , 因此当 x=26 时,y max=100e4, 即当每千克蘑菇的出厂价为 26 元时 , 该工厂的每天收益最大 , 最大值为 100e4元 .利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)剖析实质问题中各量之间的关系, 成立实质问题的数学模型 , 写出实质问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2) 求函数的导数 f ′(x), 解方程 f ′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和 f ′(x)=0 处的点的函数值的大小 , 最大 ( 小 ) 者为最大 ( 小 ) 值 .(4)回归实质问题作答 .某商场销售某种商品的经验表示, 该商品每天的销售量y( 单位 : 千克 ) 与销售价钱x( 单位 : 元 / 千克 ) 知足关系式 y=+10(x-5)2,此中2<x<5,a为常数.已知销售价钱为 4 元 / 千克时 , 每天可售出该商品10.5 千克 .(1)求 a 的值 ;(2)若该商品的成本为 2 元 / 千克 , 试确立销售价钱x 的值 , 使商场每天销售该商品所获取的收益最大.【分析】 (1) 由于 x=4时 ,y=10.5,因此+10=10.5, 因此 a=1.(2) 由 (1) 可知 , 该商品每天的销售量2 y=+10(x-5) ,因此商场每天销售该商品所获取的收益f(x)=(x-2)=1+10(x-2)(x-5)2,2<x<5.从而 ,f ′(x)=10[(x -5) 2+2(x-2)(x-5)]=30(x-3)(x-5).于是 , 当 x 变化时 ,f ′(x),f(x)的变化状况如表:x(2,3)3(3,5)f ′(x)+0-f(x)单一递加极大值 41单一递减由表可得 ,x=3 是函数 f(x)在区间(2,5)内的极大值点, 也是最大值点 .因此当 x=3 时 , 函数 f(x)获得最大值,且最大值等于41.答 : 当销售价钱为 3 元 / 千克时 , 商场每天销售该商品所获取的收益最大.2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3利用导数研究函数的极值、最值练习理北师大版-11-。

[考纲传真] １．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.２．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.３．了解简单的分段函数，并能简单应用．１．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f（x）和它对应集合A与B存在着对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，集合B中总有唯一的元素y与之对应名称把对应关系f叫作定义在集合A上的函数称这种对应为从集合A到集合B的映射记法函数y＝f（x），x∈A映射：f：A→B（１）函数的定义域、值域：数集A叫作函数的定义域；函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域．（２）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（３）相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．（４）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．３．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[常用结论]简单函数定义域的类型（１）f（x）为分式型函数时，分式分母不为零；（２）f（x）为偶次根式型函数时，被开方式非负；（３）f（x）为对数型函数时，真数为正数、底数为正且不为１；（４）若f（x）＝x0，则定义域为{x|x≠0}；（５）指数函数的底数大于0且不等于１；（6）正切函数y＝tan x的定义域为xx≠kπ＋错误!，k∈Z.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数是特殊的映射．（）（２）函数y＝１与y＝x0是同一个函数（）（３）f（x）＝错误!＋错误!是一个函数．（）[答案] （１）√（２）×（３）×２．（教材改编）函数y＝错误!＋错误!的定义域为（）Ａ．错误!Ｂ．（—∞，３）∪（３，＋∞）Ｃ．错误!∪（３，＋∞）Ｄ．（３，＋∞）C[由题意知错误!解得x≥错误!且x≠３．]３．（教材改编）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|—２≤x≤２}，值域为N＝{y|0≤y≤２}，则函数y＝f （x）的图像可能是（）A B C DB[∵M＝{x|—２≤x≤２}，N＝{y|0≤y≤２}，∴y＝f（x）图像只可能是Ｂ．]４．下列各组函数中，表示同一函数的是（）Ａ．f（x）＝错误!与g（x）＝错误!Ｂ．f（x）＝|x|与g（x）＝（错误!）２Ｃ．f（x）＝错误!与g（x）＝x＋１Ｄ．f（x）＝x0与g（x）＝错误!D[在选项A中，由f（x）＝错误!＝x与g（x）＝错误!＝|x|的对应法则不同；对于选项B，f（x）＝|x|的定义域为R，g（x）＝（错误!）２的定义域为{x|x≥0}，故定义域不同；在选项C中，f（x）＝错误!的定义域为{x∈R|x≠１}，而g（x）＝x＋１的定义域为R，故两函数的定义域不同；对于选项D，f（x）＝x0＝１（x≠0），g（x）＝错误!＝１（x≠0），定义域和对应法则都相同，故选Ｄ．]５．（教材改编）已知函数f（x）＝错误!则f（１）＝________；若f（a）＝５，则a＝________.５±１[f（１）＝５．当a≥0时，由f（a）＝a２＋４a＝５可知a＝１；当a＜0时，由f（a）＝a２—４a＝５得a＝—１．综上可知a＝±１．]函数的定义域【例１】（１）在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝１0lg x的定义域和值域相同的是（）Ａ．y＝xＢ．y＝lg xＣ．y＝２xＤ．y＝错误!（２）若函数y＝f（x）的定义域是[0,２0１8]，则函数g（x）＝错误!的定义域是（）Ａ．[—１,２0１7] Ｂ．[—１,１）∪（１,２0１7]Ｃ．[0,２0１8] Ｄ．[—１,１）∪（１,２0１8]（１）D（２）B[（１）y＝１0lg x＝x，定义域与值域均为（0，＋∞）．y＝x的定义域和值域均为R；y＝lg x的定义域为（0，＋∞），值域为R；y＝２x的定义域为R，值域为（0，＋∞）；y＝错误!的定义域与值域均为（0，＋∞）．故选Ｄ．（２）令t＝x＋１，则由已知函数y＝f（x）的定义域为[0，２0１8]可知f（t）中0≤t≤２0１8，故要使函数f（x＋１）有意义，则0≤x＋１≤２0１8，解得—１≤x≤２0１7，故函数f（x＋１）的定义域为[—１,２0１7]．所以函数g（x）有意义的条件是错误!解得—１≤x＜１或１＜x≤２0１7．故函数g（x ）的定义域为[—１,１）∪（１,２ 0１7]．] [规律方法]１求给定函数的定义域往往转化为解不等式组的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍.２求抽象函数的定义域：１若y ＝f x 的定义域为a ，b ，则解不等式a ＜g x ＜b 即可求出y ＝f g x 的定义域；２若y ＝f g x 的定义域为a ，b ，则求出g x 在a ，b 上的值域即得f x 的定义域.３已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!（２）已知函数f （２x ）的定义域为[—１,１]，则f （x ）的定义域为________．（１）A （２）错误! [（１）由题意可知错误!解得错误!∴—错误!＜x ＜１，故选Ａ．（２）∵f （２x ）的定义域为[—１,１]，∴错误!≤２x ≤２，即f （x ）的定义域为错误!.]求函数的解析式【例２】 （１）已知f 错误!＝x ２＋错误!，求f （x ）的解析式；（２）已知f 错误!＝lg x ，求f （x ）的解析式；（３）已知f （x ）是二次函数且f （0）＝２，f （x ＋１）—f （x ）＝x —１，求f （x ）的解析式； （４）已知f （x ）＋２f 错误!＝x （x ≠0），求f （x ）的解析式．[解] （１）由于f 错误!＝x ２＋错误!＝错误!２—２，令t ＝x ＋错误!，当x ＞0时，t ≥２错误!＝２，当且仅当x ＝１时取等号；当x ＜0时，t ＝—错误!≤—２，当且仅当x ＝—１时取等号，∴f （t ）＝t ２—２，t ∈（—∞，—２]∪[２，＋∞）．综上所述，f （x ）的解析式是f （x ）＝x ２—２，x ∈（—∞，—２]∪[２，＋∞）．（２）令错误!＋１＝t ，由于x ＞0，∴t ＞１且x ＝错误!，∴f（t）＝lg错误!，即f（x）＝lg错误!（x＞１）．（３）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝２，得c＝２，f（x＋１）—f（x）＝a（x＋１）２＋b（x＋１）—ax２—bx＝x—１，即２ax＋a＋b＝x—１，∴错误!即错误!∴f（x）＝错误!x２—错误!x＋２．（４）∵f（x）＋２f错误!＝x，∴f错误!＋２f（x）＝错误!.联立方程组错误!解得f（x）＝错误!—错误!（x≠0）．[规律方法] 求函数解析式的常用方法１待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.２配凑法：由已知条件f g x＝F x，可将F x改写成关于g x的表达式，然后以x 替代g x，便得f x的解析式.３换元法：已知复合函数f g x的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围４消元法：已知关于f x与f错误!或f—x的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f x.Ａ．x＋１Ｂ．２x—１Ｃ．—x＋１Ｄ．x＋１或—x—１（２）定义在（—１,１）内的函数f（x）满足２f（x）—f（—x）＝lg（x＋１），则f（x）＝________.（１）A（２）错误!lg（x＋１）＋错误!lg（１—x），x∈（—１,１）[（１）设f（x）＝kx＋b（k≠0），又f[f（x）]＝x＋２，得k（kx＋b）＋b＝x＋２，即k２x＋kb＋b＝x＋２．∴k２＝１，且kb＋b＝２，解得k＝b＝１，则f（x）＝x＋１．（２）当x∈（—１,１）时，有２f（x）—f（—x）＝lg（x＋１）．１将x换成—x，则—x换成x，得２f（—x）—f（x）＝lg（—x＋１）．２由１２消去f（—x）得，f（x）＝错误!lg（x＋１）＋错误!lg（１—x），x∈（—１,１）．]分段函数►考法１求分段函数的函数值【例３】已知函数f（x）＝错误!则f错误!＋f错误!＝________.8 [由题可得f错误!＝log错误!错误!＝２，因为log２错误!＜0，所以f错误!＝错误!错误!＝２log２6＝6，故f错误!＋f错误!＝8．]►考法２已知分段函数的函数值求参数【例４】（２0１7·山东高考）设f（x）＝错误!若f（a）＝f（a＋１），则f错误!＝（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8C[∵f（a）＝f（a＋１），∴错误!或错误!即错误!或错误!∴a＝错误!，∴f错误!＝f（４）＝6．]►考法３解与分段函数有关的方程或不等式【例５】（２0１9·福州模拟）设函数f（x）＝错误!若f（x0）＞１，则x0的取值范围是________．（0,２）∪（３，＋∞）[∵f（x）＝错误!且f（x0）＞１，此不等式转化为错误!或错误!即错误!或错误!解之得0＜x0＜２或x0＞３．∴x0的取值范围是（0,２）∪（３，＋∞）．][规律方法] １求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f f a的形式时，应从内到外依次求值.２已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论.（２）函数f（x）＝错误!若f（a）≤a，则实数a的取值范围是________．（１）log３２（２）[—１，＋∞）[（１）f错误!＝log３错误!＝—２，∴f错误!＝f（—２）＝f（—２＋２）＝f（0）＝f（0＋２）＝f（２），∴f（２）＝log３２，∴f错误!＝f（—２）＝log３２．（２）当a≥0时，由f（a）＝错误!a—１≤a，解得a≥—２，即a≥0；当a＜0时，由f（a）＝错误!≤a，解得—１≤a≤１，即—１≤a＜0．综上所述，实数a的取值范围是[—１，＋∞）．]１．（２0１５·全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝错误!则f（—２）＋f（log２１２）＝（）Ａ．３Ｂ．6Ｃ．9 Ｄ．１２C[∵—２<１，∴f（—２）＝１＋log２（２＋２）＝１＋log２４＝１＋２＝３．∵log２１２>１，∴f（log２１２）＝２log２１２—１＝错误!＝6．∴f（—２）＋f（log２１２）＝３＋6＝9．故选Ｃ．]２．（２0１7·全国卷Ⅲ）设函数f（x）＝错误!则满足f（x）＋f错误!＞１的x的取值范围是________．错误![当x≤0时，原不等式为x＋１＋x＋错误!>１，解得x>—错误!，∴—错误!<x≤0．当0<x≤错误!时，原不等式为２x＋x＋错误!>１，显然成立．当x>错误!时，原不等式为２x＋２x—错误!>１，显然成立．综上可知，x的取值范围是错误!.]。

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．(对应学生用书第34页)[基础知识填充]1．函数的极值与导数(1)极值点与极值设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值．(2)极大值点与极小值点①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点；②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点．(3)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[知识拓展]1．对于可导函数f′(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．( )(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图2­12­1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )图2­12­1A．1 B．2C．3 D．4A[导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )3A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 B．－2C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增加的，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上是增加的．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________. 【导学号：00090069】8[y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.](对应学生用书第35页)利用导数研究函数的极值问题角度1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2­12­2所示，则下列结论中一定成立的是( )图2­12­2A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．] 角度2 求函数的极值求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．【导学号：00090070】[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；5分(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝A ．又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，9分从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a lna ，无极大值. 12分角度3 已知极值求参数(1)(2018·青岛模拟)若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为( ) A ．2 B ．6 C ．2或6D ．－2或－6(2)(2018·广州一模)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________. (1)B (2)2 [(1)∵函数f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，它的导数为f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，由题意知，在x ＝2处的导数值为12－8c ＋c 2＝0，∴c ＝6，或c ＝2，又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，故导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数．当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x －2)，不满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数．当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12)＝3(x －2)(x －6)，满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数，故c ＝6.故选B ． (2)求导函数可得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2， ∴f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2，或a ＝6，当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，∴a ＝2.][规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.2分f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，k －1)k －1(k －1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋f (x )单调递减－ek －1单调递增所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞).5分 (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上是增加的， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ， 7分当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上是减少的，在(k －1,1]上是增加的， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上是减少的， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 10分综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.12分[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值． [变式训练1] (2018·南昌模拟)函数y ＝x e －x，x ∈[0,4]的最小值为( ) A ．0 B ．1e C ．4e4D ．2e2 A [f ′(x )＝1－xe x ，当x ∈[0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1,4]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，∵f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，∴当x ＝0时，f (x )有最小值，且f (0)＝0.]利用导数研究生活中的优化问题y 与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【导学号：00090071】[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.5分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.7分从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )是增加的极大值42是减少的所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分 [规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 40 [由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0＜x ＜40时，y ′＜0；x ＞40时，y ′＞0.所以当x ＝40时，y 有最小值．]。

[考纲传真] １．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.２．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为２,１0，错误!的对数函数的图像.３．体会对数函数是一类重要的函数模型.４．了解指数函数y ＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数．１．对数的概念如果a（a＞0，a≠１）的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b ，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．２．对数的性质与运算法则（１）对数的运算法则：如果a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：１log a（M·N）＝log a M＋log a N；２log a错误!＝log a M—log a N；３log a M n＝n log a M（n∈R）．（２）对数的性质：１a log a N＝N；２log a a b＝b（a＞0，且a≠１）．（３）对数的换底公式：log a b＝错误!（a，c均大于0且不等于１，b＞0）．３．对数函数的定义、图像与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠１）叫作对数函数图像a＞１0＜a＜１性质定义域：（0，＋∞）值域：R当x＝１时，y＝0，即过定点（１,0）当0＜x＜１时，y＜0；当x＞１时，y＞0当0＜x＜１时，y＞0；当x＞１时，y＜0在（0，＋∞）上为增函数在（0，＋∞）上为减函数指数函数y＝a x（a＞0且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．[常用结论]１．换底公式的两个重要结论（１）log a b＝错误!；（２）log am b n＝错误!log a b.其中a＞0且a≠１，b＞0且b≠１，m，n∈R.２．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y＝１，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜１＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２（x＋１）是对数函数．（２）log２x２＝２log２x. （）（３）函数y＝ln错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）的图像过定点（１,0），且过点（a,１），错误!，函数图像不在第二、三象限．（）[答案] （１）×（２）×（３）√（４）√２．（log２9）·（log３４）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．４D[原式＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝４．]３．已知函数y＝log a（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠１）的图像如图，则下列结论成立的是（）Ａ．a ＞１，c ＞１ Ｂ．a ＞１,0＜c ＜１ Ｃ．0＜a ＜１，c ＞１ Ｄ．0＜a ＜１,0＜c ＜１D [由图可知0＜a ＜１，又f （0）＝log a c ＞0，∴0＜c ＜１．] ４．函数f （x ）＝log 错误!（x ２—４）的递增区间为（ ） Ａ．（0，＋∞） Ｂ．（—∞，0） Ｃ．（２，＋∞）Ｄ．（—∞，—２）D [由x ２—４＞0得x ＞２或x ＜—２，由复合函数的单调性可知，f （x ）＝log 错误!（x ２—４）的递增区间，即为y ＝x ２—４在{x |x ＞２或x ＜—２}上的递减区间，故选Ｄ．] ５．若a ＝log ４ ３，则２a ＋２—a ＝________.错误! [∵a ＝log ４ ３，∴２a ＝２log ４ ３＝２log ２ 错误!＝错误!，∴２—a ＝错误!， ∴２a ＋２—a ＝错误!＋错误!＝错误!.]对数的运算１．设２a ＝５b ＝m ，且错误!＋错误!＝２，则m 等于（ ） Ａ．错误! Ｂ．１0 Ｃ．２0Ｄ．１00A [∵２a ＝５b ＝m ，∴a ＝log ２m ，b ＝log ５m ，∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝log m ２＋log m ５＝log m １0＝２， ∴m ＝错误!.] ２．化简下列各式：（１）lg 错误!＋lg 70—lg ３—错误!；（２）log ３ 错误!·log ５[４错误!log ２ １0—（３错误!）错误!—7log 7 ２]； （３）（log ３ ２＋log 9 ２）·（log ４ ３＋log 8 ３）．[解] （１）原式＝lg 错误!—错误!＝lg １0—错误!＝１—|lg ３—１|＝lg ３．（２）原式＝log３错误!·log５[１0—（３错误!）错误!—7log7２]＝（log３３错误!—１）·log５（１0—３—２）＝错误!·log５５＝—错误!.（３）原式＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!.[规律方法] 在解决对数的化简与求值问题时１要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式.２注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.３化异底为同底.【例１】（１）函数y＝２log４（１—x）的图像大致是（）A B C D（２）当x∈（１,２）时，不等式（x—１）２＜log a x恒成立，则a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（１,２] Ｄ．错误!（１）C（２）C[（１）函数y＝２log４（１—x）的定义域为（—∞，１），排除A，B；函数y＝２log ４（１—x）在定义域上递减，排除Ｄ．故选Ｃ．（２）设f１（x）＝（x—１）２，f２（x）＝log a x，要使当x∈（１,２）时，不等式（x—１）２＜log a x恒成立，只需f１（x）＝（x—１）２在区间（１,２）上的图像在f２（x）＝log a x的图像的下方即可．当0＜a＜１时，显然不成立．当a＞１时，如图所示，要使在区间（１,２）上，f１（x）＝（x—１）２的图像在f２（x）＝log a x的图像的下方，只需f１（２）≤f２（２），即（２—１）２≤log a２，所以log a２≥１，即１＜a≤２．] [规律方法] 利用对数函数的图像可求解的两类问题１对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性单调区间、值域最值、零点时，常利用数形结合思想求解.２一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.a a（）A B C D（２）已知函数f（x）＝错误!且关于x的方程f（x）＋x—a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．（１）C（２）（１，＋∞）[（１）法一：∵f（２）＝４，∴２a＝４，解得a＝２，∴g（x）＝|log２（x＋１）|＝错误!∴当x≥0时，函数g（x）递增，且g（0）＝0；当—１＜x＜0时，函数g（x）递减．故选Ｃ．法二：由f（２）＝４，即２a＝４得a＝２，∴g（x）＝|log２（x＋１）|，函数g（x）是由函数y＝|log２x|向左平移一个单位得到的，只有C项符合，故选Ｃ．（２）如图，在同一坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝—x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞１时，直线y＝—x＋a与y＝log２x只有一个交点．]对数函数的性质及应用【例２】（１）（２0１8·天津高考）已知a＝log２e，b＝ln ２，c＝log错误!错误!，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．a＞b＞cＢ．b＞a＞cＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞b（２）若函数f（x）＝log２（x２—ax—３a）在区间（—∞，—２]上是减函数，则实数a的取值范围是（）Ａ．（—∞，４）Ｂ．（—４,４]Ｃ．（—∞，—４）∪[—２，＋∞）Ｄ．[—４,４）（１）D（２）D[因为a＝log２e＞１，b＝ln ２∈（0,１），c＝log错误!错误!＝log２３＞log２e＞１，所以c＞a＞b，故选Ｄ．（２）由题意可知错误!解得—４≤a＜４．故所求实数a的取值范围为[—４,４）．][规律方法] １利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响.２解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.Ａ．奇函数，且在（0,１）上是增函数Ｂ．奇函数，且在（0,１）上是减函数Ｃ．偶函数，且在（0,１）上是增函数Ｄ．偶函数，且在（0,１）上是减函数（２）设函数f（x）＝错误!若f（a）＞f（—a），则实数a的取值范围是（）Ａ．（—１,0）∪（0,１）Ｂ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｃ．（—１,0）∪（１，＋∞）Ｄ．（—∞，—１）∪（0,１）（３）已知偶函数f（x）在（0，＋∞）上递增，a＝f错误!，b＝f错误!，c＝f（log３２），则下列关系式中正确的是（）Ａ．a＜b＜cＢ．a＜c＜bＣ．c＜a＜bＤ．c＜b＜a（１）A（２）C（３）D[（１）由题意可知，函数f（x）的定义域为（—１,１），且f（x）＝ln 错误!＝ln错误!，易知y＝错误!—１在（0,１）上为增函数，故f（x）在（0,１）上为增函数，又f（—x）＝ln（１—x）—ln（１＋x）＝—f（x），所以f（x）为奇函数，故选Ａ．（２）由题意得错误!或错误!解得a＞１或—１＜a＜0．故选Ｃ．（３）log２错误!＝—log２３，而0＜log３２＜１＜错误!＝log２错误!＜log２错误!＝log２３．∵函数f（x）是偶函数，且在（0，＋∞）上递增，∴f（log３２）＜f错误!＜f（log２３）＝f（—log２３）＝f错误!，∴c＜b＜a，故选Ｄ．]１．（２0１8·全国卷Ⅲ）设a＝log0．２0．３，b＝log２0．３，则（）Ａ．a＋b＜ab＜0 Ｂ．ab＜a＋b＜0Ｃ．a＋b＜0＜abＤ．ab＜0＜a＋bB[由a＝log0．２0．３得错误!＝log0．３0．２，由b＝log２0．３得错误!＝log0．３２，所以错误!＋错误!＝log0．３0．２＋log0．３２＝log0．３0．４，所以0＜错误!＋错误!＜１，得0＜错误!＜１．又a＞0，b ＜0，所以ab＜0，所以ab＜a＋b＜0．]２．（２0１6·全国卷Ⅰ）若a>b>１,0<c<１，则（）Ａ．a c＜b cＢ．ab c＜ba cＣ．a log b c＜b log a cＤ．log a c＜log b cC[∵y＝xα，α∈（0,１）在（0，＋∞）上是增函数，∴当a＞b＞１,0＜c＜１时，a c＞b c，选项A不正确．∵y＝xα，α∈（—１,0）在（0，＋∞）上是减函数，∴当a＞b＞１,0＜c＜１，即—１＜c—１＜0时，a c—１＜b c—１，即ab c＞ba c，选项B不正确．∵a＞b＞１，∴lg a＞lg b＞0，∴a lg a＞b lg b＞0，∴错误!＞错误!.又∵0＜c＜１，∴lg c＜0．∴错误!＜错误!，∴a log b c＜b log a c，选项C正确．同理可证log a c＞log b c，选项D不正确．]３．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝ln（错误!—x）＋１，f（a）＝４，则f（—a）＝________.—２[由f（a）＝ln（错误!—a）＋１＝４，得ln（错误!—a）＝３，所以f（—a）＝ln（错误!＋a）＋１＝—ln 错误!＋１＝—ln（错误!—a）＋１＝—３＋１＝—２．]。