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三．有理数的加减运算技巧与方法
一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。 数学培优中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。
二、知识点反馈
1、利用运算律：
知识点：
加法运算律()()⎩
⎨⎧++=+++=+c b a c b a a b b a 加法结合律加法交换律
例1：计算：
⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---32775.2324523
拓广训练：
计算
（1）115292.011275208.06.0++--+
--
（2）
4
941911764131159431+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+
2、裂项相消
知识点：
（1）b
a a
b b a 11+=+； （2）()1
1111+-=+n n n n ； （3）()m
n n m n n m +-=+11； （4）()()()()()
21111212++-+=++n n n n n n n 。 例3、计算
201020091431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯
计算：2009
20071751531311⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯
3、以符代数
例4：计算：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+39385271781712133937111712727717
拓广训练：
1、计算：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++20051312120061312112005131211200613121
4、分解相约
例5：计算：293186293142842421⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n
三、培优训练
1、a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则200820092007b a
+= 。 2、计算：（1）
199919971971751531⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯= ； （2）()()()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-÷-+--⨯-243431
622825.0= 。
3、若a 与b -互为相反数，则ab
b a 199********
2+= 。 4、计算：10987654322222222222+--------= 。
5、计算：86.66.68686.06284.3114.3⨯+⨯+⨯=（ ）
6、30
28864215144321-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-等于（ ） A ．41 B ．41- C ．21 D ．2
1- 7、为了求2008322221++++ 的值，可令S ＝2008322221++++ ，则2S ＝20094322222++++ ，因此2S-S ＝122009-，所以2008322221++++ ＝122009-仿照以上推理计算出2009325551++++ 的值是（ ）
A 、152009-
B 、152010-
C 、4
152009- D 、4152010-
8、计算
()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-÷-+-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-2423
431625.6134313825.0 9、已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3，
求()()()20032001231ab x n m x ab n m x -++++++-的值
10、已知022=-+-a ab ，求
()()()()
()()2006200612211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值。
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