高中数学-命题与充要条件夯基提能作业
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1 1.2 命题与充要条件
A组 基础题组
1.已知a，b为实数，则“a=0”是“f(x)=x2+a|x|+b为偶函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 当a=0时，f(x)=x2+a|x|+b为偶函数，故充分性成立;反之，因为无论a为任一实数，f(x)=x2+a|x|+b均为偶函数，所以不能得出a=0，故必要性不成立.所以“a=0”是“f(x)=x2+a|x|+b为偶函数”的充分不必要条件，故选A.
2.设a∈R，则“a<1”是“1𝑎>1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 1𝑎>1⇔1𝑎-1>0⇔1-𝑎𝑎>0⇔0
3.(2019绍兴一中月考)设f(x)是定义在R上的函数，则“函数f(x)为偶函数”是“函数xf(x)为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 令F(x)=xf(x)，当f(x)为偶函数时，f(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-F(x)，所以F(x)=xf(x)为奇函数;当F(x)=xf(x)为奇函数时，则有F(-x)=-xf(-x)=-F(x)=-xf(x)，即有f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，所以“函数f(x)为偶函数”是“函数xf(x)为奇函数”的充分必要条件，故选C.
4.在△ABC中，“a=b”是“sinA=sinB”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，R为△ABC外接圆半径，故a=b⇔2RsinA=2RsinB⇔sinA=sinB，即“a=b”是“sinA=sinB”的充要条件，故选A.
5.设a，b为实数，则“0
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
1 答案 D a，b为实数，“0
6.已知x∈R，则“|x-3|-|x-1|<2”是“x≠1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 不等式|x-3|-|x-1|<2的解集为(1，+∞)，所以“|x-3|-|x-1|<2”是“x≠1”的充分不必要条件，故选A.
7.若a，b∈R，则“1𝑎<1𝑎”是“𝑎𝑎𝑎3-𝑎3>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 1𝑎<1𝑎等价于𝑎-𝑎𝑎𝑎<0，即ab(a-b)>0，
𝑎𝑎𝑎3-𝑎3>0等价于ab(a-b)(a2+ab+b2)>0，
易知a，b均非零，所以a2+ab+b2=(𝑎+𝑎2)2+34b2>0，故𝑎𝑎𝑎3-𝑎3>0等价于ab(a-b)>0.
所以“1𝑎<1𝑎”是“𝑎𝑎𝑎3-𝑎3>0”的充分必要条件，故选C.
8.已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题:
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β;
②若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β;
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;
④若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β.
其中，属于真命题的是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
答案 D 显然①④正确，故选D.
9.已知向量a、b，则“a·b>0”是“a、b的夹角是锐角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
1 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 设a，b的夹角为θ，a·b>0⇒|a|·|b|·cosθ>0⇒θ∈，，充分性不成立;a，b的夹角是锐角，即θ∈，⇒cosθ>0⇒|a|·|b|·cosθ>0⇒a·b>0，必要性成立，选B.
10.已知a，b∈R，则“a>b>1”是“logab<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A “a>b>1”⇒“logab<1”，反之不成立，例如:log212=-1，所以“a>b>1”是“logab<1”的充分不必要条件，故选A.
11.已知直线l:y=kx+b，曲线C:x2+y2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 若直线l:y=kx+b与曲线C:x2+y2=1有公共点，则|𝑎|√1+𝑎2≤1，∴b2≤1+k2，当b=1时，满足b2≤1+k2，即“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分条件，而当直线l与曲线C有公共点时，不一定得到b=1，b=0时也满足，故“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件，故选A.
12.设a>0，b>0，则“lg(a+b)>0”是“lga+lgb>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 由基本不等式知a+b≥2√𝑎𝑎，所以lg(a+b)≥lg(2√𝑎𝑎)=lg2+12lg(ab)，因而当lga+lgb>0，即lg(ab)>0时，有lg(a+b)>0;反之，取a=12，b=2，显然lg(a+b)>0，但lga+lgb=0.综上，“lg(a+b)>0”是“lga+lgb>0”的必要不充分条件，故选B.
13.设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题:
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β;②若m∥α，α⊥β，则m⊥β.则( )
A.①②都是假命题
B.①是真命题，②是假命题
C.①是假命题，②是真命题
D.①②都是真命题
1 答案 B 由面面垂直的判定定理知①正确.当m∥α，α⊥β时，m与β可能垂直，可能斜交，可能平行，也可能m在β内，所以②错误，故选B.
B组 提升题组
1.(2018浙江，6，4分)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A ∵m⊄α，n⊂α，m∥n，∴m∥α，故充分性成立.而由m∥α，n⊂α，得m∥n或m与n异面，故必要性不成立.故选A.
2.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.
3.(2016浙江文，6，5分)已知函数f(x)=x2+bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A ∵f(x)=x2+bx=(𝑎+𝑎2)2-𝑎24，
∴f(x)min=-𝑎24，即f(x)∈，.
当b<0时，-𝑎24<-𝑎2恒成立，∴f(f(x))min=-𝑎24.
∴f(x)min=f(f(x))min，即充分性成立.
当b=0时，f(x)=x2，f(f(x))=f(x2)=x4，此时f(x)min=f(f(x))min=0也成立，故必要性不成立.故选A.
4.设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
1 答案 D 当a=2，b=-1时，a+b=1>0，但ab=-2<0，所以充分性不成立;当a=-1，b=-2时，ab=2>0，但a+b=-3<0，所以必要性不成立，故选D.
5.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B f(x)是奇函数时，φ=π2+kπ(k∈Z)，故φ=π2错误;φ=π2时，f(x)=Acos(𝑎𝑎+π2)=-Asinωx，为奇函数.所以“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件，选B.
6.(2018天津六校联考)“a=1”是“函数f(x)=e𝑎𝑎-𝑎e𝑎是奇函数”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 当a=1时，f(x)=ex-1e𝑎，定义域是R，f(-x)=e-x-1e-𝑎=1e𝑎-ex=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以充分性成立;当函数f(x)=e𝑎𝑎-𝑎e𝑎是奇函数时，定义域是R，恒有f(-x)=-f(x)，即e𝑎𝑎-𝑎e𝑎=-(e-𝑎𝑎-𝑎e-𝑎)，即e𝑎𝑎-𝑎e𝑎=-1𝑎e𝑎+aex，所以e2x-a2=-1+a2e2x，即(1-a2)e2x+1-a2=0，即(1-a2)(e2x+1)=0对x∈R恒成立，所以有1-a2=0，即a=±1，所以必要性不成立.综上可得“a=1”是“函数f(x)=e𝑎𝑎-𝑎e𝑎是奇函数”的充分不必要条件，故选B.
7.若“0
A.(-∞，0]∪[1，+∞) B.(-1，0)
C.[-1，0] D.(-∞，-1)∪(0，+∞)
答案 C 由题设得，，解之得-1≤a≤0，故选C.
8.已知条件p:x∈A，且A={x|a-1
答案 {a|a≤0或a≥3}
解析 易得B={x|x≤1或x≥2}，
因为p是q的充分条件，且A={x|a-1
所以a+1≤1或a-1≥2，所以a≤0或a≥3.
所以所求实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}.
