切线长定理练习题一、填空1．已知：如图 7－ 143，直线 BC切⊙ O于 B点， AB=AC， AD=BD，那么∠ A=____．2．已知：如图 7－ 144，直线 DC与⊙ O相切于点 C， AB为⊙ O直径， AD⊥ DC于D，∠ DAC=28°侧∠ CAB=____ ．3．已知：直线 AB与圆 O切于 B点，割线 ACD与⊙ O交于 C和D4．已知：如图 7－ 145， PA切⊙ O于点 A，割线 PBC交⊙ O于 B和 C两点，∠ P=15∠ ABC=47°，则∠ C= ____．5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠ DFE=56°，那么∠ B=____．6．已知：如图 7 －147，△ ABC内接于⊙ O，DC切⊙ O于 C点，∠1=∠ 2，则△ ABC为____ 三角形．7．已知：如图 7－148，圆 O为△ ABC外接圆， AB为直径， DC切⊙ O于C点，∠A=36°，那么∠ ACD= ．8．一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与⊙ O 等高，如图放置，⊙O 与 BC 相切于点 C ，⊙ O 与AC 相交于点 E，则 CE 的长为_________cm．9．如图，⊙ O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点， PO=5 ，PA 切⊙ O 于 A 点，则 PA= _________．10．如图， AB 是⊙ O 的直径， BD ，CD 分别是过⊙ O 上点 B，C 的切线，且∠ BDC=110 °．连接 AC 则∠ A 的度数是 _________ °．11．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， CD 切⊙ O 于点 D，连接 AD ．若∠ A=25 °，则∠ C= _________ 度．（9 题）（10题）（11题）12．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切， AB=8 ，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）13.如图，⊙ I △ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙ I 的切线，若△ABC 的周长为21， BC 边的长为6，则△ ADE 的周长为14 已知：PA、PB 分别切⊙ O 于点 A 和 B，C 为弧 AB 上一点，过 C 与⊙ O 相切的直线分别交 PA、 PB 点 D 和 E，若 PA=2cm，∠ APB=60 °则 (1) △ PDE 的周长 =(2) ∠DOE=．二、选择1．下列说法正确的是（）A．相切两圆的连心线经过切点B．长度相等的两条弧是等弧C．平分弦的直径垂直于弦D．相等的圆心角所对的弦相等2．如图， AB 是⊙ O 的弦， AC 是⊙ O 的切线， A 为切点， BC 经过圆心．若∠B=25 °，则∠ C 的大小等于（）A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°3．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的切线，切点为D， CD 与 AB 的延长线交于点C，∠ A=30 °，给出下面 3 个结论：①AD=CD ；② BD=BC ；③ AB=2BC ，其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．04．如图， AB、AC 是⊙ O 的两条弦，∠ BAC=25 °，过点 C 的切线与OB 的延长线交于点D，则∠ D的度数为（）A． 25° B．30° C．35° D．45．如图，△ABC 的边 AC 与⊙ O 相交于 C 、D 两点，且经过圆心O ，边 AB 与⊙ O 相切，切点为 B．已知∠ A=30 °，则∠ C 的大小是（）A． 30° B． 45° C ． 60° D ． 40°6．如图， Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=4 ， BC=6 ，以斜边 AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与 AC 、BC 相切于点D、E，则 AD 为（）A． 2.5 B．1.6 C．1.5 D．1（5 题）（6题）（7题）7．如图，∠ ACB=60 °，半径为 2 的⊙ O 切 BC 于点 C，若将⊙ O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O与 CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（）A． 2πB． 4π C ． 2 D ． 48．如图，⊙ O 与 Rt△ ABC 的斜边 AB 相切于点D，与直角边AC 相交于点E，且 DE ∥ BC．已知AE=2， AC=3，BC=6，则⊙ O的半径是（）A．3B．4C．4D．2A． 1 个； B． 2个； C．4个； D．5个．11．已知如图 7－ 150，四边形 ABCD为圆内接四边形， AB是直径， MN切⊙ O于C点∠BCM=38°，那么∠ ABC的度数是（）A． 38°； B． 52°； C． 68°； D．42°．12．已知如图 7－ 151，PA切⊙ O于点 A，PCB交⊙ O于 C， B两点，且 PCB过点 O，⊥BP交⊙ O于E，则图中与∠ CAP相等的角的个数是（）A． 1个； B．2个； C．3个； D．4个．三、计算1．已知：如图 7－152，PT与⊙ O切于 C，AB为直径，∠ BAC=60°， AD为⊙ O 一弦．求∠ADC与∠ PCA的度数．2．已知：如图 7－ 155，⊙ O内接四边形 ABCD，MN切⊙ O于C，∠ BCM=38°，AB为⊙ O直径∠ADC的度数．（8题）（10题）9．已知：△ ABC内接于⊙ O，∠ ABC=25°，∠ ACB= 75°，过 A点作⊙ O的切线交 BC的延长线于 P，则∠ APB等于（）A．62.5 °； B．55°； C．50°； D．40°．10．已知：如图 7 －149，PA，PB切⊙ O于A，B两点， AC为直径，则图中与∠ PAB相等的角的个数为（）3．已知：如图 7－159，PA切圆于 A，BC为圆直径，∠BAD=∠ P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD6．已知；如图 7－ 166，PA为△ ABC外接圆的切线， A 为切点， DE∥AC， PE=PD．AB=7的长．AD=2cm．求 DE的长．4．已知：如图 7－ 160，AC是⊙ O直径，PA⊥AC于 A，PB切⊙ O于B，BE⊥ AC于E．若 AE=6cm，EC=2cm，求 BD的长．5．已知：在图 7－ 165中，PA切⊙ O于 A，AD平分∠ BAC，PE平分∠ APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．7．已知：如图 7 －172，△ ABC内接于⊙ O， EA切⊙ O于 A，过 B作BD∥ AE交AC延长线于D．若 AC=4cm，CD= 3cm，求 AB的长．8．已知：如图 7－174，PC为⊙ O直径，MN切⊙ O于A，PB⊥MN于 B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．9．已知：如图 7－177， AB，AC切⊙ O于B，C，OA交⊙ O于F，E，交 BC于 D．9．已知：如图，△ABC．求作：△ABC的内切圆⊙O．（1）求证： E为△ ABC内心；（2）若∠ BAC=60°， AB=a，求 OB与 OD的长．11．已知：如图，⊙ O 是 Rt△ABC 的内切圆，∠ C=90°．(1)若 AC=12cm，BC=9cm，求⊙ O 的半径 r；(2)若 AC=b，BC=a， AB= 10、如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过A点作半圆的切线，与半圆相切于 F 点，与 DC相交于 E 点．求：△ADE的面积．求⊙ O 的半径 r．。
圆的切线练习题连接BD，过点B作BE⊥AC交BD于点E，交⊙O于点F．1）求证：EF是⊙O的切线；2）若BC=4，AD=6，求⊙O的半径及BE的长．例1：已知直线CD与AB的延长线交于点E，且CD⊥AD，垂足为D，XXX于点C。
证明直线CD为⊙O的切线。
对应练：在△DAB中，AB经过圆心O，∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，且∠DAB＝60°，AB=10.求BD与CD的长。
例2：已知△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F。
证明直线EF是⊙O的切线，当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径。
对应练：在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点。
求证：BC与⊙O相切，当AD=23；∠CAD=30°时，求弧AD的长。
3.已知AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠XXX∠ABC。
⑴证明：BE是⊙O的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE的长。
4.已知⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C＝90°，BE平分∠ABC。
试说明直线AC是⊙O的切线；当AE＝4，AD＝2时，求⊙O的半径及BC的长。
5.在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥XXX与点D，E将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC。
⑴证明：CE是⊙O的切线；⑵若FC∥AB，证明四边形AOCF是菱形。
6.已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，延长AB交CD于点E。
连接AC，作∠DAC＝∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G。
⑴证明：AD是⊙O的切线；(2)如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长。
初三数学证明切线的练习题在初中数学学习中，切线是一个非常重要的概念。
证明切线的性质和问题的解决是数学学习的关键内容之一。
本文将就初三数学中涉及切线证明的一些练习题进行分析和解答。
题目一：已知一条直线l与圆O相交于点A和B，点C是圆O上的一点。
请证明：∠ACB与∠AOB互余。
解析：为了证明∠ACB与∠AOB互余，我们可以分别通过证明∠ACB与∠OAB以及∠AOB与∠AOB的和为180度来得到结论。
首先，连接OA和OB，我们知道OA和OB是圆的半径。
因此，三角形OAB为等边三角形，∠OAB = ∠OBA = ∠AOB。
其次，连接OC，考虑△ACB，根据圆上切线与半径的关系，∠ACB为切线与半径的夹角。
连接OA和OB后，我们已经得到∠OAB = ∠OBA = ∠AOB。
那么，∠ACB与∠OAB互余，即∠ACB+ ∠OAB = 180°。
综上所述，我们证明了∠ACB与∠AOB互余。
题目二：已知一条直线l与圆O相切于点A，过点A作直径为AD，点B是圆O上的一点，连接BC。
请证明：∠ACB = 90度。
解析：为了证明∠ACB = 90度，我们可以通过使用直角三角形的性质来得到结论。
首先，连接OA和OB，OA和OB是圆的半径，因此OA = OB。
那么△OAB为等腰三角形，∠OAB = ∠OBA。
其次，考虑△BCD，D为AB的中点，根据等腰三角形的性质，∠CDB = ∠CAD = ∠OAB。
由于D为AB的中点，所以AD的中垂线BC过点D。
那么，∠ADB = 90度。
根据性质可知CD是∠ADB的中线，那么根据中线定理有 CD = 1/2 * AB。
由于△OAB为等腰三角形，所以AB = 2 * OA。
代入CD = 1/2 * AB，得到CD = OA。
综上所述，我们证明了∠ACB = 90度。
通过以上两个例子的证明，我们可以看到在数学练习中，证明切线的性质需要运用到圆的性质、等腰三角形的性质、中线定理等相关知识。
第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。
