圆切线证明题

第1题B 第2题A第3题圆的切线的证明圆的切线的证明题，从直线与圆有无公共点来看，有两大类型：一是直线与圆有公共点； 二是直线与圆没有公共点。

从具体的证明方法来看又分为多种类型 一、直线与圆有公共点 总体思路:“连”（连接圆心与公共点），证垂直. (一)利用相似证垂直1。

如图,AB 是圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD⊥AB 与点E,且PC ²=PE ×PO 。

（1）求证：PC 是圆O 的切线。

(二）利用全等证垂直2.如图Rt△ABC 中,∠ACB=90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D ，E 、F 是圆O 上的两点， 连接AE 、CF 、DF ，满足EA=CA 。

(1)求证:AE 圆O 的切线。

（三)利用勾股定理证垂直3。

如图，圆O 的直径AB=12，点P 是AB 延长线上一点，且PB=4，点C 是圆O 上一点，PC=8。

求证:PC 是圆O 的切线。

（四）利用平行线证垂直4.如图，△ABC 内接于圆O ，CD 平分∠ACB 交于圆O 于D ，过点D 作PQ∥AB 分别交CA 、CB 的延长线于P 、Q 。

求证:PQ 是圆O 的切线.(五）利用角的转化证垂直5。

如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C O 外一点，且∠DBC=∠A,连接OE 并延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C. （1)求证：BC 是圆O 的切线.DCAEOBBCA二、直线与圆的公共点未知 总体思路：“作”垂直(圆心到直线的垂线)，证相等(垂线与半径). (一)利用角平分线证相等1.如图,梯形ABCD 中，AD∥BC，AE⊥BC 于E ，∠ADC 的平分线交AE 于O,以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B 。

求证：CD 与圆O 相切.(二) 利用面积法证相等2。

如图,已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4，以点C 为圆心,半径为2.4作圆C 。

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专题一圆的切线专题
1.如图，Rt ABC
中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，OE∥AB交BC于E，连DE．
(1) 求证：DE为⊙O切线；
(2) 若⊙O的半径为3，DE=4，求AD之长.
2.如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．
(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为8，C0＝15，求BD的长．
O
E D
C
B
A A B
C
D
E
F
O
3.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A .与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ． (1)试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC .AD .BC 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）
4．已知:如图,AB 是⊙O 的直径,BE 是⊙O 的切线,切点为B,点C 为射线BE 上一动点.(点C 与点B 不重合),且弦AD 平行于OC.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线；
(2) 若∠A=60O ，CD=10，求⊙O 的半径；
(3）设⊙O 的半径为r,试问:当动点C 在射线BE 上运动到什么位置时,有AD=2r?请回答并证明你的结论.
B
O
D C
E。

证明圆的切线专题证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路：1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直.1不常用,一般常用2.1. 如图，在Rt ABC ∆中，90C︒∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ︒∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与O 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。

（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切（2）（4分）当AD=23，∠CAD=30º时，求AD 的长。

3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ．(1)求证：直线AB 是OO 的切线；(2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。

5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ．（1）求证：⊙O 与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ．7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E 作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．（1）求证：AH=HD；（2）若cos∠C= 4/5，，DF=9，求⊙O的半径9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．10如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11.如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求证：△ACM ∽△DCN ；（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．12、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线PO 交⊙O 与点E ，F 过点A 作PO 的垂线AB 垂足为D ，交⊙O 与点B ，延长BO 与⊙O 交与点C ，连接AC ，BF ．（1）求证：PB 与⊙O 相切；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan ∠F=，求cos ∠ACB 的值．。

圆切线证明不同题型精析证明圆的切线常用的方法有（解题中注意充分利用已知及图上已知）：一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 有以下几种类型：1、通过证明三角形全等证明垂直的；例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：直线EF 为⊙O 的切线2、通过证明两角互余，即利用等量代换证明垂直； 例2、（2011•北京）如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．例3 .(2009年本溪)22．如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠． （1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD 的长3.通过证平行来证明垂直例5 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.4、通过证三角形相似证明垂直例6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.点C是圆上一点。

求证：直线PC是⊙O切线。

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”1、通过证明三角形全等证明DF=DE例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切例 8 如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．三、综合训练1．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。